北京市門頭溝育園中學2012-2013學年高二下學期期中考試（數學理）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=15$，$S_9=45$，則$a_7$的值為：A.3B.4C.5D.62.設$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$，則$AB$的值為：A.$\begin{bmatrix}5&4\\5&4\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}4&5\\4&5\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}5&5\\4&4\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}5&4\\4&5\end{bmatrix}$二、填空題要求：請將正確答案填入空白處。3.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\sin(\alpha+\beta)$的值為_______。4.已知等比數列$\{a_n\}$的前三項為$1$，$2$，$4$，則該數列的公比為_______。5.已知$x^2+2x-3=0$，則$x^4+2x^3-3x^2$的值為_______。三、解答題要求：請寫出解題步驟和答案。6.（1）已知函數$f(x)=2x^3-3x^2+2$，求$f'(x)$。（2）求證：對于任意實數$x$，都有$x^4+6x^2+9\geq0$。四、計算題要求：直接寫出結果，不需要寫出計算過程。7.已知$a^2+b^2=10$，$ab=4$，求$a^4+b^4$的值。8.計算下列積分：$\int\sqrt{x^2-4}\,dx$。9.求函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的導數$f'(x)$。五、證明題要求：給出證明過程，證明過程要完整。10.證明：對于任意實數$x$，都有$(x+1)^2+(x-1)^2\geq4$。11.證明：若$\{a_n\}$是等差數列，$\{b_n\}$是等比數列，且$a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3$，則$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都不是常數數列。六、應用題要求：給出解題步驟和答案。12.已知某市人口增長模型為$P(t)=P_0e^{rt}$，其中$P_0$為初始人口，$r$為人口增長率，$t$為時間（單位：年）。若2010年該市人口為100萬，2020年人口為120萬，求該市人口增長率$r$。13.設$A$和$B$為兩個$2\times2$矩陣，已知$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$，求矩陣$AB$的逆矩陣$(AB)^{-1}$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_1$為首項，$a_n$為第$n$項。由題意得$S_5=15$，$S_9=45$，可以列出方程組：\[\begin{cases}\frac{5}{2}(a_1+a_5)=15\\\frac{9}{2}(a_1+a_9)=45\end{cases}\]解得$a_1=1$，$a_5=3$，因此$a_7=a_5+2=5$。2.D解析：矩陣乘法滿足結合律，所以$AB=BA$。計算$AB$和$BA$的結果，發現它們相等，即$AB=BA=\begin{bmatrix}5&4\\5&4\end{bmatrix}$。二、填空題3.$\frac{1}{2}$解析：利用和角公式$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，代入已知值得到$\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。4.2解析：等比數列的公比$q$滿足$a_2=a_1q$和$a_3=a_2q$。由題意得$a_2=2$，$a_3=4$，因此$q=\frac{a_3}{a_2}=2$。5.1解析：將$x^2+2x-3=0$的根代入$x^4+2x^3-3x^2$，得$x^4+2x^3-3x^2=(x^2+2x-3)(x^2-1)=0$，因此$x^4+2x^3-3x^2=1$。三、解答題6.（1）$f'(x)=6x^2-6x+2$解析：對函數$f(x)=2x^3-3x^2+2$求導，得$f'(x)=6x^2-6x+2$。（2）證明：對于任意實數$x$，都有$x^4+6x^2+9\geq0$解析：將$x^4+6x^2+9$重寫為$(x^2+3)^2$，顯然對于任意實數$x$，$(x^2+3)^2\geq0$，因此$x^4+6x^2+9\geq0$。四、計算題7.34解析：由$a^2+b^2=10$和$ab=4$，得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=10+8=18$，因此$a+b=\pm3\sqrt{2}$。再由$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=10^2-2\cdot4^2=100-32=68$。8.$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-4}+2\ln|x+\sqrt{x^2-4}|+C$解析：使用三角代換$x=2\sec\theta$，則$dx=2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$，代入積分得$\int\sqrt{x^2-4}\,dx=\int\sqrt{4\sec^2\theta-4}\cdot2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$。化簡后，使用積分公式$\int\sec^3\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta+\frac{1}{2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$，得到最終結果。9.$3x^2-12x+9$解析：對函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$求導，得$f'(x)=3x^2-12x+9$。五、證明題10.證明：對于任意實數$x$，都有$(x+1)^2+(x-1)^2\geq4$解析：展開左邊的表達式，得$(x+1)^2+(x-1)^2=x^2+2x+1+x^2-2x+1=2x^2+2\geq4$。11.證明：若$\{a_n\}$是等差數列，$\{b_n\}$是等比數列，且$a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3$，則$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都不是常數數列。解析：假設$\{a_n\}$和$\{b_n\}$中至少有一個是常數數列，不妨設$\{a_n\}$是常數數列，即$a_n=a$，則$a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3=ab$。由于$\{b_n\}$是等比數列，設$b_n=b_1q^{n-1}$，代入$ab=abq^2$，得$q^2=1$，這與$\{b_n\}$是等比數列矛盾，因此$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都不是常數數列。六、應用題12.$r=\frac{1}{10}$解析：由$P(t)=P_0e^{rt}$，代入$P_0=100$，$P(10)=120$，得$120=100e^{10r}$，解得$r=\frac{1}{10}$。13.$(AB)^{-1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4&-1\\-1&4\end{bmatrix}$解析：首先計算$AB=\begin{b