含30°角的直角三角形的性質能力提升篇一、單選題：1．已知等腰三角形△ABC，BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，則∠BAC的度數是（）A．75° B．90°或75°C．90°或75°或15° D．75°或15°或60°【答案】C【知識點】等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】分三種情況：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的內部，由題意知，AD=BC=AB，∵∠ADB=90°，∴∠B=30°，∠C==75°，∴∠BAC=∠C=75°；②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由題意知，AD=BC=AC，∵∠ADB=90°，∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，∵∠B=∠CAB，∴∠BAC=15°；③AC=AB，AD⊥BC，BC邊為等腰三角形的底邊，由等腰三角形的三線合一知點D為BC的中點，由題意知，AD=BC=CD=BD，∴△ABD，△ADC均為等腰直角三角形，∴∠BAD=∠CAD=45°，∴∠BAC=90°，∴∠BAC的度數為90°或75°或15°，故答案為：C.【分析】本題要分情況討論，根據等腰三角形的性質來分析：①當AD在三角形的內部，②AD在三角形的外部以，③BC邊為等腰三角形的底邊三種情況.2．如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE=CD，AD、BE相交于F，BH⊥AD于H點，FH=3，EF=0.5，則AD的長為()A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】B【知識點】三角形的外角性質；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，

∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，

∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，

∴BF=2FH=6，

∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，

∴AD=BE=6.5.

故答案為：B.【分析】根據等邊三角形的性質得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS證明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性質求出∠BFH=60°，則可根據含30°角的直角三角形的性質求出BF，然后利用全等三角形的性質即可得出AD的長.3．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，點D是BC的中點，BE，CF交于點M，如果CM=4，FM=5，則BE等于()A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【知識點】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

∵∠A=60°，

∴∠ABE=∠ACF=30°，

在Rt△FBM中，

∵FM=5，

∴BM=2FM=10，

在Rt△EMC中，

∵CM=4，

∴EM=CM=2，

∴BE=BM+ME=10+2=12.

故答案為：C.

【分析】根據垂直的定義可知∠AEB=∠AFC=90°，由三角形內角和定理得∠ABE=∠ACF=30°，在Rt△FBM、Rt△EMC中，根據直角三角形的性質求得BM=10，EM=2，再由BE=BM+ME即可求得答案.4．如圖，在中，，，D為的中點，P為上一點，E為延長線上一點，且有下列結論：①；②為等邊三角形；③；④其中正確的結論是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【知識點】三角形全等的判定；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如圖，連接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，點D是AB的中點，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂線，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正確；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等邊三角形，故②正確；如圖，延長至，使則點P關于AB的對稱點為P′，連接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等邊三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③錯誤；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等邊三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四邊形AECP，∴S四邊形AECP＝S△ABC.故④正確.所以其中正確的結論是①②④.故答案為：C.【分析】連接BP，根據等腰三角形的性質以及內角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，進而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性質可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根據角的和差關系可判斷①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，據此判斷②；延長PD至P′，使PD=P′D，則點P關于AB的對稱點為P′，連接P′A，由等邊三角形的性質可得AE＝AP，則AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，證明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，據此判斷③；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，則△CPG是等邊三角形，則∠CGP＝∠PCG＝60°，證明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根據含30°角的直角三角形的性質可得AF＝AB＝AD，據此不難判斷④.二、填空題：5．如圖，在中，，，，平分，點E是的動點，點F是上的動點，則的最小值為.【答案】12【知識點】垂線段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分線的定義【解析】【解答】解：在射線BC上取一點E′，使得BE′＝BE.過點A作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，∴AH＝AC＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠FBE′，∵BE＝BE′，BF＝BF，∴△FBE≌△FBE′（SAS），∴FE＝FE′，∴AF＋FE＝AF＋FE′，根據垂線段最短可知，當A，F，E′共線且與AH重合時，AF＋FE的值最小，最小值＝12，故答案為：12.【分析】在射線BC上取一點E′，使得BE′＝BE，過點A作AH⊥BC于H，根據含30°角的直角三角形的性質可得AH＝AC＝12，由角平分線的概念得∠FBE＝∠FBE′，證明△FBE≌△FBE′，得到FE＝FE′，則AF＋FE＝AF＋FE′，根據垂線段最短可知：當A，F，E′共線且與AH重合時，AF＋FE的值最小，據此求解.6．如圖，已知∠AOB=60°，點P是OA邊上，OP=8cm，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2cm，則ON=cm．【答案】5【知識點】等腰三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：過P作PD⊥OB于點D，在Rt△OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP=×8=4cm，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2cm，∴MD=ND=MN=1cm，∴ON=OD+DN=4+1=5cm．故答案為：5．【分析】過P作PD⊥OB于點D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性質求出OD的長，再由PM=PN，利用等腰三角形三線合一的性質得到D為MN中點，根據MN=2求出DN的長，由OD+DN即可求出ON的長．7．如圖，△ABC中，∠A=15°，AB是定長.點D，E分別在AB，AC上運動，連結BE，ED．若BE+ED的最小值是2，則AB的長是【答案】4【知識點】角平分線的性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】如圖，作∠CAF=15°，∵AC是∠BAF的平分線，∴DE=D′E，∴當BE、D′E在一條直線上時，即當E、D在如圖位置上時，BE+ED最小，∵∠F=90°，∠FAB=30°，∴AB=2BF=4.故答案為：4.【分析】作點B關于AC的對稱點B'，過B作BF⊥AB'，BF即為BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性質解答即可．8.如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q兩點分別是AC、BC邊上的兩動點，且PQ∥AD，當∠PDQ＝30°時，如果CQ＝0.5，那么AB＝．【答案】4【知識點】平行線的判定與性質；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝DC，∵∠PDQ＝30°，∴∠PDQ+∠C＝90°，∴∠DPC＝90°，∵PQ∥AD，AD⊥BC，∴PQ⊥CD，∴∠PQC＝90°，∴∠CPQ＝30°，∴PC＝2PQ＝1，CD＝2PC＝2，∴AB＝BC＝2CD＝4，故答案為4．【分析】首先證明∠DPC＝90°，利用直角三角形30度的性質求出PC、CD即可；三、解答題：9．如圖所示，在等邊中，點D，E分別在邊BC，AC上，且，過點E作，交BC的延長線于點F．（1）求的大小；（2）若，求DF的長．【答案】（1）解：是等邊三角形，，，，，，（2）解：，，是等邊三角形．，，，．【知識點】等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質，得到∠B=60°，再由平行線和垂直的性質，求出∠F的度數；（2）由（1）得到△EDC是等邊三角形，再由在直角三角形中，30度角所對的邊是斜邊的一半，求出DF的長．10．如圖，△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發，沿線段AB，BC運動，且它們的速度都為1cm/s.當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s）.（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？（2）連接AQ、CP，相交于點M，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數.【答案】（1）解：設時間為t，則AP=BQ=t，PB=5-t，①當∠PQB=90°時，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得5-t=2t，t=；②當∠BPQ=90°時，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（5-t），t=；∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；（2）解：∠CMQ=60°不變.在△AB