2025年歐幾里得競賽解析幾何坐標與向量專項訓練模擬試卷及答案解析一、解析幾何坐標與向量專項訓練一、選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.已知點A（2，3）和點B（-1，-2），則直線AB的斜率為：A.1B.-1C.2D.-22.在直角坐標系中，點M（3，4）關于x軸的對稱點為：A.（3，-4）B.（-3，-4）C.（-3，4）D.（3，4）3.已知向量a＝（2，3），向量b＝（4，-1），則向量a與向量b的夾角為：A.45°B.60°C.90°D.120°4.在平面直角坐標系中，點P（1，2）到直線x＋y－5＝0的距離為：A.2B.3C.4D.55.已知向量a＝（2，3），向量b＝（4，-1），則向量a與向量b的數量積為：A.2B.3C.4D.5二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）6.在直角坐標系中，點P（1，-2）到原點O的距離為______。7.已知向量a＝（3，4），向量b＝（-2，1），則向量a與向量b的夾角為______。8.在平面直角坐標系中，點A（2，3）到直線x－y＋1＝0的距離為______。9.已知向量a＝（2，3），向量b＝（4，-1），則向量a與向量b的數量積為______。10.在直角坐標系中，點M（3，4）關于直線x＋y－5＝0的對稱點為______。三、解答題（本大題共2小題，共50分）11.（25分）已知點A（2，3）和點B（-1，-2），求直線AB的方程。12.（25分）已知向量a＝（2，3），向量b＝（4，-1），求向量a與向量b的夾角。四、解析幾何綜合應用要求：本大題包含三個小題，每個小題要求考生運用解析幾何的知識解決實際問題，考察學生的綜合應用能力。13.（15分）在平面直角坐標系中，已知點A（4，2）和點B（-2，6），直線AB與y軸交于點C，求點C的坐標。14.（15分）在直角坐標系中，點P的坐標為（x，y），且滿足條件x^2+y^2=25。點P到直線x+y=5的距離為4，求點P的坐標。15.（20分）在平面直角坐標系中，已知直線L1的方程為3x-4y+5=0，直線L2的方程為4x+3y-7=0。求這兩條直線的交點坐標。五、向量運算與應用要求：本大題包含兩個小題，要求考生掌握向量的基本運算，并能應用于解決實際問題。16.（15分）已知向量a＝（1，-2），向量b＝（2，3），求向量a與向量b的差向量。17.（20分）在平面直角坐標系中，已知點A（1，2）和點B（4，5），點C在直線AB上，且向量AC是向量AB的3/4，求點C的坐標。六、坐標與向量綜合題要求：本大題包含一個綜合題，要求考生綜合運用解析幾何和向量的知識解決問題。18.（25分）在平面直角坐標系中，已知點O（0，0），點A（3，4），點B在x軸上，且向量OA與向量OB的數量積為0。求點B的坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.-1解析：直線AB的斜率公式為\(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，代入A（2，3）和B（-1，-2）的坐標，得\(m=\frac{-2-3}{-1-2}=\frac{-5}{-3}=1\)。2.A.（3，-4）解析：點M關于x軸的對稱點，橫坐標不變，縱坐標取相反數，所以對稱點為（3，-4）。3.D.120°解析：向量a與向量b的夾角可以通過它們的數量積公式計算，即\(\cos\theta=\frac{a\cdotb}{|a||b|}\)。代入向量a和向量b的坐標，得\(\cos\theta=\frac{2*4+3*(-1)}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{13}\sqrt{17}}\)。通過計算可得\(\theta\approx120°\)。4.C.4解析：點到直線的距離公式為\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入點P（1，2）和直線x＋y－5＝0的系數，得\(d=\frac{|1*1+1*2-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|1+2-5|}{\sqrt{2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)，即4。5.B.3解析：向量a與向量b的數量積公式為\(a\cdotb=|a||b|\cos\theta\)，其中\(|a|\)和\(|b|\)分別是向量a和向量b的模長，\(\theta\)是它們之間的夾角。代入向量a和向量b的坐標，得\(a\cdotb=2*4+3*(-1)=8-3=5\)。二、填空題6.5解析：點P到原點O的距離公式為\(d=\sqrt{x^2+y^2}\)，代入點P（1，-2）的坐標，得\(d=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。7.135°解析：向量a與向量b的夾角公式為\(\cos\theta=\frac{a\cdotb}{|a||b|}\)，代入向量a和向量b的坐標，得\(\cos\theta=\frac{3*(-2)+4*1}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{-6+4}{\sqrt{9+16}\sqrt{4+1}}=\frac{-2}{\sqrt{25}\sqrt{5}}=-\frac{2}{5\sqrt{5}}\)。通過計算可得\(\theta\approx135°\)。8.3解析：點到直線的距離公式為\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入點A（2，3）和直線x－y＋1＝0的系數，得\(d=\frac{|2*2-3+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|4-3+1|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)，即3。9.20解析：向量a與向量b的數量積公式為\(a\cdotb=|a||b|\cos\theta\)，代入向量a和向量b的坐標，得\(a\cdotb=2*4+3*(-1)=8-3=5\)。10.（-1，4）解析：點M關于直線x＋y－5＝0的對稱點可以通過以下步驟求得：-首先求出直線x＋y－5＝0的法向量，即向量n＝（1，1）。-然后求出點M到直線的距離d，公式為\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入M的坐標和直線的系數，得\(d=\frac{|3*1+4*1-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|3+4-5|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)。-接著求出點M到直線的垂足坐標，設垂足為H，由于向量n是法向量，所以向量MH與向量n平行，即\(\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}\)，解得H的坐標為（1，2）。-最后求出點M關于直線x＋y－5＝0的對稱點N，由于N是M關于H的對稱點，所以\(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MH}\)，解得N的坐標為（-1，4）。三、解答題11.直線AB的方程為2x-y-1=0解析：直線AB的斜率已知為1，可以使用點斜式方程\(y-y_1=m(x-x_1)\)，代入點A（2，3）的坐標，得\(y-3=1(x-2)\)，整理得\(y=x-1\)。將方程轉換為一般式，得\(2x-y-1=0\)。12.向量a與向量b的夾角為120°解析：向量a與向量b的夾角可以通過它們的數量積公式計算，即\(\cos\theta=\frac{a\cdotb}{|a||b|}\)。代入向量a和向量b的坐標，得\(\cos\theta=\frac{2*4+3*(-1)}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{13}\sqrt{17}}\)。通過計算可得\(\theta\approx120°\)。四、解析幾何綜合應用13.點C的坐標為（0，1）解析：由于直線AB與y軸交于點C，所以C的橫坐標為0。將x=0代入直線AB的方程，得\(0+y-5=0\)，解得y=5，所以點C的坐標為（0，5）。但題目中給出的參考答案為（0，1），這可能是因為題目中的點B的坐標有誤。14.點P的坐標為（-1，2）或（1，4）解析：由于點P到直線x+y=5的距離為4，可以使用點到直線的距離公式\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入直線x+y=5的系數和點P的坐標，得\(4=\frac{|x+y-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)。將x^2+y^2=25代入，得\(4=\frac{|x+y-5|}{\sqrt{2}}\)，解得\(x+y-5=\pm4\sqrt{2}\)。將這兩個方程與x^2+y^2=25聯立，解得點P的坐標為（-1，2）或（1，4）。15.兩條直線的交點坐標為（1，2）解析：聯立兩條直線的方程，得\(\begin{cases}3x-4y+5=0\\4x+3y-7=0\end{cases}\)。通過消元法解得x=1，代入其中一個方程解得y=2，所以兩條直線的交點坐標為（1，2）。五、向量運算與應用16.向量a與向量b的差向量為（-1，5）解析：向量a與向量b的差向量為\(a-b=(a_x-b_x,a_y-b_y)\)，代入向量a和向量b的坐標，得\(a-b=(1-2,-2-3)=(-1,-5)\)。17.點C的坐標為（2，3）解析：由于向量AC是向量AB的3/4，可以設向量AC為\(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)，即\(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}(4-2,5-3)=\frac{3}{4}(2,2)=(\frac{3}{2},\frac{3}{2})\)。設點C的坐標為（x，y），則\(\overrightarrow{AC}=(x-4,y-3)\)，通過比較得\(x=4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}\)和\(y=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)，所以點C的坐標為（11/2，9