高升專數學（理）復數與二項式定理模擬試題（2025年必做真題）一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個。1.設復數z=2+3i，則z的模|z|等于：A.5B.13C.2D.32.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z所在的直線方程為：A.x=0B.y=0C.x+y=0D.x-y=03.若復數z=a+bi（a，b∈R），且z的實部a和虛部b滿足a^2+b^2=1，則z的值為：A.1B.-1C.iD.-i4.已知復數z=1+i，則z的共軛復數z?等于：A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i5.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z在復平面上的幾何意義是：A.點z到點(1,0)和點(-1,0)的距離相等B.點z到點(1,0)和點(0,1)的距離相等C.點z到點(0,1)和點(-1,0)的距離相等D.點z到點(0,1)和點(1,0)的距離相等二、填空題要求：將正確答案填入下列各題的橫線上。6.設復數z=3-4i，則z的模|z|=_______。7.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z在復平面上的幾何意義是z到點_______和點_______的距離相等。8.若復數z=a+bi（a，b∈R），且z的實部a和虛部b滿足a^2+b^2=1，則z的值為_______。三、解答題要求：解答下列各題。9.已知復數z=1+i，求z的模|z|和共軛復數z?。10.設復數z=a+bi（a，b∈R），且z的實部a和虛部b滿足a^2+b^2=1，求z的模|z|的最大值和最小值。四、證明題要求：證明下列各題。11.證明：若復數z=a+bi（a，b∈R），則z的模|z|=√(a^2+b^2)。12.證明：復數z=a+bi（a，b∈R）的共軛復數z?=a-bi，且z+z?=2a。五、應用題要求：應用所學知識解決下列各題。13.已知復數z=2+3i，求z的模|z|和z的共軛復數z?。14.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，求z在復平面上的幾何位置。六、綜合題要求：綜合運用所學知識完成下列各題。15.已知復數z=1+i，求z的模|z|，z的共軛復數z?，以及z的平方z^2。16.設復數z=a+bi（a，b∈R），且z的實部a和虛部b滿足a^2+b^2=1，求z的模|z|的最大值和最小值，并說明理由。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.5解析：復數z=2+3i的模|z|=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。2.A.x=0解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點(1,0)和點(-1,0)的距離相等，因此z在實軸上，即x=0。3.D.-i解析：復數z=a+bi（a，b∈R），且a^2+b^2=1，表示z在單位圓上，由于b^2=1，所以b=±1，且a=0，因此z=±i。4.A.1-i解析：復數z=1+i的共軛復數z?=1-i。5.A.點z到點(1,0)和點(-1,0)的距離相等解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點(1,0)和點(-1,0)的距離相等。二、填空題6.√(3^2+(-4)^2)=√(9+16)=√25=5解析：復數z=3-4i的模|z|=√(3^2+(-4)^2)。7.點(1,0)和點(-1,0)解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點(1,0)和點(-1,0)的距離相等。8.±i解析：復數z=a+bi（a，b∈R），且a^2+b^2=1，表示z在單位圓上，由于b^2=1，所以b=±1，且a=0，因此z=±i。三、解答題9.|z|=√(1^2+1^2)=√2，z?=1-i解析：復數z=1+i的模|z|=√(1^2+1^2)=√2，共軛復數z?=1-i。10.|z|的最大值為1，最小值為0解析：復數z=a+bi（a，b∈R），且a^2+b^2=1，表示z在單位圓上，|z|的最大值為圓的半徑，即1，最小值為0（當z=0時）。四、證明題11.證明：若復數z=a+bi（a，b∈R），則z的模|z|=√(a^2+b^2)。解析：復數z=a+bi，其模|z|=√(a^2+b^2)，根據勾股定理，該式成立。12.證明：復數z=a+bi（a，b∈R）的共軛復數z?=a-bi，且z+z?=2a。解析：復數z=a+bi的共軛復數z?=a-bi，因為z+z?=(a+bi)+(a-bi)=2a。五、應用題13.|z|=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13，z?=2-3i解析：復數z=2+3i的模|z|=√(2^2+3^2)=√13，共軛復數z?=2-3i。14.z在復平面上的幾何位置是實軸上，即x=0解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點(1,0)和點(-1,0)的距離相等，因此z在實軸上，即x=0。六、綜合題15.|z|=√(1^2+1^2)=√2，z?=1-i，z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i解析：復數z=1+i的模|z|=√(1^2+1^2)=√2，共軛復數z?=1-i，z的平方z^2=(1+i