.4二次函數的應用（2）——二次函數與幾何最值問題課后作業基礎型自主突破1．如圖，假設籬笆(虛線部分)的長度為16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是()A．60m2B．63m2C．64m2D．66m22．用一根長為40的繩子圍成一個面積為a的矩形，那么a的值不可能為()A．20B．40C．100D．1203．已知一個直角三角形兩直角邊長之和為20，則這個直角三角形的最大面積為()A．25B．50C．100D．不確定4．將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是____.5．如圖，已知ABCD的周長為8cm，∠B＝30°，若邊長AB＝xcm.(1)ABCD的面積y()與x之間的函數解析式為_______，自變量x的取值范圍為________；(2)當x取____時，y的值最大，最大值為____．6．為搞好環保，某公司準備修建一個長方體的污水處理池，池底矩形的周長為100m，則池底的最大面積是()A．600B．625C．650D．675能力型師生共研7.如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，設小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊面積為y，則y關于x的函數圖像是()8.用12m長的木料做成如圖的矩形窗框，則當長和寬各為多少米時，矩形窗框的面積最大？最大面積是多少？探究型多維突破9．如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側面積的最大值是()A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)eq\r(3)C.eq\f(9,2)eq\r(3)D.eq\f(27,2)eq\r(3)10．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB=m.（1）若花園的面積為192,求的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值.自助餐1．如圖，用20m長的鐵絲網圍成一個一面靠墻的矩形養殖場，其養殖場的最大面積為______m2.2.用長為8米的鋁合金條做成如圖所示形狀的矩形窗框，是窗戶的透光面積最大，那么這個窗戶的最大透光面積是（）A.m2B.m2C.m2D.4m23.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發，那么經過_______秒，四邊形APQC的面積最小．4.某農場擬建兩間矩形飼養室，一面靠現有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為27m，則能建成的飼養室面積最大為_________m2．5.為了節省材料，某水產養殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區域，而且這三塊矩形區域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區域ABCD的面積為y.(1)求y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)求x為何值時，y有最大值？最大值是多少？6．某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米(如圖)，設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米．(1)若苗圃園的面積為72平方米，求x的值；(2)若平行與墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由；(3)當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍．

參考答案課后作業基礎型自主突破1．如圖，假設籬笆(虛線部分)的長度為16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是()A．60m2B．63m2C．64m2D．66m2【知識點】矩形面積，求二次函數最值【數學思想】數形結合【解題過程】設AB=x，則BC=16-x，其中．所以矩形ABCD的面積為且時，矩形ABCD的面積最大，．【思路點撥】通過設未知數，先把矩形ABCD的面積表示出來，是一個開口向下的二次函數，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，又知道自變量，因此當取對稱軸時，面積最大．【答案】C2．用一根長為40的繩子圍成一個面積為a的矩形，那么a的值不可能為()A．20B．40C．100D．120【知識點】矩形面積，求二次函數最值【數學思想】數形結合【解題過程】設矩形的一邊為x，則另外一邊為，其中．所以圍成矩形的面積為且時，矩形的面積最大，，因此,故a不可能取120．【思路點撥】矩形的周長為40，可以設出其中一邊，可表示出另外一邊，需要注意此時自變量的取值范圍，再表示出矩形的面積，此時面積是一個開口向下的二次函數，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，又知道自變量，因此可以算出面積的取值范圍．【答案】D3．已知一個直角三角形兩直角邊長之和為20，則這個直角三角形的最大面積為()A．25B．50C．100D．不確定【知識點】三角形面積，求二次函數最值【數學思想】數形結合【解題過程】設這個直角三角形的一邊為x，則另外一邊為，其中．所以面積為且時，三角形的面積最大，，因此．【思路點撥】已知直角三角形的兩邊之和是20，設其中一邊為x，表示出該直角三角形的面積，此時面積是一個開口向下的二次函數，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，其中，因此可以算出面積的最大值【答案】B4．將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是____.【知識點】正方形面積，求二次函數最值【數學思想】數形結合【解題過程】設其中一個正方形的周長為xcm，其邊長為，則另外一個正方形的周長為（）cm，其邊長為其中．所以這兩個正方形的面積之和為且時，三角形的面積最小，，因此．【思路點撥】兩個正方形的周長之和為20，,設其中一個正方形的邊長為x，表示出另一個的周長，進而表示出兩個正方形的面積之和，此時面積是一個開口向上的二次函數，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，其中，因此可以算出面積的最小值【答案】5．如圖，已知ABCD的周長為8cm，∠B＝30°，若邊長AB＝xcm.(1)ABCD的面積y()與x之間的函數解析式為_______，自變量x的取值范圍為________；(2)當x取____時，y的值最大，最大值為____．【知識點】平行四邊形面積，求二次函數最值【數學思想】數形結合【解題過程】(1)已知平行四邊周長為8cm，AB＝xcm，則BC＝4-x過點A作AE⊥BC交BC于點E，∠B＝30°,所以所以?ABCD的面積，其中(2)且時，，因此.【思路點撥】設平行四邊形中一個角為30°，周長為8，一邊為x可以表示出另一邊和這邊上的高，進而可以寫出該平行四邊形的面積，此時面積是一個開口向下的二次函數，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，其中，因此可以算出【答案】6．為搞好環保，某公司準備修建一個長方體的污水處理池，池底矩形的周長為100m，則池底的最大面積是()A．600B．625C．650D．675【知識點】矩形面積，求二次函數最值【數學思想】數形結合【解題過程】設矩形一邊為x，另一邊為50-x，所以該矩形的面積為，，時該矩形的面積最大為625【思路點撥】設矩形一邊為x，該矩形的面積為，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸進而可算出該矩形面積的最大值【答案】B能力型師生共研7.如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，設小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊面積為y，則y關于x的函數圖像是()【知識點】等邊三角形，三角形面積，一次函數圖像，二次函數圖像【數學思想】數形結合，分類討論【解題過程】由題意可知當0移動到點時，兩個三角形重疊部分都是△,由等邊三角形的面積公式可知此時重合部分的面積；當時，重疊部分依然是一個等邊三角形，不過此時等邊三角形的邊長為，所以此時重合部分的面積，’因此【思路點撥】運動過程中重疊部分的面積分別表示出來，轉化為一個分段函數的形式分別寫出函數解析式，進而可以得到圖像【答案】B8.用12m長的木料做成如圖的矩形窗框，則當長和寬各為多少米時，矩形窗框的面積最大？最大面積是多少？【知識點】矩形面積，求二次函數最值【數學思想】數形結合【解題過程】設該矩形的長為，則寬為，所以該矩形的面積為，∴當時該矩形的面積最大，最大值為4【思路點撥】設矩形的長為，可知4（長+寬）=12，進而可以表示出寬，利用面積公式轉化為二次函數求最值．【答案】4探究型多維突破9．如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側面積的最大值是()A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)eq\r(3)C.eq\f(9,2)eq\r(3)D.eq\f(27,2)eq\r(3)【知識點】等邊三角形，三棱柱側面積，利用二次函數求最值【數學思想】數形結合【解題過程】設盒子的高為，則箏形的長為，盒子的底邊為，側面積為∴當時該矩形的面積最大，最大值為【思路點撥】如何表示其側面積是難點，利用等邊三角形的性質即可解決問題【答案】C10．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB=m.（1）若花園的面積為192,求的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值.【知識點】矩形面積，解一元二次方程，利用二次函數求最值【數學思想】數形結合【解題過程】（1）∵AB=，∴BC=由題意可知，解得故時，花園面積為192；（2）由題意可知所以，因為該拋物線開口向下，對稱軸為，當時，隨x的增大而增大所以當時，花園面積最大，最大值為195.【思路點撥】（1）中直接求解一元二次方程即可，（2）是個區間最值，即對稱軸不所給的區間之內，需要謹慎．【答案】195自助餐1．如圖，用20m長的鐵絲網圍成一個一面靠墻的矩形養殖場，其養殖場的最大面積為______m2.【知識點】矩形面積，二次函數求最值【數學思想】數形結合【解題過程】設矩形養殖場平行于墻的一邊長xm,那么另外兩邊長養殖場的最大面積為可看出,當x=10時面積取得最大為50所以養殖場的最大面積為50m2【思路點撥】設未知數根據二次函數求最值【答案】502.用長為8米的鋁合金條做成如圖所示形狀的矩形窗框，是窗戶的透光面積最大，那么這個窗戶的最大透光面積是（）A.m2B.m2C.m2D.4m2【知識點】矩形面積，二次函數求最值【數學思想】數形結合【解題過程】設這個窗戶的長為xm,面積為y那么，∴當x=2時窗戶的透光的面積取得最大為4【思路點撥】設未知數根據二次函數求最值【答案】D3.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發，那么經過_______秒，四邊形APQC的面積最小．【知識點】三角形面積，二次函數求最值【數學思想】數形結合【解題過程】設P,Q同時出發后經過的時間為秒，四邊形APQC的面積為S，則有∵∴當秒時，四邊形APQC的面積最小【思路點撥】動態問題中求面積最小值，首先表示其面積然后轉化為二次函數求最值．【答案】34.某農場擬建兩間矩形飼養室，一面靠現有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為27m，則能建成的飼養室面積最大為_________m2．【知識點】矩形面積，二次函數求面積的最大值【數學思想】數形結合【解題過程】設垂直于墻體的一面長為x，建成的飼養室總占地面積為y，則平行于墻的材料長為27+3-3x=30-3x，

所以飼養室的面積的最大值為75【思路點撥】根據題意列出關于面積的式子【答案】755.為了節省材料，某水產養殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區域，而且這三塊矩形區域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區域ABCD的面積為y.(1)求y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)求x為何值時，y