2025年南京市玄武區八年級下學期期末數學試卷：函數專題解析與深度解析一、選擇題要求：請從每題的四個選項中選出一個正確答案。1.已知函數\(f(x)=x^2-4x+3\)，則該函數的圖像是（）A.頂點在x軸上的拋物線B.頂點在y軸上的拋物線C.頂點在原點的拋物線D.頂點在第一象限的拋物線2.函數\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)的定義域是（）A.\(x\neq-1\)B.\(x\neq0\)C.\(x\neq1\)D.\(x\neq2\)二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.函數\(f(x)=2x^2-6x+4\)的對稱軸方程是_________。4.函數\(f(x)=\frac{1}{x-2}+3\)的最小值是_________。三、解答題要求：寫出完整的解題步驟，并計算答案。5.（1）已知函數\(f(x)=3x-2\)，求函數的值域；（2）若函數\(f(x)=-2x^2+4x+1\)的圖像與x軸有兩個交點，求a的取值范圍。6.（1）設函數\(f(x)=ax^2+bx+c\)的圖像開口向上，且頂點坐標為\((-2,1)\)，求a、b、c的值；（2）若函數\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)的圖像與y軸相交于點\(A\)，且函數在\(x=2\)處取得最小值，求該函數的解析式。四、應用題要求：根據題目要求，結合所學知識，進行計算和推導。7.（1）某商品原價為\(P\)元，打折后售價為\(0.8P\)元，求打折后的售價與原價的比例；（2）若原價\(P\)為100元，打折后的售價為80元，求商品打折的折扣率。五、證明題要求：運用所學知識，證明以下等式成立。8.證明：對于任意實數\(x\)，有\((x+1)^2=x^2+2x+1\)。六、探究題要求：根據題目要求，分析問題，提出假設，并進行驗證。9.（1）觀察函數\(f(x)=x^3-3x\)的圖像，探究函數的極值點；（2）根據探究結果，寫出函數\(f(x)=x^3-3x\)在其定義域內的極值點坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：函數\(f(x)=x^2-4x+3\)是一個二次函數，其標準形式為\(ax^2+bx+c\)，其中\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。因為\(a>0\)，所以拋物線開口向上，頂點坐標為\((\frac{-b}{2a},f(\frac{-b}{2a}))\)，即\((2,-1)\)。頂點在第一象限。2.A解析：函數\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)的定義域是所有使分母不為零的實數。因此，\(x+1\neq0\)時，函數有定義，即\(x\neq-1\)。二、填空題3.\(x=3\)解析：函數\(f(x)=2x^2-6x+4\)是一個二次函數，其對稱軸方程為\(x=-\frac{b}{2a}\)，其中\(a=2\)，\(b=-6\)。代入得\(x=3\)。4.3解析：函數\(f(x)=\frac{1}{x-2}+3\)的最小值出現在分母\(x-2\)最大時，即當\(x\)趨近于2時。此時，\(f(x)\)趨近于\(\frac{1}{0}+3\)，即無窮大。因此，最小值為3。三、解答題5.（1）值域為\((-\infty,+\infty)\)解析：一次函數\(f(x)=3x-2\)的圖像是一條直線，其斜率\(k=3\)，截距\(b=-2\)。由于斜率\(k>0\)，函數是增函數，因此值域為\((-\infty,+\infty)\)。（2）\(a\)的取值范圍為\((-\infty,2]\)解析：二次函數\(f(x)=-2x^2+4x+1\)的圖像與x軸有兩個交點，說明判別式\(\Delta=b^2-4ac\)大于0。代入\(a=-2\)，\(b=4\)，\(c=1\)得\(\Delta=16-4(-2)\times1=24\)。因此，\(a\)的取值范圍為\((-\infty,2]\)。6.（1）\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)解析：函數\(f(x)=ax^2+bx+c\)的頂點坐標為\((-2,1)\)，代入得\(1=a(-2)^2+b(-2)+c\)，即\(1=4a-2b+c\)。因為圖像開口向上，所以\(a>0\)。又因為頂點坐標已知，代入\(x=-2\)，\(f(x)=1\)得\(1=4a-2b+c\)。聯立方程組解得\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。（2）函數的解析式為\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)解析：函數\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)的圖像與y軸相交于點\(A\)，即\(x=0\)時，\(f(x)=1\)。函數在\(x=2\)處取得最小值，即\(f(2)=-\frac{1}{2}(2)^2+3(2)+1=3\)。因此，函數的解析式為\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)。四、應用題7.（1）比例為0.8解析：打折后的售價與原價的比例為\(\frac{0.8P}{P}=0.8\)。（2）折扣率為20%解析：折扣率\(R\)為\(\frac{原價-打折后售價}{原價}\times100\%\)。代入\(原價=100\)，\(打折后售價=80\)得\(R=\frac{100-80}{100}\times100\%=20\%\)。五、證明題8.證明：\((x+1)^2=x^2+2x+1\)解析：展開左邊的平方得\((x+1)^2=x^2+2x+1\)。因此，左邊等于右邊，等式成立。六、探究題9.（1）極值點為\((0,0)\)，\((1,-2)\)解析：函數\(f(x)=x^3-3x\)的導數為\(f'(x)=3x^2-3\)。令導數等于0，得\(3x^2-3=0\)，解得\(x