PAGE1第13講數據的集中趨勢和離散程度內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練習題講典例：教材習題學解題、快速掌握解題方法練考點強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1平均數（1）算術平均數一般地，對于個數，我們把叫做這個數的算術平均數，簡稱平均數，記作.計算公式為.加權平均數知識點1中位數與眾數中位數定義：是按順序排列的一組數據中居于中間位置的數。如果一組數據中有奇數個數，那么這組的中位數就取最中間兩個數和的平均值九尾這組的中位數。特征：中位數是一個位次上的平均指標，不受極端變量值的影響，能較好地反映一組數據的中等水平，適用于偏態分布資料或包含不完全信息的資料，在生活、醫學及計算機等領域有廣泛應用。例如，在統計居民收入水平時，若存在少數極高或極低收入者，用中位數能更合理地反映居民收入的一般水平。眾數定義：一組數據中出現次數最多的數。特征：眾數著眼于對各數據出現次數的考察，能直觀地反映一組數據的集中趨勢，眾數出現的次數越多，越能代表這組數據的整體狀況1。但它受數據分布影響較大，當數據分布較為均勻時，眾數的代表性可能較差。比如，在統計某品牌不同尺碼服裝的銷售情況時，眾數尺碼就是最受歡迎的尺碼，能幫助商家合理安排庫存。知識點3方差教材習題01解題方法算術平均數的運算

【答案】

教材習題02解題方法加權平均數的運算【答案】

教材習題03解題方法中位數和眾數的定義【答案】

教材習題04解題方法①方差的計算

②方差的意義【答案】

/考點一算術平均數的有關運算1．（2025·河南周口·二模）某校團委組織了歌詠比賽，如圖是20位評委給某班的評分人數從情況統計圖（部分污損），則該班平均得分是（

）A．8.8分 B．8.9分 C．9.1分 D．9.5分【答案】B【分析】本題主要考查了條形統計圖和加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義．根據統計圖求出給9分的評委人數，再根據加權平均數的定義列式計算即可．【詳解】解：給9分的評委人數=20?7?5=8，該班平均得分7×8+8×9+5×105+8+7故選：B．2．（2025八年級下·全國·專題練習）已知五個數據：2，2，x，5，8的平均數是4，則x的值為（）A．3 B．8 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了平均數，根據算術平均數的計算公式計算即可求解．掌握算術平均數的計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：由條件可知2+2+x+5+85解得x=3，故選：A．3．（2025八年級下·全國·專題練習）若一組數據4，5，6，a，b的平均數為5，則a，b的平均數為（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了平均數的定義，掌握平均數的定義是解答本題的關鍵．首先求得a、b的和，再求出a、b的平均數即可．【詳解】解：∵一組數據4，5，6，a，b的平均數為5，∴4+5+6+a+b=5×5，∴a+b=10，∴a、b的平均數為10÷2=5，故選：B．4．（2025八年級下·全國·專題練習）七個數的平均數是25，如果把每個數都增加x，現在這七個數的平均數是（）A．25+x×7 B．175+x C．25+7x D．25+x【答案】D【分析】本題考查的是算術平均數，熟練掌握數據x1,x【詳解】解：七個數的平均數是25，如果把每個數都增加x，現在這七個數的平均數是25×7+7x÷7=25+x故選：D．

考點二加權平均數的有關運算1．（2025·河南周口·二模）“體重管理年”三年活動由國家衛健委聯合16個部門共同發起，宣傳口號是“健康體重，一起行動”．某校組織各班開展板報宣傳活動，并對各班的宣傳板報按如圖所示的占比進行評分，每一項滿分10分．已知九（1）班“主題內容”“排版設計”“文字書寫”三項的得分分別為9分，7分，8分，則該班的最終得分為（

）A．7.5分 B．8分 C．8.1分 D．8.5分【答案】C【分析】本題考查了求加權平均數，理解題意是解題的關鍵．根據加權平均數的計算公式，列出算式，計算即可求解．【詳解】解：9×40%故選：C．2．（2025·河南南陽·二模）學校舉行籃球技能大賽，評委從控球技能和投球技能兩方面為選手打分，各項成績均按百分制計，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%計算選手的綜合成績，選手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林綜合成績為分．【答案】86【分析】本題考查了加權平均數的計算，掌握加權平均數的計算方法是解題的關鍵．根據題意，運用加權平均數的計算方法計算即可．【詳解】解：90×60%故答案為：86．3．（2025·山東臨沂·二模）某校學生期末操行評定奉行五育并舉，德智體美勞五方面按3:2:2:2:1確定最終成績，王林同學本學期五方面得分如圖所示；則王林期末操行最終得分為．【答案】9.1【分析】本題考查加權平均數，解題的關鍵是明確加權平均數的計算方法．據此解答即可．【詳解】解：10×3+9×2+8×2+9×2+9×13+2+2+2+1∴王林期末操行最終得分為9.1分．故答案為：9.1．4．（24-25八年級下·江蘇南通·期中）某公司招聘一名英文翻譯，某應聘者的聽、說、讀、寫成績分別為73分、80分、82分、83分．最后成績中，聽、說、讀、寫成績按照2:1:3:4的比確定，那么該應聘者最后的成績為分．【答案】80.4【分析】本題考查加權平均數，根據加權平均數的計算方法代值求解即可得到答案，熟練掌握加權平均數的計算公式是解決問題的關鍵．【詳解】解：2+1+3+4=10，應聘者最后的成績為73×2故答案為：80.4．

考點三中位數與眾數的有關運算1．（2025年湖南省長沙市初中學業水平考試數學試卷（一））2025年1月，中共中央、國務院印發《教育強國建設規劃綱要（2024?2035年）》，其中就提出了中小學生每天綜合體育活動時間不低于2小時的要求．某校為了解學生的綜合體育活動情況，對部分學生在一周內的綜合體育活動時間統計如下表：時間/h1213141516人數12201053則這些學生的綜合體育活動時間的眾數和中位數分別是（

）A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14【答案】A【分析】本題考查了求眾數和中位數；一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數，據此求解即可．【詳解】解：由表格知，一周內體育活動時間為13小時的有20人，人數最多，所以這些學生閱讀時間的眾數是13；因為共有12+20+10+5+3=50人，所以中位數是排序后第25，26名的平均數，即13+132這些學生的綜合體育活動時間的眾數和中位數分別是13,13；故選：A．2．（2025·江西九江·三模）某班40名學生一周閱讀書籍的冊數的統計圖如圖所示，則該班閱讀書籍的冊數的眾數和中位數分別是（）A．2，2 B．14，2 C．2，2.5 D．14，2.5【答案】A【分析】本題考查了眾數和中位數，熟知二者的概念是解題的關鍵；根據統計圖可得閱讀書籍的冊數為2冊的人數最多，有14人，可得眾數，再根據中位數的定義即可求出數據的中位數，即可得解.【詳解】解：由統計圖可得：閱讀書籍的冊數為2冊的人數最多，有14人，∴眾數是2冊；這40個數據按照從小到大的順序排列后，排在第20和第21位的兩個數是2，2，∴中位數是2冊；故選：A.3．（2025·江蘇蘇州·二模）學校抽查了10名青年教師的年齡情況（見下表）：年齡（歲）2425262728人數23212這10名教師年齡的眾數、中位數分別是（

）A．2，25歲 B．2，26歲 C．28歲，25.5歲 D．25歲，25.5歲【答案】D【分析】本題考查了眾數與中位數，熟知二者的概念是解題關鍵；根據眾數（眾數指在一組數據中出現次數最多的數值）和中位數（中位數?是指將一組數據按大小順序排列后，位于中間位置的數值。如果數據的個數是奇數，則中位數是中間那個數；如果數據的個數是偶數，則中位數是中間兩個數的平均值?）的定義求解即可.【詳解】解：這10個數據中，25出現的次數最多，有3次，所以這組數據的眾數是25歲；按照從小到大的順序排列后，第5和第6個數據分別是25和26，所以這組數據的中位數是25+262故選：D.4．（2025·四川成都·二模）某校開設校園足球特色課程，擬為足球隊成員準備球鞋，對15名成員的鞋碼進行了調查，結果如圖所示.則這15名成員鞋碼的眾數和中位數分別是(

)A．41，41 B．41，40 C．40，41 D．40，40【答案】A【分析】本題考查了眾數和中位數，解題的關鍵是根據它們的定義來解答．眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不只一個；找中位數要把數據按從小到大的順序排列，奇數個數據是位于最中間的一個數（或偶數個數據是兩個數的平均數）為中位數．據此解答即可．【詳解】解：數據41出現了5次，出現次數最多，故眾數為41；按大小排列第8個數是41，所以中位數是41．故選：A．考點四平均數，中位數與眾數的綜合1．（2025·河南周口·三模）【項目背景】隨著先進科技、教育環境以及社會動態的變化，存量風險逐漸顯現，新型風險因勢而生，紛至沓來的風險挑戰使得校園安全事件也層出不窮．為了解學生對校園安全的認識和掌握情況，某地對甲、乙兩校的部分學生進行了調查統計，為校園安全質量的提升提供一些參考．【數據收集與整理】從甲、乙兩校各隨機抽取20名學生進行測試(滿分100分)，測試后對學生的成績x(單位：分)進行了整理和分析．部分信息如下：信息一：繪制成了如下兩幅均不完整的統計圖．(數據分組：A組，60≤x<70；B組，70≤x<80；C組，80≤x<90；D組，90≤x≤100)信息二：甲校學生的測試成績在C組的是：80，82.5，82.5，85，87，89，89.5，82.5，85．信息三：甲、乙兩校成績的平均數、中位數、眾數如下表．學校平均數中位數眾數甲84.2m82.5乙80.68180任務1補全頻數分布直方圖．【數據分析與運用】任務2乙校學生的測試成績位于C組的人數為人，表格中m=．任務3在此次測試中，甲校小明和乙校小華的成績均為82.5分，則兩位同學誰在各自學校測試成績中的排名更靠前？請說明理由【答案】任務1：見解析；任務2：8，86；任務2：小華的排名更靠前，理由見解析【分析】本題主要考查了頻數分布直方圖、扇形統計圖、中位數等知識，通過扇形統計圖和頻數分布直方圖獲得所需信息是解題的關鍵．任務1：用總數減去其他組別的人數，得出B組的人數，進而補全統計圖；任務2：根據扇形統計圖求得C組的占比，進而求得C組的人數，再根據中位數的定義，以及甲校學生的測試成績在C組數據求得m的值；任務3：根據甲、乙兩個學校的中位數以及小明、小華的成績進行判斷即可．【詳解】任務1：甲校學生測試成績位于B組的人數為：20?1?9?7=3補全頻數分布直方圖如圖，任務2乙校學生的測試成績位于C組的人數為1?20%甲校學生的測試成績在C組的是：80，82.5，82.5，85，87，89，89.5，82.5，85．從小到大排列為：80，82.5，82.5，82.5，85，85，87，89，89.51+3+9>10∴甲校學生的測試成績的中位數是第10和11個數為85，87∴m=故答案為：8，86．任務2小華的成績排名在前，理由如下：小明的成績為82.5分，在甲校中位數86分以下，小華的成績82.5分，在乙校中位數81分以上，因此小華的成績排名靠前；2．（2025·陜西西安·模擬預測）為鼓勵學生積極加入中國共青團組織，某學校團委在八、九年級各抽取50名學生開展團知識競賽，為便于統計成績，制定了取整數的計分方式，滿分10分．競賽成績如圖所示：(1)請根據圖表中的信息，回答下列問題．年級平均數眾數中位數八年級87b九年級8a8①表中a=______，b=_______；②現要給成績突出的年級頒獎，如果分別從眾數和平均數兩個角度來分析，你認為應該給哪個年級頒獎？(2)若規定成績10分獲一等獎，9分獲二等獎，8分獲三等獎，請通過計算說明哪個年級的獲獎率高．【答案】(1)①8，8；②九年級(2)九年級【分析】本題主要考查了中位數、眾數，掌握各個概念和計算方法是解題的關鍵．（1）①分別根據中位數、眾數解答即可；②根據兩個年級眾數解答即可；（2）根據題意列式計算即可．【詳解】（1）①∵九年級競賽成績中8分出現的次數最多，故眾數a=8分；八年級競賽成績中第25、26位的分數都是8分，故中位數b=8分；②從平均數看，兩個年級的平均數相等，如果從眾數角度看，八年級的眾數為7分，九年級的眾數為8分，所以應該給九年級頒獎；（2）八年級的獲獎率為：(10+7+11)÷50=56%九年級的獲獎率為：(14+13+6)÷50=66%∵66%∴九年級的獲獎率高．3．（2025·湖北·三模）某校開展了“校園科技節”活動，每班選取25名學生參賽，活動包含模型設計、科技小論文兩個項目．對801班的25名參賽學生的模型設計分數進行整理、描述和分析，給出如下部分信息．a．801班模型設計分數頻數分布直方圖．b．801班模型設計的平均數、眾數、中位數如表所示：班級平均數眾數中位數801班86.5mn其中85≤x<90這一組的數據為：86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89根據以上信息，回答下列問題：(1)補全801班模型設計的頻數分布直方圖：(2)表格中m的值為________，n的值為________；(3)801班這25名學生的科技小論文平均分為93分．若學校將模型設計和科技小論文兩個項目的平均分按照6:4的比例確定最終成績，請通過計算說明801班最終成績為多少分？【答案】(1)見解析(2)86，87(3)89.1分【分析】本題主要考查頻數分布直方圖，中位數，眾數，加權平均數的計算，掌握以上知識及其計算是關鍵．（1）根據樣本容量，結合頻數分布直方圖得到各組人數即可補全圖形；（2）根據中位數，眾數的計算方法求解即可；（3）根據加權平均數的計算方法求解即可．【詳解】（1）解：∵85≤x<90有12人，∴90≤x<95有25?2?1?4?12?4=2，補全801班模型設計的頻數分布直方圖如下：（2）解：∵801班的25名參賽學生的模型設計分數按照從小到大排列后，排在第13個數據是87；∴n=87，∵801班的25名參賽學生的模型設計分數86出現的最多，∴m=86．故答案為：86，87；（3）解：801班模型設計的平均數86.5分，科技小論文平均分為93分，∴801班最終成績為：86.5×6考點五方差的運算及意義1．（2025·遼寧阜新·二模）已知一組數據3，5，x，8，8的平均數為6，則這組數據的方差是．【答案】3.6【分析】本題主要考查了方差的定義，屬于基礎題．首先根據平均數求出x值，然后利用方差公式即可得到答案．【詳解】解：由題意得3+5+8+x+8=6×5，得x=6，所以這組數據的方差為s2故答案為：3.6．2．（2025·河南南陽·二模）下面記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：甲乙丙丁平均數/cm175180180175方差3.23.25.46.1根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇．【答案】乙【分析】本題考查了平均數和方差，首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加即可．【詳解】解：∵乙、丙成績的平均數大于甲、丁成績的平均數，∴從乙、丙中選擇一人參加比賽，∵S乙∴選擇乙參賽，故答案為：乙．3．（2025·浙江溫州·二模）如圖是甲、乙兩人10次實心球訓練成績的折線統計圖，對比方差發現S甲2>S乙【答案】甲【分析】本題考查折線統計圖，方差，解題關鍵是掌握方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．利用折線統計圖可判斷折線A表示的成績波動較大，根據方差的意義可知甲的成績波動比乙的成績波動大，即可求解．【詳解】解：由圖可知折線A表示的成績波動較大，由S甲所以折線A表示甲的成績．故答案為：甲．4．（2025·福建泉州·三模）甲、乙、丙、丁四位同學參加學校象棋選拔賽培訓．已知這四位同學近5次組內訓練積分均相同，5次成績的方差分別為S甲2=1.2，S乙2=1.6，【答案】丁【分析】本題考查方差的實際應用．根據方差的意義解答即可．【詳解】解：∵S甲2=1.2，S乙2∴S丁故答案為：丁．考點六平均數，中位數與，眾數與方差的綜合應用1．（2025·內蒙古·模擬預測）某班組織了一次成語知識趣味競賽，有20名學生報名參加，參賽學生被分為甲、乙兩組，每組10人，滿分10分（得分均為整數），成績達到7分及7分以上為合格，達到9分或10分為優秀．以下是這次競賽中甲、乙兩組學生成績分布的折線統計圖和成績統計分析表．平均分中位數方差合格率優秀率甲組ab3.7540%30%乙組7.27.5c70%20%根據以上信息，解決下列問題：(1)求出成績統計分析表中a，b，c的值；(2)小英同學說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中排名屬中游略偏上！”觀察成績統計分析表判斷，小英是哪個組的學生？(3)你認為哪個組的成績更好？請說明理由．【答案】(1)a=6.8,b=6,c=1.96(2)小英屬于甲班的學生(3)乙組的成績更好，理由見詳解【分析】本題主要考查調查與統計，掌握加權平均數，中位數，方差，調查數據作決策的方法是關鍵．（1）根據加權平均數，中位數，方差的計算即可求解；（2）根據中位數分析即可；（3）根據平均數，中位數，方差作決策即可．【詳解】（1）解：根據折線圖可得甲組：3分的1人，6分的5人，7分的1人，9分的2人，10分的1人，乙組：5分的2人，6分的1人，7分的2人，8分的3人，9分的2人，∴a=3×1+6×5+7×1+9×2+10×11+5+1+2+1=6.8c===1.96；（2）解：∵甲班的中位數為6，乙班的中位數為7.5，小英排名屬中游略偏上，∴小英屬于甲班的學生；（3）解：甲組的平均分，中位數小于乙組的平均分，中位數，甲組的方差大于乙組的方差，甲組的合格率小于乙組的合格率，∴乙組的成績更好．2．（2025·山東日照·三模）為做好青少年禁毒教育宣傳工作，學校開展了主題為“珍愛生命，拒絕毒品”的知識競賽（共20題，每題5分，滿分100分）．學校從學生成績都不低于80分的九年級（1）和（3）班中，各隨機抽取了20名學生成績進行整理，繪制了不完整的統計表、條形統計圖及分析表．【收集數據】九年級（1）班20名學生成績：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．九年級（3）班20名學生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述數據】九年級（1）班20名學生成績統計表分數80859095100人數33a73九年級（3）班20名學生成績條形統計圖【分析數據】九年級（1）班和（3）班20名學生成績統計表統計量/班級平均數中位數眾數方差九年級（1）班mn95

41.5九年級（3）班9190p

26.5【應用數據】根據以上信息，回答下列問題：(1)請補全條形統計圖；(2)填空：a=_________，m=_______，n=_________；(3)你認為哪個班級的成績更好一些？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)4，91，92.5(3)我認為九年級（1）班成績更好一些，理由見解析【分析】此題考查了條形統計圖，中位數，眾數，方差．（1）找出九年級（3）班得90分和95分的人數，補全條形統計圖即可；（2）求出九年級（1）班成績為90分的學生人數，以及得分的平均分和中位數即可；（3）比較兩個班的平均數，中位數，眾數，以及方差，判斷即可；【詳解】（1）解：根據九年級（3）班20名學生成績，補全條形統計圖，如圖所示：（2）解：根據題意得：a=20?3?3?7?3=4，

m==91，從小到大排列得：80,80,80,85,85,85,90,90,90,90,95,95,95,95,95,95,95,100,100,100，最中間的兩個為90和95，∴n=1故答案為：4,91,92.5；（3）解：我認為九年級（1）班成績更好一些，理由為：九年級（3）班的眾數為p=90，平均數兩個班相同，中位數和眾數方面（1）班優于（3）班，方差方面（3）班優于（1）班，綜上所述，九年級（1）班成績更好一些．3．（2025·湖北·三模）紅星中學積極落實教育部關于加強對中小學生“五項管理”的相關要求，堅持“健康第一”的教育理念，通過一系列措施增強學生身體素質，并不定期對學生進行專項測試，3月對八年級男生1000米跑進行了測試．【收集數據】從中隨機抽取若干名男生的測試成績．【整理數據】將抽取的成績進行整理，x（百分制）表示成績，分成四組：不及格（x<60），合格（60≤x<75），良好（75≤x<90），優秀（x≥90）．【描述數據】根據抽取的學生成績，繪制出了如下不完整的統計圖．【分析數據】樣本數據的平均數、中位數、眾數、方差如下表：平均數中位數眾數方差77.779.77517.6根據以上信息，回答下列問題：(1)補全條形統計圖；(2)若八年級有400個男生參加測試，估計測試成績合格及以上的有多少人？(3)請從平均數、中位數、眾數和方差這四個統計量中任意選一個，解釋其在本題中的意義．【答案】(1)見解析(2)估計測試成績合格及以上的有350人；(3)從平均數看，估計該校八年級男生1000米跑測試平均成績為77.7分．或從中位數看，估計該校八年級男生1000米跑測試成績至少有一半不低于79.7分．或從眾數看，估計該校八年級1000米跑測試成績為75分的最多．【分析】本題考查頻數分布直方圖，中位數、眾數和平均數，根據樣本百分比求總體的數量，理解中位數、眾數的意義以及和平均數的計算方法是解決問題的關鍵．（1）用優秀的頻數除以其占比，可得樣本容量，再用樣本容量分別減去其它三組的頻數，即可得出良好的頻數，進而補全條形統計圖；（2）用400乘樣本中成績合格及以上的人數所占比例即可；（3）根據平均數、中位數和眾數解答即可．【詳解】（1）解：10÷25%∴良好人數為40?5?13?10=12（人）．如圖所示：（2）解：400×13+12+10答：估計測試成績合格及以上的有350人；（3）解：從平均數看，估計該校八年級男生1000米跑測試平均成績為77.7分．從中位數看，估計該校八年級男生1000米跑測試成績至少有一半不低于79.7分．從眾數看，估計該校八年級1000米跑測試成績為75分的最多．5．（2025·河南洛陽·三模）鄭州綠博園內有許多特殊的樹木，比如構樹、廣玉蘭樹等．某班同學前往綠博園開展實踐活動，對構樹葉和廣玉蘭樹葉進行調查統計．【數據收集與整理】同學們隨機收集構樹葉、廣玉蘭樹葉各10片，通過測量得到這些樹葉的長y（單位：cm）、寬x（單位：cm）的數據后，分別計算長寬比，整理數據如下：12345678910構樹葉的長寬比2.12.42.522.22.52.22.42.32.2廣玉蘭樹葉的長寬比2.93.133.2333.13.32.93【數據分析與運用】平均數中位數眾數方差構樹葉的長寬比2.28a2.20.0256廣玉蘭樹葉的長寬比3.053b0.0145【問題解決】(1)上述表格中：a=______，b=______；(2)通過數據，同學們總結出了一些結論：①甲同學說：“從樹葉的長寬比的方差來看，構樹葉的形狀差別比廣玉蘭樹葉小．”②乙同學說：“從樹葉長寬比的平均數、中位數、眾數來看，廣玉蘭樹葉的長約為寬的3倍．”上面兩位同學的說法中，合理的是______（填序號）(3)現在有一片長為16cm，寬為7cm的樹葉，請判斷這片樹葉可能來自構樹、廣玉蘭樹中的哪種樹，并給出你的理由．【答案】(1)2.25，3(2)②(3)這片樹葉可能來自構樹，見解析【分析】本題考查求中位數、眾數，利用統計量作決策，理解各統計量的意義是解答的關鍵．（1）利用中位數和眾數的定義求解即可；（2）根據方差越大，表明這組數據波動越大，越不穩定可判斷①；根據表格數據中的中位數、眾數和方差可得結論；（3）求得這片樹葉長寬比為167【詳解】（1）解：將構樹葉的長寬比從小到大排列為2，2.1，2.2，2.2，2.2，2.3，2.4，2.4，2.5，2.5，中位數a=2.2+2.3廣玉蘭樹葉的長寬比中，3出現的次數最多，所以眾數b=3．故答案為：2.25；3；（2）解：方差越大，表明這組數據波動越大，形狀差別越大，構樹葉方差0.0256大于廣玉蘭樹葉方差0.0145，所以構樹葉的形狀差別比廣玉蘭樹葉大，甲同學說法錯誤；廣玉蘭樹葉長寬比平均數約為3.05，中位數為3，眾數為3，所以從樹葉長寬比的平均數、中位數、眾數來看，廣玉蘭樹葉的長約為寬的3倍，乙同學說法正確，合理的是②．故答案為：②；（3）解：這片樹葉長寬比為1676．（2025·湖北襄陽·一模）每年11月9日是全國消防日．為提高師生的消防安全意識和自我保護能力，某校開展了“筑牢消防防線，競逐知識鋒芒”消防安全知識競賽活動．為了解七、八年級的學生對消防知識的掌握情況，學校從七年級、八年級各隨機抽取20名學生進行測試，滿分100分，以下是測試成績的抽樣與數據分析過程．【收集數據】七年級20名學生測試成績統計如下：56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95．【整理數據】八年級20名學生測試成績頻數分布表：成績50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100人數04574【描述數據】七年級20名學生測試成績頻數分布直方圖（每組數據包括左端值不包括右端值，如最左邊第一組的成績范圍為50≤x＜60）：【分析數據】兩組樣本數據的平均數、中位數、眾數、方差如表所示：根據信息，解答下列問題：年級平均數中位數眾數方差七年級76.9ab119.89八年級79.28174100.4(1)補全七年級20名學生測試成績頻數分布直方圖．(2)請直接寫出a，b的值．(3)估計該校八年級參加測試的300名學生中成績在80分及以上的人數．(4)請根據“學生參加消防知識競賽成績統計表”，從平均數、眾數、中位數三個統計量中任意選一個，對本次競賽中兩個年級的成績做出評價．【答案】(1)圖見解析(2)a=77.5，b=86(3)165人(4)見解析【分析】本題主要考查頻數分布直方圖、中位數、眾數、方差等知識點，掌握中位數、眾數、方差的意義是解題的關鍵．（1）先求出七年級70～80分的人數，然后補全頻數分布直方圖；（2）根據中位數、眾數的定義求解即可；（3）根據樣本中20名學生測試成績中在80分及以上的人數為7+4=11人估計八年級參加測試的300名學生中成績在80分及以上的人數．（4）根據平均數、眾數、中位數的意義進行判斷即可．【詳解】（1）解：由題意可得：七年級在70≤x<80范圍內的人數有20?2?3?5?3=7（人），補全直方圖如下所示：（2）解：由七年級20名學生測試成績可得：成績從小到大排列處于第十、十一位的數據為：77，78，則中位數a=77+7886出現4次，次數最多，則眾數b=86．故答案為：77.5，86．（3）解：300×7+4答：估計該校八年級參加測試的300名學生中成績在80分及以上的人數有165人．（4）從平均數看，八年級學生測試成績的平均數79.2高于七年級平均數76.9．所以八年級學生成績好．從中位數看，八年級學生測試成績的中位數81高于七年級77.5．說明七年級學生成績大

概有一半在77.5以上，八年級學生成績大概有一半在81以上．所以八年級學生成績好．從眾數看，七年級學生成績為86分的最多，八年級學生得74分的最多．（答案不唯一，符合題意即可）．知識導圖記憶知識目標復核1.算術平均數的有關運算

2.加權平均數的有關運算

3.中位數與眾數的有關運算

4.方差的運算及意義5.平均數，中位數與，眾數與方差的綜合應用一、單選題1．（2025·廣西柳州·模擬預測）某次演講比賽中，進入決賽的7位同學得分由低到高依次為88，90，90，92，97，97，98．這組得分的中位數是（

）分A．98 B．92 C．97 D．90【答案】B【分析】本題主要考查了求一組數據的中位數，把一組數據按照一定的順序排列，處在最中間的那個數據或最中間的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數，據此求解即可．【詳解】解：由題意得，這組得分的中位數是92分，故選：B．2．（2025·遼寧盤錦·三模）某校八年級八班進行物理測試，全班45名同學的成績如表，下列結論正確的是（

）成績6065707880838792人數47675484A．眾數是8 B．眾數是4 C．中位數是78 D．中位數是80【答案】C【分析】本題主要查了求眾數，中位數．根據眾數，中位數得定義解答即可．【詳解】解：∵87分的人數最多，∴眾數是87，故A，B選項錯誤；把45名同學的成績從小到大排列位于第23位的是78分，∴中位數是78，故C選項正確，D選項錯誤．故選：C3．（2025年廣西崇左市初中畢業生第二次聯合測試模擬預測數學試題）2025年全國體操錦標賽暨第十五屆全國運動會體操成年組資格賽將在廣西南寧三塘體育訓練比賽基地舉行．為選拔某項目參賽人員，現統計了該項目一組運動員的測試成績，他們測試成績的平均數相同，若要選擇這組運動員中測試成績較穩定的一位去參賽，還需要比較他們測試成績的（

）A．中位數 B．眾數 C．方差 D．極差【答案】C【分析】本題考查了方差的運用，理解方差的含義是關鍵．根據方差越小，成績越穩定判定即可．【詳解】解：根據方差的大小判定測試成績的穩定性，∴還需要比較他們測試成績的方差，故選：C．4．（2025·山東青島·二模）如圖是青島市某地區5月1日至5日天氣預報的部分截圖，下列說法錯誤的是（

）A．這五天中，溫差最大的是5月1號B．這五天中，每日最低氣溫的眾數是12℃C．這五天中，每日最高氣溫的中位數是20℃D．這五天中，每日最高氣溫的平均數為18.6℃【答案】C【分析】本題考查求中位數，眾數，平均數，從截圖中獲取信息，根據中位數，眾數和平均數的計算方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、觀察可知，這五天中，5月1日的最高氣溫最高，最低氣溫最低，故溫差最大的是5月1號；該選項正確，不符合題意；B、這五天中，每日最低氣溫出現次數最多的是12℃，故眾數為12℃；該選項正確，不符合題意；C、將每日最高氣溫排序后，第3個數據為18℃，故中位數為18℃；該選項錯誤，符合題意；D、這五天中，每日最高氣溫的平均數為15故選C．5．（2025·云南文山·模擬預測）某學校組織演講比賽，記錄了甲、乙、丙、丁四名學生演講比賽成績的平均數與方差，如表所示：甲乙丙丁平均數（分）82868386方差3.57.56.53.5學校要從這四名學生中選擇一名成績好且發揮穩定的學生代表學校參加演講比賽，應該選擇（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】本題主要考查了用平均數和方差做決策，根據題意可知要選擇平均數大且方差小的人參賽，據此求解即可．【詳解】解：從平均數來看，應該從乙，丁中選擇一人參賽，從方差來看，應該從甲，丁中選擇一人參賽，∴綜合來看，應該選擇丁參賽，故選：D．6．（2025年上海市楊浦區九年級下學期質量調研（二）數學試題）上海市四月份某周七天的最高氣溫分別是22°C、23°C、25°CA．24°C B．25°C C．25.5°C【答案】B【分析】本題考查眾數定義和求法、中位數定義和求法，根據22°C、23°C、25°C【詳解】解析：已知這周七天最高氣溫的眾數是25°C，說明25°C出現的次數最多，則將數據按升序排列：22°∴中位數是第4個數（共7個數據），25°C故選：B．7．（2025·四川綿陽·一模）學校新組建的籃球隊12名隊員的年齡如下表所示：年齡/歲13141516人數5412則這12名隊員年齡的眾數和平均數分別是（

）A．13，14 B．14，14 C．13，14.5 D．14，14.5【答案】A【分析】本題主要考查了眾數的定義以及平均數的求法，眾數就是出現次數最多的數，平均數即總的年齡除以總的人數．【詳解】解：年齡為13歲的人數出現的次數最多為5人，則眾數為13．平均數為：13×5+14×4+15×1+16×212則平均數數14，則這12名隊員年齡的眾數和平均數分別是13，14，故選：A8．（2025·寧夏銀川·一模）如圖，是銀川市某一天的氣溫隨時間變化的情況，下列說法正確的是（

）A．這天的溫差是10℃ B．這天溫度的平均數是C．這天溫度的中位數是4℃ D．這天溫度的眾數是【答案】D【分析】本題考查了極差，平均數，中位數，眾數，解題的關鍵是根據圖象分析數據，從圖象上獲得相應數據，來求相應的量．【詳解】解：由圖可知：最高溫度8℃，最低溫度分別是?4℃，故溫差為：從圖象觀察平均數會小于4℃，中位數也小于4從圖像上看出溫度是2℃，出現了最高次數3次，故眾數是2故選：D．二、填空題9．（2025·廣東廣州·二模）某電商平臺以店鋪近六個月收到顧客關于商品描述、服務態度的兩項評分綜合計算店鋪的信譽分，兩項比重為6:4．若某店鋪的商品描述得分90，服務態度得分95，則該店鋪的信譽分為．【答案】92【分析】本題考查了加權平均數，根據加權平均數進行計算即可，解題的關鍵是掌握相關的定義和意義．【詳解】解：∵某店鋪的商品描述得分90，服務態度得分95，兩項比重為6:4，∴該店鋪的信譽分為90×6+95×46+4故答案為：92．10．（2025·四川南充·二模）體育課上，分組訓練6名男生引體向上成績（個）的中位數與平均數恰好相等．已知其中5人成績為6，6，8，10，11，則另一人成績為個．【答案】1或13/13或1【分析】本題主要考查了平均數以及中位數．設另一人成績為x個，可求出平均數為41+x6【詳解】解：設另一人成績為x個，則平均數為16若x≤6，此時中位數為6+82∵中位數與平均數恰好相等，∴41+x6解得：x=1；若6<x≤10，此時中位數為8+x2∵中位數與平均數恰好相等，∴41+x6解得：x=17若x>10，此時中位數為10+82∵中位數與平均數恰好相等，∴41+x6解得：x=13；綜上所述，另一人成績為1或13個．故答案為：1或1311．（2025·山東臨沂·二模）已知一組數據的方差為s2=1【答案】6【分析】本題考查方差的定義，根據方差的公式可以得到平均數．【詳解】∵一組數據的方差為s2∴組數據的平均數是6，故答案為：6．12．（2025·云南玉溪·二模）某校女子啦啦操隊的年齡分布如下表所示，這些隊員年齡的中位數是．年齡（單位：歲）1213141516人數38911【答案】13.5【分析】本題主要考查中位數的定義，及計算方法，掌握以上知識是解題的關鍵．根據中位數的定義即可求解．【詳解】解：根據題意可得，共有3+8+9+1+1=22名隊員，且年齡已從小到大排序，∴中位數在第11,12名隊員的年齡的平均數，∵3+8=11,3+8+9=20>12，∴中位數是13+142故答案為：13.5．三、解答題13．（24-25九年級上·江蘇鎮江·期末）射擊訓練班中的甲乙兩名選手在5次射擊訓練中的成績依次為（單位：環）：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9教練根據他們的成績繪制了如下尚不完整的統計圖表：選手平均數眾數中位數方差甲8a8c乙89b3.2根據以上信息，請解答下面的問題：(1)a=______，b=______，c=______；(2)教練根據這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？(3)選手乙再射擊第6次，由于發揮失常，命中的成績僅是5環，則選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會______．（填“變大”、“變小”或“不變”）．【答案】(1)8，9，0.4；(2)見解析；(3)變大．【分析】本題主要考查了求方差，中位數，平均數，眾數，方差與穩定性之間的關系，熟知相關知識是解題的關鍵．（1）根據眾數的定義確定a的值，根據方差公式計算甲的方差得到c的值，然后根據中位數的定義確定b的值；（2）利用方差的意義得甲的成績比較穩定，從而決定選擇甲參加射擊比賽；（3）第6次為5環，與平均數相差比較大，數據的波動性變大，所以方差變大．【詳解】（1）解：∵甲選手的成績中8環出現了3次，出現次數最多，∴甲選手的成績眾數為8，即a=8，S甲即c=0.4；把乙選手的成績按由小到大排列為5，7，9，9，10，∴乙選手的成績的中位數為9；故答案為：8，9，0.4；（2）解：教練的理由為：甲乙的平均數相同，甲的方差小于乙的方差，所以成績比較穩定，所以教練根據這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽；（3）∵第6次為5環，與平均數相差比較大，∴選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會變大．故答案為：變大．14．（24-25八年級上·廣東佛山·期末）在臍橙收獲季節，某班同學開展綜合實踐活動，其中一個項目是在日照、土質、空氣濕度等外部環境基本一致的甲、乙兩塊成齡臍橙園，對兩塊臍橙園的臍橙品質情況進行調查統計，為臍橙的發展規劃提供一些參考．從兩塊臍橙園采摘的臍橙中各隨機選取400個（不計過大和過小的果實），在技術人員指導下，測量每個臍橙的直徑，作為樣本數據．臍橙直徑用x（單位：cm）表示．如表1，將所收集的樣本數據進行如下分組，整理樣本數據，并繪制甲園樣本數據的扇形統計圖、乙園樣本數據的頻數分布直方圖如下：組別xA6.5≤x<7.0B7.0≤x<7.5C7.5≤x<8.0D8.0≤x<8.5E8.5≤x<9數據分組根據所給信息，回答下列問題：(1)由統計圖可知，甲園樣本數據的中位數在___________組；甲園樣本數據的眾數在___________組，乙園樣本數據的眾數在___________組．(2)結合市場情況，認定D組的臍橙為一級，C組為二級，B組和E組為三級，A組為次果（不納入品質評比）．其中一級品質最優，二級次之，三級最次，你認為哪個園的臍橙品質更優，并說明理由．【答案】(1)C組，B組，C組(2)我認為乙園的臍橙品質更優，因為乙園的一級果占比比甲園的更多（答案不唯一）【分析】本題考查頻數分布直方圖，扇形統計圖、頻數分布表，中位數、眾數，解題的關鍵是讀懂圖中信息．（1）先根據扇形統計圖求得甲園A組、B組、C組臍橙個數，再根據中位數的定義甲園樣本數據的中位數在C組；再根據B組占35%，占比最大，即可得到甲園樣本數據的眾數是B（2）分別求得甲乙兩園一級所占的百分比，進而比較大小可得答案．【詳解】（1）解：根據扇形統計圖可得，甲園A組臍橙個數為400×7.5%=30（個），B組臍橙個數為400×35%=140（個），∵中位數是第200和201個數據的平均數，∴甲園樣