大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（含答案詳解）卷，歷年真題深度解析一、選擇題（共10題，每題2分，共20分）1.在下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（）A.明天會(huì)下雨B.2+2=4C.拋擲一枚硬幣，正面朝上D.一個(gè)人身高1.80米2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：|X|-1|0|1||---|----|---|---||P|0.2|0.5|0.3|則E（X）=（）A.-0.1B.0C.0.1D.0.23.若隨機(jī)變量X的方差為1，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）A.E（X）=0B.E（X^2）=1C.E（X^2）=2D.E（X^2）=34.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（0，1），Y～N（0，1），則P{XY≥0}=（）A.1/2B.1/4C.1/3D.1/85.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=（）A.1/π，x∈（0，π）B.1/π，x∈（-π，π）C.1/2π，x∈（-π，π）D.1/2π，x∈（0，π）6.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（0，1），則E（XY）=（）A.0B.1C.2D.37.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（0，1），則P{|X-Y|≤1}=（）A.1/2B.1/4C.1/3D.1/88.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=（）A.1/√2π，x∈（-∞，+∞）B.1/√2π，x∈（0，+∞）C.1/2√2π，x∈（-∞，+∞）D.1/2√2π，x∈（0，+∞）9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（μ1，σ1^2），Y～N（μ2，σ2^2），則Z=X+Y的分布為（）A.N（μ1+μ2，σ1^2+σ2^2）B.N（μ1+μ2，σ1^2-σ2^2）C.N（μ1+μ2，σ1^2+2σ2^2）D.N（μ1+μ2，σ1^2-2σ2^2）10.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（0，1），Y～N（0，1），則P{X+Y≤0}=（）A.1/2B.1/4C.1/3D.1/8二、填空題（共5題，每題3分，共15分）1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：|X|-1|0|1||---|----|---|---||P|0.2|0.5|0.3|則E（X^2）=______2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（0，1），Y～N（0，1），則P{XY≤0}=______3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（0，1），則E（X^2Y^2）=______4.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=（）A.1/√2π，x∈（-∞，+∞）B.1/√2π，x∈（0，+∞）C.1/2√2π，x∈（-∞，+∞）D.1/2√2π，x∈（0，+∞）則E（X）=______5.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（μ1，σ1^2），Y～N（μ2，σ2^2），則D（X+Y）=______三、解答題（共5題，每題10分，共50分）1.已知隨機(jī)變量X的概率分布為：|X|1|2|3||---|---|---|---||P|0.2|0.5|0.3|求E（X^2）和D（X）。2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（0，1），Y～N（0，1），求P{X+Y≤0}。3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（0，1），求E（X^2Y^2）。4.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=（）A.1/√2π，x∈（-∞，+∞）B.1/√2π，x∈（0，+∞）C.1/2√2π，x∈（-∞，+∞）D.1/2√2π，x∈（0，+∞）求E（X）。5.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（μ1，σ1^2），Y～N（μ2，σ2^2），求D（X+Y）。四、計(jì)算題（共2題，每題10分，共20分）1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={kx^2，x≥0；0，x<0}，其中k為常數(shù)。求常數(shù)k的值，并求E（X）和D（X）。2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（μ，σ^2），求P{X^2+Y^2≤1}。五、證明題（共1題，10分）證明：若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N（μ1，σ1^2），Y～N（μ2，σ2^2），則Z=aX+bY服從正態(tài)分布N（aμ1+bμ2，a^2σ1^2+b^2σ2^2），其中a和b為常數(shù)。六、應(yīng)用題（共1題，10分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率p=0.95，不合格品率為q=0.05。現(xiàn)從該工廠生產(chǎn)的100個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10個(gè)，求這10個(gè)產(chǎn)品中恰好有3個(gè)不合格品的概率。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：隨機(jī)事件是指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。拋擲一枚硬幣，正面朝上就是一個(gè)隨機(jī)事件。2.A解析：E（X）=Σ（x*P(x)）=(-1*0.2)+(0*0.5)+(1*0.3)=-0.2+0+0.3=0.1。3.B解析：方差D（X）=E（X^2）-[E（X）]^2，已知D（X）=1，E（X^2）=E（X）+D（X）=1。4.A解析：由于X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以P{XY≥0}=1-P{XY<0}=1-P{X<0}*P{Y<0}=1-(1/2)*(1/2)=1/2。5.B解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)=1/√(2π)*e^(-x^2/2)，x∈（-∞，+∞）。6.A解析：由于X和Y獨(dú)立同分布，所以E（XY）=E（X）*E（Y）=0。7.B解析：由于X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（0，1），所以P{|X-Y|≤1}=P{X-Y≤1}-P{X-Y<-1}=1/2-1/4=1/4。8.A解析：正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)=1/√(2π)*e^(-x^2/2)，x∈（-∞，+∞）。9.A解析：X和Y相互獨(dú)立，所以Z的分布為X和Y的線性組合的分布，即N（μ1+μ2，σ1^2+σ2^2）。10.A解析：由于X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以P{X+Y≤0}=1-P{X+Y>0}=1-P{X>0}*P{Y>0}=1-(1/2)*(1/2)=1/2。二、填空題1.0.9解析：E（X^2）=Σ（x^2*P(x)）=(-1)^2*0.2+0^2*0.5+1^2*0.3=0.2+0+0.3=0.5，所以E（X^2）=0.5。2.1/4解析：P{XY≤0}=1-P{XY>0}=1-P{X>0}*P{Y>0}=1-(1/2)*(1/2)=1/4。3.1/2解析：E（X^2Y^2）=E（X^2）*E（Y^2）=1*1=1，所以E（X^2Y^2）=1。4.0解析：E（X）=∫（x*f(x)）dx=∫（x*1/√(2π)*e^(-x^2/2)）dx=0。5.2σ1^2+2σ2^2解析：D（X+Y）=D（X）+D（Y）=σ1^2+σ2^2。三、解答題1.E（X^2）=0.5，D（X）=0.2解析：E（X^2）=Σ（x^2*P(x)）=1^2*0.2+2^2*0.5+3^2*0.3=0.2+2+2.7=5，所以E（X^2）=5。D（X）=E（X^2）-[E（X）]^2=5-1^2=4，所以D（X）=4。2.P{X+Y≤0}=1/2解析：由于X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以P{X+Y≤0}=1-P{X+Y>0}=1-P{X>0}*P{Y>0}=1-(1/2)*(1/2)=1/2。3.E（X^2Y^2）=1解析：由于X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（0，1），所以E（X^2Y^2）=E（X^2）*E（Y^2）=1*1=1。4.E（X）=0解析：E（X）=∫（x*f(x)）dx=∫（x*1/√(2π)*e^(-x^2/2)）dx=0。5.D（X+Y）=2σ1^2+2σ2^2解析：D（X+Y）=D（X）+D（Y）=σ1^2+σ2^2。四、計(jì)算題1.k=1/2π，E（X）=0，D（X）=1/12解析：k*∫（x^2*e^(-x^2)）dx=k*∫（x^2*e^(-x^2/2)*2）dx=k*2*∫（x^2*e^(-x^2/2)）dx=k*2*(1/√(2π))=1，所以k=1/2π。E（X）=∫（x*f(x)）dx=∫（x*1/√(2π)*e^(-x^2/2)）dx=0。D（X）=∫（x^2*f(x)）dx-[E（X）]^2=∫（x^2*1/√(2π)*e^(-x^2/2)）dx-0^2=1/12。2.P{X^2+Y^2≤1}=π/4解析：由于X和Y獨(dú)立同分布，且X～N（μ，σ^2），所以X^2和Y^2都服從自由度為1的卡方