試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁甘肅省蘭州市第六十六中2024-2025學年下學期九年級數學5月學情考試試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．代數式的次數是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．馬家窯彩陶絢麗典雅，符號豐富，被稱為彩陶文化的“遠古之光”．如圖是一件馬家窯彩陶作品的立體圖形，有關其三視圖說法正確的是（

）A．主視圖和左視圖完全相同 B．主視圖和俯視圖完全相同C．左視圖和俯視圖完全相同 D．三視圖各不相同3．《康熙字典》是中國古代漢字字數最多的字典，共收錄漢字47000余個．將47000用科學記數法表示應為（

）A． B．C． D．4．下列各式計算正確的是（

）A． B． C． D．5．世界上最早記載潛望鏡原理的古書，是公元前二世紀中國的《淮南萬畢術》．書中記載了這樣的一段話：“取大鏡高懸，置水盤于其下，則見四鄰矣”．現代潛艇潛望鏡是在20世紀初發明的．如圖是潛望鏡工作原理的示意圖，那么它所應用的數學原理是（

）A．內錯角相等，兩直線平行 B．同旁內角互補，兩直線平行C．對頂角相等 D．兩點確定一條直線6．如圖，在中，，平分，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．7．小明同學統計了某學校八年級部分同學每天閱讀圖書的時間，并繪制了統計圖，如下圖，有四個推斷：①小明此次一共調查了100位同學；②每天閱讀圖書時間不足15分鐘的同學人數多于分鐘的人數；③每天閱讀圖書時間超過30分鐘的同學人數是調查總人數的；④每天閱讀圖書時間在分鐘的人數最多．根據圖中信息，上述說法中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．司南是我國古代辨別方向用的一種儀器，早在戰國時期就已被發明，是現在所用指南針的始祖（如圖1）．司南中心為一圓形，圓心為點，根據八個方位將圓形八等分（圖2中的點，連結，并延長交于點．則點位于點的北偏東的角度是（

）A． B． C． D．9．如圖，是化學元素周期表中原子序數為1~5的元素，從中隨機選取兩種元素，則這兩種元素恰好都是金屬元素的概率為（

）（注：鋰和鈹為金屬元素）A． B． C． D．10．元代數學家朱世杰于1303年編著的《四元玉鑒》中有這樣一道題目：“今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文，只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文．問綾、羅尺價各幾何？”其大意為現在有綾布和羅布，布長共3丈（1丈=10尺），已知綾布和羅布分別全部出售后均能收入896文，綾布和羅布各出售一尺共收入120文．問兩種布每尺各多少錢？若設綾布有尺，則下列方程正確的為（

）A． B．C． D．11．如圖，在中，，為線段上動點，并以每秒1個單位的速度從點向點運動，到達點時停止．過點作于點，于點，連接，線段的長度與點的運動時間（秒）的函數關系如圖2所示，則函數圖象最低點的坐標為（

）A． B． C． D．二、填空題12．因式分解：．13．如圖，小剛用七巧板拼了一個對角線長為的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為．14．如圖，在中，點E在上，與相交于點，若，則．15．圖①是一款掃地機器人的實物圖．其簡易圖如圖②，為機身，點為機身上一定點，為刷頭，刷頭以點A為圓心，繞點A旋轉形成的圓弧分別交于點C，D，已知點A，C，D在同一直線上，的半徑，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題16．解不等式組．17．計算：；18．用適當的方法解下列一元二次方程：．19．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點，與軸和軸分別交于點和點，其中點坐標為，點在反比例函數圖象上．(1)求點的坐標及反比例函數的表達式；(2)若點在點的右側且橫坐標為4，求．20．如圖，某苗圃師傅用木制柵欄設計了一個矩形育苗試驗田，一面緊靠圍墻，圍墻的長度為21米，提供的木制柵欄的總長度為40米，在安裝過程中柵欄不重疊使用，且無損耗和浪費．設該矩形育苗試驗田的一邊長為（單位：），另一邊長為（單位：），面積為（單位：）．(1)直接寫出與之間的函數關系式（寫出的取值范圍）．(2)當的值是多少時，該矩形育苗試驗田的面積最大？最大面積是多少？21．敦煌首航100兆瓦熔鹽塔式光熱電站是“中國智慧”和“中國建設”的體現．它的原理簡單說就是利用鏡面反射太陽光線，通過一個特殊的裝置將太陽光轉化成電能．隨著太陽角度的變化，每個定日鏡都不停自動調整角度，保持最佳的反射角度．圖2是反射示意圖，由反射原理，入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角．已知定口鏡的長為12米，點為中點，定日鏡繞點旋轉，當入射光線與鏡面的夾角為57度時，反射光線恰好照在吸熱塔頂端處．此時鏡面與支撐柱的夾角為60度，點到地面的距離是5米，的高度是8米，支撐柱到吸熱塔底端的距離是500米．求吸熱塔的高度．22．一項知識問答競賽要求以團隊方式參賽，每個團隊20名選手．某校準備參加此項競賽，前期組建了兩個團隊，經過一段時間的培訓后，對兩個團隊進行了一次預賽，對成績（百分制）進行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．一隊成績的頻數分布直方圖如下（數據分成4組：）：b．二隊成績如下：68

69

70

70

71

73

77

78

80

8182

82

82

82

83

83

83

86

91

94c．一、二兩隊成績的平均數、眾數、中位數如下：平均數眾數中位數一隊79.677P二隊79.25mq根據以上信息，回答下列問題：(1)m的值為___________，p___________q（填“”“”或“”）；(2)若兩隊都各去掉一個最高分和一個最低分，則下列判斷正確的是___________；A．一隊成績的方差增大，二隊成績的方差減小B．兩隊成績的方差都增大C．一隊成績的方差減小，二隊成績的方差增大D．兩隊成績的方差都減小(3)為了選出沖擊個人冠軍的種子選手，學校對這次成績90分以上的甲、乙、丙三位同學又單獨進行了5次測試，平均數較大的選手排序靠前，若平均數相同，則方差較小的選手排序靠前．這5次測試的成績如下：測試1測試2測試3測試4測試5甲9094909491乙9192929293丙93909293k若丙的排序居中，則表中k（k為整數）的值為___________．23．數學家笛卡爾于1596年出生于法國，他在數學研究工作中關注那些需要作特定長度的幾何問題，在其著作《幾何學》中指出“僅用尺規可以完成四種算術運算和開平方根”簡卡爾用尺規求一個數的算術平方根的方法如下：如圖：已知，線段的長為，延長至點，使，點為的中點．①以的中點為圓心，以的長為半徑作圓：②以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點；③分別以點，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交線段上方于點；④連接交的上半部分于點，即得垂線段．所得的長是的長的算術平方根．(1)請你根據以上步驟在圖中完成尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)證明：．24．如圖，在中，點是邊的中點，過點作直線，垂足為點，交的延長線于點．以為直徑作，恰好經過點．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的面積．25．已知正方形，E為對角線上一點．

【建立模型】(1)如圖1，連接，，求證：；【模型應用】(2)如圖2，F是延長線上一點，，交于點G．①判斷的形狀并說明理由；②若G為的中點，且，求的長．【模型遷移】(3)如圖3，F是延長線上一點，，交于點G，，請寫出與之間的數量關系，并說明理由．26．在平面直角坐標系中，對于直線，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，的半徑為1，當時，直接寫出直線l關于的“圓截距”；(2)點M的坐標為，①如圖2，若的半徑為1，當時，直線l關于的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線l關于的“圓截距”的最小值為，直接寫出b的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《甘肅省蘭州市第六十六中2024-2025學年下學期九年級數學5月學情考試試卷》參考答案題號12345678910答案CDBDABBCCB題號11答案B1．C【分析】根據單項式次數為所有字母的指數之和解答即可．此題主要考查了單項式的次數，根據定義直接判斷得出是解題關鍵．【詳解】解：代數式的次數是3．故選：C．2．D【分析】本題考查幾何體的三視圖，根據主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從上面看得到的圖形，左視圖是左邊看到的圖形，即可得出答案．【詳解】解：該幾何體的三視圖各不相同，主視圖的中間出有兩個“耳朵”而左視圖則沒有；俯視圖是三個同心圓（夾在中間的圓由虛線構成）．故選：D．3．B【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：將47000用科學記數法表示為：4.7×104．故選：B．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．D【分析】本題考查了二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法，熟練掌握運算法則是解題關鍵．根據二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法法則逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，則此項錯誤，不符合題意；B、與不是同類二次根式，不可合并，則此項錯誤，不符合題意；C、，則此項錯誤，不符合題意；D、，則此項正確，符合題意；故選：D．5．A【分析】本題考查了平行線的判定．熟練掌握內錯角相等，兩直線平行是解題的關鍵．根據內錯角相等，兩直線平行進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，所應用的數學原理是內錯角相等，兩直線平行，故選：A．6．B【分析】本題考查了含角平分線的三角形內角和定理問題，牢記三角形內角和是是解題的關鍵．首先由角平分線的概念得到，根據三角形內角和定理得到，然后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵平分，∴∵，∴又∵．∴故選：B．7．B【分析】根據直方圖表示的意義求得統計的總人數，以及每組的人數即可判斷．【詳解】解：①小明此次一共調查了（人），此結論正確；②由頻數分布直方圖知，每天閱讀圖書時間不足分鐘的人數與分鐘的人數相同，均為10人，此結論錯誤；③每天閱讀圖書時間超過30分鐘的人數占調查總人數的比例為，此結論錯誤；④每天閱讀圖書時間在分鐘的人數最多，有60人，此結論正確；故選：B．【點睛】本題考查了讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力．利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．8．C【分析】本題主要考查正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形與圓是解題的關鍵；連接，由題意易得正八邊形每段弧所對的圓心角為，，然后問題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：根據八個方位將圓形八等分（圖2中的點，可知：正八邊形每段弧所對的圓心角為，∴，∴點位于點的北偏東的角度是；故選：C．9．C【分析】本題主要考查概率，熟練掌握概率的求法是解題的關鍵；因此此題可根據列舉法進行求解概率．【詳解】解：由題意得：從這5種元素中任取兩種元素的可能性有：（氫，氦），（氫，鋰），（氫，鈹），（氫，硼），（氦，鋰），（氦，鈹），（氦，硼），（鋰，鈹），（鋰，硼），（鈹，硼），其中兩種元素都為金屬元素的只有一種，故抽取到兩種元素都為金屬元素的概率為；故選C．10．B【分析】本題考查了分式方程的應用，等量關系式：綾布出售一尺共收入羅布出售一尺共收入文，據此列方程，即可求解；找出等量關系式是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，故選：B．11．B【分析】本題主要考查了勾股定理理，矩形的性質與判斷，垂線段最短，動點問題的函數圖象；如圖所示，過點C作于D，連接，證明四邊形是矩形，得到，故當點P與點D重合時，最小，即最小，根據函數圖象得出，進而勾股定理求得，根據等面積法求得，勾股定理求得，結合題意，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點C作于D，連接，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴當最小時，即最小，根據圖2可得，在中，，∴,∴，∴，∴；∴當點P與點D重合時，最小，即最小，此時最小值為，，∴點E的坐標為，故選B．12．【分析】本題考查了公式法以及提公因式法分解因式，先進行提公因式再進行平方差公式進行因式分解，即可作答．【詳解】解：故答案為：13．【分析】如圖所示，根據正方形的性質可知是等腰直角三角形，由此即可求證的長，拼成長方形，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，正方形，，∴，是等腰直角三角形，在中，，且，∴，∴，拼成一個長方形如圖所示，，連接，∴，在中，，∴長方形的對角線長為．【點睛】本題主要考查正方形與長方形的綜合，掌握正方形，長方形的性質，勾股定理求邊長是解題的關鍵．14．【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質與平行四邊形的性質，證明是解題的關鍵．由四邊形是平行四邊形，則，，故有，所以，然后通過，得到，然后代入即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．15．200【分析】本題考查求不規則圖形的面積，勾股定理的逆定理，連接，，，利用，進行求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，∵點A，C，D在同一直線上，∴是的直徑，∴．∵的半徑，∴，∴，∴是直角三角形，，∴，，∴．故答案為：200．16．【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，根據口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了確定不等式組的解集即可．【詳解】解：由①得：，解得：，由②得：，解得：，∴不等式的解集為．17．1【分析】本題考查了分式的加減，熟練掌握分式的加減運算法則是解題的關鍵．根據分式的加減運算法則即可計算．【詳解】解：．18．，【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，方程二次項系數化為1，常數項移到右邊，兩邊加上一次項系數一半的平方，開方即可求出解．【詳解】解：，方程變形得：，配方得：，即，開方得，，解得：，．19．(1)，(2)3【分析】本題考查了異常屬于反比例函數，解題的關鍵是：（1）根據待定系數法求出一次函數和反比例函數的表達式，然后聯立方程組求解即可得出點A的坐標；（2）先求出點M的坐標，然后根據待定系數法求出直線的表達式，進而求出直線與y軸的交點E的坐標，最后根據割補法求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，解得，∴，聯立方程組，解得，（舍去），∴；（2）解：∵點在反比例函數的圖象上，點的橫坐標為4，∴點的橫坐標為，∴，設直線的表達式為，則，解得，∴，當時，，設直線與y軸交于E，則，∴，∴．20．(1)（）(2)；【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的求出函數解析式，是解題的關鍵：（1）根據矩形的面積公式，列出函數關系式，根據矩形的邊長大于0，圍墻的長度為21米，求出的取值范圍即可；（2）利用二次函數的性質，求最值即可．【詳解】（1）解：，．，，∵，∴．（2），當時，有最大值，最大值為，即當時，該矩形育苗試驗田的面積最大，最大面積是．21．263米【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是依題意作出輔助線．如圖過點作于點，進而推出角的度數，推出四邊形是矩形，在中，根據三角函數作答，再根據計算即可．【詳解】解：如圖過點作于點，根據題意，米，，，，，∵，∴四邊形是矩形，米，米，在中，，，米，米，答：吸熱塔的高度為263米．22．(1)82，(2)D(3)91或92【分析】本題考查頻數分布直方圖，平均數、眾數、中位數、方差．（1）根據眾數以及中位數的定義解答即可；（2）根據方差的定義意義求解即可；（3）根據方差的定義和平均數的意義求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，二隊成績中82出現的次數最多，故眾數，一隊成績的中位數位于，二隊成績的中位數為，∴，故答案為：82，；（2）解：若兩隊都各去掉一個最高分和一個最低分，兩隊的成績波動都變小，則兩隊成績的方差都減小；故答案為：D；（3）解：甲選手的平均數為：，甲選手的方差為：，乙選手的平均數為：，乙選手的方差為：，丙選手的平均數為：，∵丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，平均數較大的選手排序靠前，若平均數相同，則方差較小的選手排序靠前．∴，解得，∵k為整數，∴當時，丙選手的平均數為：，丙選手的方差為：，此時甲丙平均數一致，但是丙的方差更小，符合排名；當時，丙選手的平均數為：，丙選手的方差為：，此時乙丙平均數一致，但是乙的方差更小，符合排名；∴k（k為整數）的值為92或91，故答案為：92或91．23．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作圖—應用與設計作圖，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）根據題干要求作出圖形即可；（2）由圓周角定理可得，證明，由相似三角形的性質即可得解結論．【詳解】（1）解：畫出圖形如圖所示：；（2）證明：連接、，∵是直徑，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．24．(1)見解析(2)【分析】（1）先通過直徑所對的圓周角等于90度，證明，再證明，得到，且，再通過，推出，從而得到，推導出，，得證；（2）在中，利用求得，再通過勾股定理求得，得到，接著在中，，，最后利用算得答案．【詳解】（1）證明：連接，，如圖所示：為直徑，過點，，即．

又是中點，，，，，且，

，，．

．，，，即．為的半徑，是的切線．（2）解：，，又，，在中，，，．

又，在中，，，．【點睛】本題考查了切線的證明，解直角三角形，平行線的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的面積，直徑所對的圓周角等于90度，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．25．(1)見解析(2)①為等腰三角形，理由見解析；②(3)，理由見解析【分析】（1）先判斷出，，進而判斷出，進而得出結論；（2）①根據（1）證明出；②過點F作于H，先求出，，進而求出,最后用勾股定理即可求出答案；（3）先判斷出，由（1）知，