2025年四川省成人高考高升專數學（理）全真模擬試卷實戰技巧一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選擇一個最符合題意的答案。1.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-x$，則函數的對稱中心是（）A.$(0,0)$B.$(1,0)$C.$(\frac{1}{2},0)$D.$(0,1)$2.在下列各對數式中，能化為同底數對數式的是（）A.$\log_{2}5+\log_{5}2$B.$\log_{2}5-\log_{5}2$C.$\log_{2}5\times\log_{5}2$D.$\log_{2}5\div\log_{5}2$3.已知$a=3,b=4$，則$a^2+b^2$的值是（）A.25B.26C.27D.284.在下列各方程中，無實數解的是（）A.$x^2-4x+4=0$B.$x^2-4x+5=0$C.$x^2+4x+5=0$D.$x^2+4x+4=0$5.已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公差$d=2$，則第10項$a_{10}$的值是（）A.15B.16C.17D.18二、填空題要求：將正確答案填入空格內。6.已知函數$f(x)=x^2+2x+1$，則函數的頂點坐標是__________。7.在直角坐標系中，點A(2,3)關于直線$x+y=1$的對稱點B的坐標是__________。8.已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=1$，公差$d=2$，則第n項$a_n$的表達式是__________。三、解答題要求：寫出解答過程。9.已知函數$f(x)=x^2-4x+4$，求函數的圖像的對稱軸。10.已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公差$d=3$，求第5項$a_5$的值。四、證明題要求：證明下列各題中的結論。11.證明：如果$a^2+b^2=1$，那么$a\sin\theta+b\cos\theta=\sin(\theta+\alpha)$，其中$\alpha$是一個常數。五、應用題要求：根據題目給出的條件，求解下列各題。12.一個長方體的長、寬、高分別為5cm、3cm和4cm，求這個長方體的體積和表面積。六、綜合題要求：綜合運用所學知識，解決下列各題。13.已知等比數列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公比$q=3$，求前$n$項和$S_n$的表達式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-x$可以重寫為$f(x)=\frac{1-x^2}{x}$，令$u=x^2$，則$f(x)=\frac{1-u}{\sqrt{u}}$，對稱中心為$(1,0)$。2.D解析：同底數對數式可以通過換底公式轉換，$\log_{2}5\div\log_{5}2=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}5\cdot\log_{10}2}=\frac{1}{\log_{10}2}=\log_{2}2=1$。3.A解析：$a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$。4.B解析：方程$x^2-4x+5=0$的判別式$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=-4<0$，因此無實數解。5.D解析：等差數列的第$n$項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$和$d=2$，得$a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21$。二、填空題6.$(-1,-2)$解析：函數$f(x)=x^2+2x+1$可以重寫為$f(x)=(x+1)^2$，頂點坐標為$(-1,0)$。7.$(-1,-1)$解析：點A(2,3)關于直線$x+y=1$的對稱點B，可以通過解方程組來找到。設B點坐標為$(x_B,y_B)$，則有：$$\begin{cases}\frac{x_B+2}{2}+\frac{y_B+3}{2}=1\\\frac{y_B-3}{x_B-2}=-1\end{cases}$$解得$x_B=-1$，$y_B=-1$。8.$a_n=1+(n-1)\cdot2=2n-1$解析：等差數列的第$n$項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=1$和$d=2$，得$a_n=1+(n-1)\cdot2=2n-1$。三、解答題9.對稱軸為$x=2$解析：函數$f(x)=x^2-4x+4$可以重寫為$f(x)=(x-2)^2$，因此對稱軸為$x=2$。10.$a_5=2+4\cdot3=14$解析：等差數列的第5項公式為$a_5=a_1+(5-1)d$，代入$a_1=2$和$d=3$，得$a_5=2+4\cdot3=14$。四、證明題11.證明：解析：已知$a^2+b^2=1$，則$(a\sin\theta+b\cos\theta)^2=a^2\sin^2\theta+2ab\sin\theta\cos\theta+b^2\cos^2\theta$。由三角恒等式$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，得$(a\sin\theta+b\cos\theta)^2=a^2+b^2=1$。因此，$a\sin\theta+b\cos\theta=\pm1$。由于$a^2+b^2=1$，$a$和$b$不能同時為0，因此$\sin\theta$和$\cos\theta$不能同時為0。所以，$a\sin\theta+b\cos\theta=\sin(\theta+\alpha)$，其中$\alpha$是一個常數。五、應用題12.體積為60cm3，表面積為94cm2解析：體積$V=lwh=5\cdot3\cdot4=60$cm3。表面積$S=2(lw+lh+wh)=2(5\cdot3+5\cdot4+3\cdot4)=94$cm2。六、綜合題13.$S_n=\frac{2(1-3^n)}{1-3}