北京理工大學2025學年高等數學（上）期中測試卷：極限、導數與積分綜合應用一、選擇題（每題5分，共20分）1.設函數f(x)=x^3-3x+2，則f(x)在x=1處的導數為（）A.0B.1C.-1D.22.下列函數中，可導的函數是（）A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=1/xD.f(x)=√x3.函數f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1處的極限是（）A.0B.1C.-1D.無極限4.若函數f(x)在x=1處可導，則f'(1)等于（）A.f(1)B.f'(0)C.f'(1)D.f'(0)+f'(1)5.設函數f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f'(x)=（）A.3x^2-6x+4B.3x^2-6x-4C.3x^2-6x+1D.3x^2-6x-1二、填空題（每題5分，共20分）1.函數f(x)=x^2-3x+2在x=1處的導數為______。2.若函數f(x)在x=0處可導，則f'(0)等于______。3.函數f(x)=2x^3-6x^2+3x+1的導數f'(x)為______。4.函數f(x)=x^2+1的導數f'(x)為______。5.函數f(x)=x^3-3x+2在x=2處的極限是______。三、解答題（每題10分，共30分）1.求函數f(x)=x^2-3x+2在x=1處的導數。2.求函數f(x)=2x^3-6x^2+3x+1的導數。3.求函數f(x)=x^2+1的導數。四、計算題（每題10分，共30分）1.計算極限：lim(x→0)(sinx/x)。2.計算極限：lim(x→∞)(x^3-3x^2+2x-1)/(2x^3-6x^2+3x-4)。3.計算極限：lim(x→2)((x-2)/(x^2-4))。五、應用題（每題10分，共30分）1.已知函數f(x)=x^2-2x+1，求f'(x)和f''(x)。2.求函數f(x)=e^x-x在x=0處的導數。3.求函數f(x)=ln(x)在x=1處的導數。六、綜合題（每題20分，共60分）1.已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f'(x)和f''(x)。(1)確定函數f(x)的單調區間。(2)求函數f(x)的極值點及其對應的極值。2.設函數f(x)=2x^3-6x^2+3x+1，求f'(x)和f''(x)。(1)確定函數f(x)的凹凸性。(2)求函數f(x)的拐點。3.已知函數f(x)=e^x-x，求f'(x)和f''(x)。(1)求函數f(x)的導數的單調性。(2)求函數f(x)的導數的極值點。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析：1.A.0解析：f(x)=x^3-3x+2在x=1處的導數f'(1)=(1^3-3*1+2)=0。2.B.f(x)=x^2解析：x^2,|x|和√x均為可導函數，而1/x在x=0處不可導。3.D.無極限解析：當x→1時，分子趨近于0，分母趨近于0，為“0/0”不定形式，需用洛必達法則或等價無窮小替換，最終極限為無極限。4.D.f'(0)+f'(1)解析：根據導數的定義，f'(1)是f(x)在x=1處的導數，f'(0)是f(x)在x=0處的導數。5.A.3x^2-6x+4解析：對f(x)=x^3-3x^2+4x-1求導得f'(x)=3x^2-6x+4。二、填空題答案及解析：1.-2解析：f(x)=x^2-3x+2在x=1處的導數f'(1)=(1^2-3*1+2)=-2。2.0解析：由于f(x)在x=0處可導，f'(0)等于函數在該點的導數值，即f'(0)=0。3.6x^2-12x+3解析：對f(x)=2x^3-6x^2+3x+1求導得f'(x)=6x^2-12x+3。4.2x解析：對f(x)=x^2+1求導得f'(x)=2x。5.5解析：當x→2時，分子趨近于(2^3-3*2+2*2-1)=5，分母趨近于(2^2-4)=0，極限為5。三、解答題答案及解析：1.f'(x)=2x-3解析：對f(x)=x^2-3x+2求導得f'(x)=2x-3。2.f'(x)=6x^2-12x+3解析：對f(x)=2x^3-6x^2+3x+1求導得f'(x)=6x^2-12x+3。3.f'(x)=2x解析：對f(x)=x^2+1求導得f'(x)=2x。四、計算題答案及解析：1.1解析：利用洛必達法則，lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(cosx/1)=cos(0)=1。2.-1/2解析：分子分母同時除以x^3得lim(x→∞)(1-3/x+2/x^2-1/x^3)/(2-6/x+3/x^2-4/x^3)=-1/2。3.1/2解析：當x→2時，分子趨近于0，分母趨近于0，為“0/0”不定形式，使用洛必達法則得lim(x→2)(x-2)/(2x)=1/2。五、應用題答案及解析：1.f'(x)=2x-2,f''(x)=2解析：f'(x)=2x-2，f''(x)=2。2.f'(x)=e^x-1解析：f'(x)=d/dx(e^x-x)=e^x-1。3.f'(x)=1/x解析：f'(x)=d/dx(ln(x))=1/x。六、綜合題答案及解析：1.f'(x)=3x^2-6x+4,f''(x)=6x-6(1)單調增區間：x∈(-∞,2)，x∈(2,+∞)。(2)極值點：x=2，極小值f(2)=-1。2.f'(x)=6x^2-12x+3,f''(x)=12x-12(1)凹