此卷只裝訂不密封班級姓名準考此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號達標檢測卷數學（B）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．點關于平面的對稱點為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】點關于平面的對稱點是坐標不變，變為相反數，所以點關于平面的對稱點為，故選C．2．已知點，，，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】，，．所以，故是直角三角形，故選C．3．如圖，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有（）A．0個 B．3個 C．7個 D．9個【答案】C【解析】向量模相等即長度相等，根據平行六面體的性質可知，與向量模相等的向量是，，，，，，，共個，故選C．4．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于兩個平面垂直，故它們的法向量也垂直，即，，故選C．5．在正四面體中，，，，為的中點，為的中點，則用表示為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，∴，故選D．6．如圖，在平行六面體中，與的交點為，點在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，在平行六面體中，，故選C．7．在空間直角坐標系中，已知點，點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，故選B．8．若直線的一個方向向量，平面的一個法向量為，則（）A． B．C． D．A、C都有可能【答案】B【解析】直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則，，故選B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．對于任意非零向量，，以下說法錯誤的有（）A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量【答案】BD【解析】對于A選項，因為，則，A選項正確；對于B選項，若，且，，若，但分式無意義，B選項錯誤；對于C選項，由空間向量數量積的坐標運算可知，C選項正確；對于D選項，若，則，此時，不是單位向量，D選項錯誤，故選BD．10．若，，與的夾角為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由已知，，，，解得或，故選AC．11．如圖，棱長為的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【解析】對于，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，設，，，，，，，∴直線與所成的角為，故A錯誤；對于B，正方體中，，，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面，故B正確；對于C，，到平面的距離，∴三棱錐的體積：為定值，故C正確；對于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形，故D錯誤，故選BC．12．如圖所示，正方體中，，點在側面及其邊界上運動，并且總是保持，則以下四個結論正確的是（）A． B．點必在線段上C． D．平面【答案】BD【解析】對于A，在平面上，平面平面，到平面即為到平面的距離，即為正方體棱長，，A錯誤；對于B，以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則，，，，，，，，，，，，即，，，即三點共線，必在線段上，B正確；對于C，，，，與不垂直，C錯誤；對于D，，，，，，設平面的法向量，，令，則，，，，即，平面，D正確，故選BD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知，，則線段的中點坐標為________；_________．【答案】、【解析】設線段的中點坐標為，由中點坐標公式可得，即線段的中點坐標為，可得，故答案為，．14．在空間直角坐標系中，點和點的距離為，則實數的值為_______．【答案】2【解析】由題意得．15．直三棱柱中，若，，，則______．【答案】【解析】如圖所示：因為，，，所以．故答案為．16．是空間四點，有以下條件：①；②；③；④，能使四點一定共面的條件是______．【答案】④【解析】對于④，，由空間向量共面定理可知四點一定共面，①②③不滿足共面定理的條件，故答案為④．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，三棱柱中，平面平面，且，，，，在①，②，兩個條件中選擇一個條件，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】見解析．【解析】若選擇條件①，則以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，則，，，，所以，．設所求的角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為．若選擇條件②，則以為坐標原點，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，．設所求的角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為．18．（12分）已知空間中三點，，，設，．（1）若，且，求向量；（2）已知向量與互相垂直，求的值；（3）求的面積．【答案】（1）或；（2）；（3）．【解析】（1）空間中三點，，，設，，所以，，，，且，設，，，，或．（2），，且向量與互相垂直，，解得，的值是．（3）因為，，，，，，，，．19．（12分）如圖和均為等腰直角三角形，，，平面平面，平面，，．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：設的中點為，連結，因為為等腰直角三角形，，，所以，，又，所以平面，因為平面平面，平面平面，平面，，所以⊥平面，又平面，所以．所以可確定唯一確定的平面，又平面，．（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，．設平面的法向量，則，即，令，得；設平面的法向量，則，即，令，得，設二面角平面角為，則，所以二面角的余弦值為．20．（12分）如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．求BF的長．【答案】．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．設．∵四邊形為平行四邊形，∴由，得，∴，∴，．于是，即BF的長為．21．（12分）如圖，五面體中，平面，為直角梯形，，，．（1）若為的中點，求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：取的中點，連接，因為分別是的中點，所以且，因為，，所以且，所以，又平面平面，所以平面．（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，令，得，同理可求平面的一個法向量為，平面和平面為同一個平面，所以二面角的余弦值為．22．（12分）如圖，在長方體中，，，，為的中點，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：如圖