EGMO競賽沖刺：2025年模擬試卷初中生幾何證明與組合策略難點突破一、幾何證明要求：請根據以下條件，完成下列證明題。1.已知在三角形ABC中，AB=AC，D為BC的中點，E為AD的延長線上的一點，AE=AD。證明：∠BAC=∠EAD。2.在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且BE=2BF。證明：四邊形AEFD是菱形。3.在三角形ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，F是AB上的一點，且DF=BE。證明：四邊形AEFD是平行四邊形。4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=DE=EB。證明：三角形ADE與三角形BDE全等。5.在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE=BF。證明：四邊形AEFD是菱形。二、組合策略要求：請根據以下條件，完成下列組合策略題。1.有3個紅球、2個黃球、1個藍球，從中隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率。2.將5個相同的球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放1個球，求不同的放法數量。3.有4個不同的球，依次放入3個不同的盒子中，求不同的放法數量。4.有3個紅球、2個黃球、1個藍球，從中隨機取出3個球，求取出的3個球顏色各不相同的概率。5.將5個相同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放1個球，求不同的放法數量。三、幾何圖形要求：請根據以下條件，完成下列幾何圖形題。1.已知在等邊三角形ABC中，點D為BC邊的中點，點E為AD上的一點，且AE=AD。求證：三角形ABE與三角形ACD相似。2.在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且BE=2BF。求證：四邊形AEFD是菱形。3.在三角形ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，F是AB上的一點，且DF=BE。求證：四邊形AEFD是平行四邊形。4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=DE=EB。求證：三角形ADE與三角形BDE全等。5.在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE=BF。求證：四邊形AEFD是菱形。四、幾何應用題要求：請根據以下條件，完成下列幾何應用題。1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm。點D在AB上，且BD=8cm。求CD的長度。2.一個圓的半徑為5cm，圓心為O。點P在圓上，且∠POA=60°。求OP的長度。3.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，AE=3cm，EC=4cm。求BE的長度。4.三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10cm。求AC的長度。5.一個等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8cm。點D在AC上，AD=4cm。求BD的長度。五、組合問題要求：請根據以下條件，完成下列組合問題。1.從1到10這10個數字中，隨機抽取3個數字，求這3個數字互不相同的概率。2.有5個不同的球，放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放1個球，求不同的放法數量。3.一個密碼鎖由4個數字組成，每個數字可以是0到9之間的任意一個數字，求能組成的不同密碼數量。4.有6個不同的書，隨機放入3個不同的書架上，每個書架至少放1本書，求不同的放法數量。5.從5個男生和4個女生中隨機選擇3個人組成一個小組，求小組中男生和女生人數相同的概率。六、幾何證明題要求：請根據以下條件，完成下列幾何證明題。1.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=CD。證明：∠ADB=∠ADC。2.在矩形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=BF。證明：四邊形AEFD是平行四邊形。3.在三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=DC。證明：∠BAC是三角形ABC的頂角。4.已知在等邊三角形ABC中，點D在BC上，且BD=2CD。證明：三角形ABD與三角形ACD不全等。5.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，且AE=CE。證明：四邊形ABED是矩形。本次試卷答案如下：一、幾何證明1.證明：由于AB=AC，D為BC的中點，所以BD=CD。又因為AE=AD，所以三角形ABD與三角形ACD全等（SAS）。因此，∠BAC=∠EAD。2.證明：由于ABCD是正方形，所以∠ABC=90°。又因為BE=2BF，所以∠ABE=∠BFC。由于ABCD是正方形，所以∠BAC=∠BCD=90°。因此，四邊形ABEF與四邊形BCFD全等（AAS）。所以AE=DF，AF=BF，四邊形AEFD是菱形。3.證明：由于D、E分別是BC、AC的中點，所以DE平行于AB。又因為DF=BE，所以三角形DFE與三角形BEA全等（SAS）。因此，∠FED=∠EAB，四邊形AEFD是平行四邊形。4.證明：由于AB=AC，AD=DE=EB，所以三角形ADE與三角形BDE全等（SSS）。5.證明：由于ABCD是平行四邊形，所以AD平行于BC。又因為AE=BF，所以四邊形AEFD是平行四邊形。由于AD平行于BC，所以∠EAF=∠BFD。因此，四邊形AEFD是菱形。二、組合策略1.解答：顏色相同的概率是取兩個紅球的概率加上取兩個黃球的概率，再除以總的取球方式。概率為(C(3,2)+C(2,2))/C(6,2)=(3+1)/15=4/15。2.解答：這是一個隔板法問題。將5個球看作5個相同的物品，3個盒子看作2個隔板。總的放法數量是C(6,2)=15種。3.解答：這是一個排列問題。4個不同的球放入3個不同的盒子，每個球都有3種選擇，所以總的放法數量是3^4=81種。4.解答：顏色各不相同的概率是取一個紅球、一個黃球和一個藍球的概率，再除以總的取球方式。概率為C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)/C(6,3)=3*2*1/20=3/10。5.解答：這是一個隔板法問題。將5個球看作5個相同的物品，4個盒子看作3個隔板。總的放法數量是C(7,3)=35種。三、幾何圖形1.證明：由于AB=AC，D為BC邊的中點，所以BD=CD。又因為AE=AD，所以三角形ABE與三角形ACD全等（SAS）。因此，∠ABE=∠ACD，∠AEB=∠AED。由于∠ABE+∠AEB=∠ACD+∠AED=90°，所以三角形ABE與三角形ACD相似。2.證明：由于ABCD是正方形，所以∠ABC=90°。又因為BE=2BF，所以∠ABE=∠BFC。由于ABCD是正方形，所以∠BAC=∠BCD=90°。因此，四邊形ABEF與四邊形BCFD全等（AAS）。所以AE=DF，AF=BF，四邊形AEFD是菱形。3.證明：由于AD=DC，所以三角形ADC是等腰三角形。因此，∠DAC=∠DCA。又因為DE平行于AB，所以∠ADE=∠DAB。因此，三角形ADE與三角形ABD全等（SAS）。所以BE=AD。4.證明：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。因此，∠BAC=∠BCA。又因為∠BAC+∠BCA+∠B=180°，所以∠B=90°。因此，三角形ABC是等腰直角三角形，所以AC=AB√2。5.證明：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。因此，∠BAC=∠BCA。又因為AD=4cm，AB=8cm，所以BD=DC=4cm。因此，三角形ABD與三角形ACD全等（SAS）。所以BD=AD=4cm。四、幾何應用題1.解答：使用勾股定理，CD^2=BD^2-BC^2=8^2-6^2=64-36=28，所以CD=√28≈5.29cm。2.解答：使用正弦定理，OP/OA=sin(60°)/sin(90°)，所以OP=OA*sin(60°)=5*(√3/2)≈4.33cm。3.解答：由于AE=EC，所以三角形AEC是等腰三角形。因此，∠AEC=∠ACE。又因為AD=DC，所以三角形ADC是等腰三角形。因此，∠ADC=∠ACD。由于DE平行于AB，所以∠ADE=∠DAB。因此，三角形ADE與三角形ABD全等（SAS）。所以BE=AD=4cm。4.解答：使用正弦定理，AC/AB=sin(45°)/sin(30°)，所以AC=AB*sin(45°)/sin(30°)=10*(√2/2)/(1/2)=10√2。5.解答：使用勾股定理，BD^2=AD^2+AB^2=4^2+8^2=16+64=80，所以BD=√80≈8.94cm。五、組合問題1.解答：互不相同的概率是取一個紅球、一個黃球和一個藍球的概率，再除以總的取球方式。概率為C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)/C(10,3)=3*2*1/120=1/20。2.解答：這是一個隔板法問題。將5個球看作5個相同的物品，3個盒子看作2個隔板。總的放法數量是C(6,2)=15種。3.解答：這是一個排列問題。每個數字都有10種選擇，所以能組成的不同密碼數量是10^4=10000種。4.解答：這是一個隔板法問題。將6個書看作6個相同的物品，3個書架看作2個隔板。總的放法數量是C(7,2)=21種。5.解答：男生和女生人數相同的概率是取兩個男生和一個女生，或者取一個男生和兩個女生的概率，再除以總的取人方式。概率為(C(5,2)*C(4,1)+C(5,1)*C(4,2))/C(9,3)=(10*4+5*6)/84=70/84=5/6。六、幾何證明題1.證明：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。因此，∠BAC=∠BCA。又因為BD=CD，所以三角形ABD與三角形ACD全等（SAS）。因此，∠ADB=∠ADC。2.證明：由于ABCD是矩形，所以∠ABC=90°。又因為AE=BF，所以四邊形ABEF與四邊形BCFD全等（AAS）。所以∠AEB=∠BFC，∠ABE=∠BCD。因此，四邊形AEFD是平行四邊形。3.證明：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。因此，∠BAC=∠BCA。又因為AD=DC，所以三角形ADC是等腰三角形。因此，∠DAC=∠DCA。由于∠BAC+∠BCA+∠B=180°，所以∠B=90°。因此，三角