高升專數學（理）成人高考模擬試卷，2025預測版押題版含函數單調性一、選擇題要求：本部分共10題，每題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=x^3-3x$，則函數的單調遞增區間是（）A.$(-\infty,-\sqrt{3})$，$(\sqrt{3},+\infty)$B.$(-\infty,-\sqrt{3})$，$(0,\sqrt{3})$C.$(-\sqrt{3},0)$，$(\sqrt{3},+\infty)$D.$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$2.設函數$f(x)=x^2+2ax+b$，其中$a>0$，$b\neq0$，則函數$f(x)$的圖像與x軸有兩個交點的充要條件是（）A.$a^2-b<0$B.$a^2-b>0$C.$a^2-b=0$D.$a^2+b<0$3.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則函數$f(x)$的單調遞減區間是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,0)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$4.函數$f(x)=x^3-3x+2$在區間$[0,2]$上的最大值是（）A.$-1$B.$0$C.$2$D.$3$5.設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則函數$f(x)$的圖像與x軸的交點個數是（）A.1B.2C.3D.46.已知函數$f(x)=x^2+2ax+b$，其中$a>0$，$b\neq0$，則函數$f(x)$的圖像與x軸有兩個交點的充要條件是（）A.$a^2-b<0$B.$a^2-b>0$C.$a^2-b=0$D.$a^2+b<0$7.函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則函數$f(x)$的單調遞增區間是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,0)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$8.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在區間$[0,2]$上的最小值是（）A.$-1$B.$0$C.$2$D.$3$9.設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則函數$f(x)$的圖像與y軸的交點坐標是（）A.$(0,-1)$B.$(1,0)$C.$(2,1)$D.$(3,2)$10.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則函數$f(x)$的單調遞減區間是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,0)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$二、填空題要求：本部分共5題，每題4分，共20分。11.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在區間$[0,2]$上的最大值是______。12.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在區間$[0,2]$上的最小值是______。13.函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的單調遞增區間是______。14.函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的單調遞減區間是______。15.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像與y軸的交點坐標是______。三、解答題要求：本部分共2題，共40分。16.（20分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函數$f(x)$在區間$[0,2]$上的最大值和最小值。17.（20分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求函數$f(x)$的單調遞增區間和單調遞減區間。四、應用題要求：本部分共1題，共10分。16.（10分）一公司生產某種產品，每天生產成本為800元，且每生產一件產品需花費20元。根據市場調查，如果售價定為100元/件，每天可以賣出100件；若售價每增加1元，銷量就減少10件。求該公司的利潤函數，并找出利潤最大的售價和對應的最大利潤。五、證明題要求：本部分共1題，共15分。17.（15分）證明：若函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$在$x=0$處的導數為0，則函數$f(x)$在$x=0$處取得極值。六、計算題要求：本部分共1題，共15分。18.（15分）已知函數$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$，求函數$f(x)$的極值點和拐點，并分析函數的凹凸性。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數$f(x)=x^3-3x$的導數為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm\sqrt{3}$，當$x<-\sqrt{3}$或$x>\sqrt{3}$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減。2.A解析：函數$f(x)=x^2+2ax+b$的判別式為$\Delta=4a^2-4b$，要使函數與x軸有兩個交點，則$\Delta>0$，即$4a^2-4b>0$，簡化得$a^2-b>0$。3.B解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于導數恒大于0，所以函數在整個定義域上單調遞增。4.C解析：函數$f(x)=x^3-3x+2$在區間$[0,2]$上單調遞增，所以最大值在$x=2$處取得，$f(2)=2^3-3\times2+2=2$。5.B解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，通過判斷導數的符號變化，可以確定函數在$x=1$處取得極小值，在$x=\frac{2}{3}$處取得極大值，因此圖像與x軸有兩個交點。二、填空題11.2解析：同選擇題第4題解析。12.-1解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在區間$[0,2]$上單調遞增，所以最小值在$x=0$處取得，$f(0)=-1$。13.$(-\infty,-1)$，$(0,+\infty)$解析：同選擇題第3題解析。14.$(-1,0)$解析：同選擇題第3題解析。15.$(0,-1)$解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像與y軸的交點坐標是在$x=0$時的函數值，即$f(0)=-1$。三、解答題16.（20分）解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在區間$[0,2]$上的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，通過判斷導數的符號變化，可以確定函數在$x=1$處取得極小值，在$x=\frac{2}{3}$處取得極大值。計算得$f(1)=-1$，$f(\frac{2}{3})=\frac{7}{27}$，所以最大值為2，最小值為-1。17.（20分）解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于導數恒大于0，所以函數在整個定義域上單調遞增，沒有單調遞減區間。四、應用題解析：設售價為$p$元，銷量為$q$件，則利潤$y$為$y=pq-20q-800$。根據題意，$q=100-10(p-100)$，代入利潤公式得$y=-10p^2+1900p-22000$。這是一個開口向下的二次函數，其頂點為利潤最大值，頂點坐標為$p=-\frac{2a}=\frac{1900}{20}=95$，代入得最大利潤為$y_{\text{max}}=-10\times95^2+1900\times95-22000=7750$。五、證明題解析：函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$的導數為$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=3$，計算$f''(x)=6x-12$，$f''(1)=-6<0$，$f''(3)=6>0$，因此$x=1$是極大值點，$x=3$是極小值點，故$x=0$不是極值點。六、計算題解析：函數$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$的導數為$f'(x)=6x^2-18x+12$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$，計算$f''(x)=12x-18$，$f''(1)=-6<0$，$f''(2)=6>0$，因此$x=1$是極大值點，$x=2$是極小值點。計算得$f(1)=8$，$f(