2025年臺灣省臺北市初中一年級數學競賽試卷（含答案）三、數學競賽類一、選擇題1.若一個等差數列的公差為3，且第一項為2，則該數列的第10項是多少？A.2B.29C.32D.352.下列哪個圖形是中心對稱圖形？A.正方形B.等腰三角形C.長方形D.等邊三角形二、填空題3.在直角坐標系中，點A(2,3)，點B(-4,5)，則線段AB的長度是____。4.若等比數列的第一項為3，公比為2，則該數列的前5項分別是____、____、____、____、____。5.若一個圓的半徑為5，則該圓的直徑是____。三、解答題6.解下列方程：(1)2x-5=3x+1(2)5(x-2)=3(x+4)7.已知等差數列的前三項分別為3，8，13，求該數列的公差和第10項。8.已知等比數列的第一項為2，公比為3，求該數列的前5項和。四、應用題要求：運用所學知識解決實際問題。9.小明家養了若干只雞和鴨，雞和鴨的總數為35只，雞的腿數為2倍于鴨的腿數。求小明家雞和鴨各有多少只。10.一輛汽車從甲地出發，以每小時60公里的速度行駛，3小時后到達乙地。然后汽車以每小時80公里的速度返回甲地，返回過程中遇到了一段限速為60公里的路段，該路段長度為15公里。求汽車從甲地到乙地再返回甲地的平均速度。五、證明題要求：運用數學知識證明下列命題。11.證明：對于任意實數a和b，都有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。12.證明：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決問題。13.已知一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c（a>b>c），求該長方體的表面積和體積。14.小華在一條直線上從點A出發，向右走5米到達點B，然后向左走3米到達點C，再向右走7米到達點D。求點A到點D的距離。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：B解析思路：等差數列的第n項公式為a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首項，d是公差，n是項數。根據題目，a_1=2，d=3，所以a_10=2+(10-1)*3=2+27=29。2.答案：A解析思路：中心對稱圖形是指圖形關于某一點對稱，即圖形上任意一點P關于中心對稱點P'的位置，都存在另一個點P'關于中心對稱點P的位置。正方形滿足這一條件，因此是中心對稱圖形。二、填空題3.答案：5解析思路：兩點之間的距離公式為d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]，代入點A(2,3)和點B(-4,5)的坐標，得到d=√[(-4-2)^2+(5-3)^2]=√[(-6)^2+(2)^2]=√[36+4]=√40=2√10。4.答案：3，6，12，24，48解析思路：等比數列的第n項公式為a_n=a_1*r^(n-1)，其中a_1是首項，r是公比。根據題目，a_1=3，r=2，所以a_2=3*2=6，a_3=3*2^2=12，依此類推。5.答案：10解析思路：圓的直徑是半徑的兩倍，所以直徑d=2*半徑r。根據題目，半徑r=5，所以直徑d=2*5=10。三、解答題6.答案：(1)x=-6(2)x=10解析思路：(1)將方程2x-5=3x+1中的x項移到一邊，常數項移到另一邊，得到2x-3x=1+5，簡化后得到-x=6，解得x=-6。(2)將方程5(x-2)=3(x+4)中的括號展開，得到5x-10=3x+12，將x項移到一邊，常數項移到另一邊，得到5x-3x=12+10，簡化后得到2x=22，解得x=11。7.答案：公差d=5，第10項a_10=38解析思路：等差數列的公差d=a_2-a_1，所以d=8-3=5。等差數列的第n項公式為a_n=a_1+(n-1)d，所以a_10=3+(10-1)*5=3+45=48。8.答案：前5項和S_5=31解析思路：等比數列的前n項和公式為S_n=a_1*(1-r^n)/(1-r)，其中a_1是首項，r是公比。根據題目，a_1=2，r=3，所以S_5=2*(1-3^5)/(1-3)=2*(1-243)/(-2)=2*(-242)/(-2)=242。四、應用題9.答案：雞有20只，鴨有15只解析思路：設雞的數量為x，鴨的數量為y，根據題目條件得到方程組：x+y=352x=2y解得x=20，y=15。10.答案：平均速度約為66.67公里/小時解析思路：總路程S=去程路程+返回路程=60*3+80*(3-15/60)=180+80*(3-0.25)=180+80*2.75=180+220=400公里。總時間T=去程時間+返回時間=3小時+(3-15/60)小時=3+2.75=5.75小時。平均速度V=總路程S/總時間T=400/5.75≈69.89公里/小時。五、證明題11.答案：證明如下：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2展開左邊的平方，得到a^2+2ab+b^2，與右邊相等，證明成立。12.答案：證明如下：在直角三角形ABC中，設斜邊為AB，中點為D。連接AD和BD。因為D是AB的中點，所以AD=DB。由于AD和BD是直角三角形ABC的兩條直角邊，所以三角形ABD和三角形CBD是等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以AD=BD=AB/2，證明成立。六、綜合題13.答案：表面積S=2(ab+bc+ac)，體積V=abc解析思路：長方體的表面積由六個面的面積之和組成，即S=2(ab+