2023--2024學年下學期第一次月考八年級數學（時間：90分鐘分值：120分）一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1.下列說法不正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】本題考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．根據不等式的性質逐一判斷即可解答；【詳解】A、兩邊同時加上2得，，不等號的方向不變，說法正確，故選項不符合題意；B、兩邊同時乘以得，，不等號的方向改變，說法正確，故選項不符合題意；C、若，當時，，原說法不正確，故選項符合題意；D、，兩邊同時除以2，則，不等號的方向不變，說法正確，故選項不符合題意．故選：C．2.如圖，三條公路將A，B，C三個村莊連成一個如圖的三角形區域，如果在這個區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三個村莊的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（）A.三條高線的交點 B.三條中線的交點C.三條角平分線的交點 D.三邊垂直平分線的交點【答案】D【解析】【分析】本題主要考查三角形三邊垂直平分線的交點的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形三邊垂直平分線的交點的性質．根據到三個村莊的距離相等，即確定一個點到三角形三個頂點都相等，根據垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，可得這個點是三角形三個垂直平分線的交點．【詳解】解：∵由三條公路連接的A，B，C三個村莊所構成的三角形區域內修建一個集貿市場，且使集貿市場到三個村莊的距離相等，到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，∴這個集貿市場應建在三角形三邊垂直平分線的交點處．故選：D．3.不等式2x﹣6＞0的解集在數軸上表示正確的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】2x-6＞0，移項得：2x＞6，把x的系數化為1：x＞3，故選A．4.如圖，在中，過點作若則的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據平行線的性質求出∠C，根據等腰三角形的性質得出∠B=∠C=70°，根據三角形內角和定理求出即可．【詳解】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AD∥BC，∠1=70°，

∴∠C=∠1=70°，

∴∠B=70°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°，

故選：B．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質，平行線的性質的應用，解此題的關鍵是求出∠C的度數和得出∠B=∠C．5.某次知識競賽共有20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分，小明得分要超過120分，他至少要答對多少道題？如果設小明答對道題，則他答錯或不答的題數為．根據題意得（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據規定每答對一題得10分，答錯或不答都扣5分，可以列出相應的不等式，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，10x?5(20?x)>120，故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的不等式．6.如圖，，垂足為C，且，若用“”證明，則需添加的條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據“”的判定方法進行判定即可．【詳解】解：，理由是：∵，∴，在和中，，∴，故選：B．【點睛】此題考查了根據“”判定三角形全等，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．7.下列說法中，正確的結論有（）個①在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；②三角形三條邊的垂直平分線的交點到這個三角形三個頂點的距離相等；③“對頂角相等”的逆命題是真命題；④反證法證明“一個三角形中最小角不大于60°”應先假設這個三角形中最小角大于60°A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據角平分線的性質，垂直平分線的性質、命題及逆命題的判斷、反證法判斷即可．【詳解】解：①在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，說法正確；②三角形三條邊的垂直平分線的交點到這個三角形三個頂點的距離相等，說法正確；③“對頂角相等”的逆命題是如果兩個角相等，則這兩個角為對頂角，此命題為假命題，本小題說法錯誤；④反證法證明“一個三角形中最小角不大于60°”先應假設這個三角形中最小角大于60°，說法正確；故選C．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，垂直平分線的性質、命題及逆命題的判斷、反證法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．8.學完直角三角形的性質后，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸公園B之間的距離，在學校附近選一點C，測量出，利用測量儀器測得，則學校與公園之間的直線距離AB等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題目主要考查含30度角的直角三角形的性質及勾股定理解三角形，根據題意得出，再利用勾股定理求解即可【詳解】解：∵，∴，∵，∴即，解得：，∴，故選：C9.如圖，已知的周長是，和的角平分線交于點O，于點D，若，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點O作OE⊥AB于點E，OF⊥AC于點F，根據角平分線的性質定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解．【詳解】解∶如圖，過點O作OE⊥AB于點E，OF⊥AC于點F，∵和的角平分線交于點O，，∴OD=OE，OD=OF，∴OD=OE=OF=3cm，∵的周長是，∴AB+BC+AC=36cm，∵，∴．故選：B【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離是解題的關鍵．10.如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別在AB、BC邊上，且AD=BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G．下列結論：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正確的結論是（）A.①② B.①③ C.①④ D.③④【答案】A【解析】【分析】根據等邊三角形的性質可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CD，判定①正確；根據全等三角形對應角相等可得∠ACD=∠BAE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的內角和定理求出∠AFC=120°，判定②正確；求出∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°，判定△ADF不是等腰三角形；求出∠AFG=60°，再求出∠FAG=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得FG=AF，然后判斷④．【詳解】解：在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE=CD，故①正確；∵∠ACD=∠BAE，∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°，在△ACF中，∠AFC=180°﹣（∠CAF+∠ACD）=180°﹣60°=120°，故②正確；∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=∠B=60°，∴∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°，∴△ADF不是等腰三角形，故③錯誤；∵∠AFG=180°﹣∠AFC=180°﹣120°=60°，AG⊥CD，∴∠FAG=90°﹣60°=30°，∴FG=AF，∴，故④錯誤，綜上所述，正確的有①②．故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定與性質，并準確識圖是解題的關鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11.不等式的解集中所有非負整數的和為_______．【答案】6【解析】【分析】本題主要考查了解不等式，解題的關鍵是熟練掌握非負整數包含和正整數．先解不等式，然后根據非負整數的定義，即可求解．【詳解】解：，解得：，等式的非負整數解為，，，，∴不等式解集中所有非負整數的和為故答案為：6．12.“全等三角形的對應角相等”的逆命題是_______________________________．【答案】對應角相等的兩個三角形全等【解析】【分析】根據逆命題的概念，交換原命題的題設與結論即可得出原命題的逆命題．【詳解】解：命題“全等三角形的對應角相等”的題設是“兩個三角形是全等三角形”，結論是“它們的對應角相等”，故其逆命題是對應角相等的兩個三角形是全等三角形．

故答案為：對應角相等的兩個三角形是全等三角形．【點睛】此題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．13.若關于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，則實數m的值為_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：根據解不等式，可得不等式3m﹣2x＜5的解集，根據不等式的解集，可得關于m的方程，根據解方程，可得m=．14.如圖，P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA于點C，延長CP交OB于點D，以點P為圓心PD為半徑作圓弧交OB于點E，連接PE，若PC＝6，PD＝10，則DE的長為_____．【答案】16【解析】【分析】過點P作PF⊥OB，由角平分線的性質求得PF的長，在直角三角形中，由直角三角形的性質得出EF的長，進而解答即可．【詳解】解：過點P作PF⊥OB，∵P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA于點C，PF⊥OB，∴PC=PF=6，∵PE=PD=10，∴Rt△PEF中，∴ED=2EF=16，故答案為：16【點睛】本題主要考查角平分線，勾股定理和等腰三角形的判定及計算技巧．借助于角平分線和直角三角形求解邊長從而求得最后結果．15.如圖，中，，，，若點從點A出發，以每秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒（）．當點運動到邊時，為______秒時，為等腰三角形．【答案】5或4.75或5.3【解析】【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質與判定，直角三角形的性質等知識，熟知相關知識并注意等腰三角形的定義分類討論是解題關鍵．先根據勾股定理求出．再分，，三種情況分類討論，結合等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：在中，∵，∴．①如圖1，當時，為等腰三角形，，秒；②如圖2，當時，為等腰三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，秒；③如圖3，當時，作于，則，∴，在中，由勾股定理得，，，，∴秒．綜上所述，為5秒或4.75秒或5.3秒時，為等腰三角形．故答案為：5或4.75或5.3三、解答題（本大題共6個小題，共75分）16.解不等式，并在數軸上表示解集．【答案】，在數軸上表示解集見解析【解析】【分析】通過去分母，去括號，移項，系數化為1求得，在數軸上表示解集即可．詳解】解：去分母，得，去括號，得，移項，合并同類項得，系數化為1，得，在數軸上表示解集如圖：【點睛】本題考查了解一元一次不等式及在數軸上表示不等式的解集，解題的關鍵是正確的解一元一次不等式，解集為“”時要用實心點表示．17.如圖，，，與交于點，．（1）求證：；（2）已知：，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】（1）利用定理得出；（2）即可得出，再利用含30度角的直角三角形得出即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定，根據已知得出是解題關鍵．18.如圖，在中，，，邊垂直平分線與邊交于點E，與邊交于點D．（1）求的度數；（2）求證：為等腰三角形．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據垂直平分線的性質得出，根據等腰三角形性質求出，根據三角形外角性質求出；（2）求出，根據等腰三角形的判定即可得出結論．【小問1詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】證明：∵，∴，∴為等腰三角形．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．19.如圖，中，點D在邊上，且．（1）請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）若（1）中所作的角平分線與邊交于點E，連接．求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明，即可得到結論．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求，【小問2詳解】證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．【點睛】此題考查了角平分線的作圖、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握角平分線的作圖和全等三角形的判定是解題的關鍵．20.對于任意實數，定義關于的一種運算如下：，例如，．（1）比較與的大小，并說明理由．（2）若，求的取值范圍．【答案】（1），理由見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了新定義運算、有理數比較大小、解一元一次不等式等知識，理解新定義運算解題關鍵．（1）根據新定義運算分別計算與的值，比較即可獲得答案；（2）根據新定義運算可得關于的一元一次不等式，求解即可獲得答案．【小問1詳解】解：，理由如下，∵，∴，，∴；【小問2詳解】∵，∴不等式可轉化為，∴．21.圍棋起源于中國，古代稱為“弈”，是棋類鼻祖，圍棋距今已有4000多年的歷史，中國象棋也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，趣味濃厚，基本規則簡明易懂．某學校為活躍學生課余生活，欲購買一批象棋和圍棋，已知購買3副象棋和1副圍棋共需125元，購買2副象棋和3副圍棋共需165元．（1）求每副象棋和圍棋的價格；（2）若學校準備購買象棋和圍棋總共100副，且總費用不超過3200元，則最多能購買多少副圍棋？【答案】（1）每副象棋的價格為30元，每副圍棋的價格為35元（2）最多能購買40副圍棋【解析】【分析】（1）設每副象棋的價格為元，每副圍棋的價格為元，根據題意列出二元一次方程組，即可求解．（2）設購買副圍棋，則購買副象棋，根據題意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【小問1詳解】解：設每副象棋的價格為元，每副圍棋的價格為元．依題意得，解得．答：每副象棋的價格為30元，每副圍棋的價格為35元．【小問2詳解】設購買副圍棋，則購買副象棋．依題意得：，解得．答：最多能購買40副圍棋．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，根據題意列出方程組與不等式是解題的關鍵．22.如圖，燈塔C在海島A的北偏東方向，某天上午8點，一條船從海島A出發，以15海里/時的速度由西向東方向航行，10時整到達B處，此時，測得燈塔C在B處的北偏東方向．（1）求B處到燈塔C的距離；（2）已知在以燈塔C為中心，周圍16海里的范圍內均有暗礁，若該船繼續由西向東航行，是否有觸礁的危險？請你說明理由．【答案】（1）30海里（2）有