第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)與等腰直角三角形的存在性問題》專項(xiàng)檢測(cè)卷(含答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．如圖，若拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接，，求的面積；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)M，恰好使是以為腰的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(4)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(2)是直角三角形嗎？若是，請(qǐng)給予證明；(3)線段上是否存在點(diǎn)E，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)如圖1，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求m的值；(3)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求m的值；(4)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中，若在y軸上存在點(diǎn)Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)），請(qǐng)直接寫出m的值．4．如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求的值：(2)如圖，點(diǎn)是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，拋物線頂點(diǎn)為，已知直線與二次函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，求證：無論為何值，恒為直角三角形．5．已知二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)、，與軸交于另一點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．

(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)連接、、，求證：是直角三角形；(3)在軸是否存在一點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．6．已知二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)、，與x軸交于另一點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)連接、、，求證：是直角三角形；(3)在x軸是否存在一點(diǎn)P，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．如圖所示，拋物線y1＝﹣x2與直線y2＝﹣x﹣交于A，B兩點(diǎn)．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）根據(jù)圖象回答：①當(dāng)x取何值時(shí)，y1的值隨x的增大而增大？②當(dāng)x取何值時(shí)，y1＜y2？（3）求△AOB的面積．（4）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（5）拋物線上找一點(diǎn)Q，使得△ABQ是直角三角形，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)橫坐標(biāo)8．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)，且與直線相交于和兩點(diǎn)．

（1）求拋物線和直線的解析式；（2）求證：是直角三角形；（3）拋物線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），使，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）若直線交軸于點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，說明理由．9．如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，拋物線與軸的另一交點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積為，求的最大值；（3）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形且為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，，連接，，，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等．點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離也相等．（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)并直接寫出的形狀；（2）若點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

11．如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，在線段BC上存在點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？求點(diǎn)M的坐標(biāo)．12．已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)為D，

（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．如圖，拋物線（）.(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；(2)若該拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn).①若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求的值；②當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)是該拋物線位于軸上方的一點(diǎn)，且，求的最大值.14．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，若是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖（2），點(diǎn)D是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，問：是否存在點(diǎn)D，使得?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．如圖，已知拋物線過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案1．(1)(2)(3)或(4)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先配方得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)解答即可；（3）先表示，，，然后分為或兩種情況列方程解題即可；（4）設(shè)點(diǎn)，，求出的最值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后設(shè)，表示，，，然后分局勾股定理列方程解題即可．【詳解】（1）解：將A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴；（3）解：存在.令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B和C的坐標(biāo)代入得：，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，，當(dāng)時(shí)，，解得，(舍去)，；當(dāng)時(shí)，解得(舍去)，(舍去)，；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（4）解：設(shè)點(diǎn)，，∴，當(dāng)時(shí)，最大為，又∵，∴的值最大，此時(shí)點(diǎn)，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）或，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）或，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去），綜上所述點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合是解題的關(guān)鍵．2．(1)，；(2)是，見解析；(3)存在，．【分析】（1）拋物線的解析式中，令即得二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令即得二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）根據(jù)（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)得出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出即可；（3）根據(jù)的坐標(biāo)，求得直線的解析式，由于等腰的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：由于此時(shí)點(diǎn)符合點(diǎn)的要求，即此時(shí)重合；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：點(diǎn)橫坐標(biāo)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)加上的一半，然后將其代入直線的解析式中，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；此時(shí)過作軸于，已求得的長(zhǎng)，即可通過相似三角形所得比例線段求得的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：在二次函數(shù)中令得∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，令得：即：解得：和∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：，；（2）解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，是直角三角形；（3）解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為則：，解得，，；①當(dāng)時(shí)，，，∵，，；②當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在的垂直平分線上，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，將代入，解得，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作則，，即；綜上所述，符合條件的點(diǎn)共有三個(gè)：，，．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(1)；(2)m的值為1或(3)或或(4)m的值為或【分析】（1）將點(diǎn)，，代入得，，計(jì)算求解，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式；待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（2）由題意知，當(dāng)是直角三角形時(shí)，分，，兩種情況求解；當(dāng)時(shí)，軸，，則，計(jì)算求出滿足要求的解即可；當(dāng)時(shí)，，，，根據(jù)勾股定理求解即可；（3）由題意知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分，，三種情況列方程計(jì)算求解即可；（4）由，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，可知，．由，可得，，．由點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)，可知分或兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，，代入得，，解得，，∴；設(shè)直線的解析式為，將，代入得，解得，，∴；（2）解：由題意知，當(dāng)是直角三角形時(shí)，分，，兩種情況求解；當(dāng)時(shí)，由題意知，軸，∴，∴，解得，（舍去），或；當(dāng)時(shí)，∵，，∴，，，由勾股定理得，，即，又∵，聯(lián)立①②，解得或（舍去），綜上所述，m的值為1或；（3）解：∵點(diǎn)M在直線上，且，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分以下三種情況求解；①當(dāng)時(shí)，則，∴，解得；②當(dāng)時(shí)，則，∴，解得或（舍去）；③當(dāng)時(shí)，則，∴，解得或（舍去）．綜上所述，或或．（4）解：∵，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，∴，．∵，∴，，．∵點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)，∴或，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，如圖1，∴直線的解析式為，∴，解得或（舍去）．②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，如圖2，作軸于，∴，．∵，∴，即，解得或（舍去），綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，余弦，二次函數(shù)與特殊的三角形綜合，二次函數(shù)與相似綜合等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，余弦，二次函數(shù)與特殊的三角形綜合，二次函數(shù)與相似綜合是解題的關(guān)鍵．4．(1)，；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；(3)證明見解析．【分析】（）將，代入，可求出答案；（）求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，分或或三種情況，構(gòu)造關(guān)于的方程即可得解；（）將二次函數(shù)與直線的表達(dá)式聯(lián)立并整理得，利用根和系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而可得，，利用兩點(diǎn)距離公式求出，，，由勾股定理的逆定理可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，，∴，解得，∴，；（2）∵拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得(舍去），，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，解得或（舍去），∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得，∴；綜上可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）將二次函數(shù)與直線的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，，則，，∴，同理可得，∵，∴頂點(diǎn)，∴，，∴，，，∵，，，∴，∴，故，即恒為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，兩點(diǎn)距離公式,一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)見解析(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；（1）將、，代入二次函數(shù)，求得、的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線段、、的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可；（3）分，，三種情況討論．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)、，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）由得，點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于另一點(diǎn)，令，，解得或，，，，，，，，，是直角三角形；（3）∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)或；

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸，，，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．6．(1)(2)見解析(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．（1）將、，代入二次函數(shù)，求得、的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線段、、的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可；（3）分，，三種情況討論．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)、，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）證明：由得，點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于另一點(diǎn)，令，，解得或，，，，，，，，，是直角三角形；（3）∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)或；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸，∵，，，點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．7．（1）A（﹣，﹣），B（3，﹣9）；（2）①當(dāng)x＜0時(shí)，y1的值隨x的增大而增大，②當(dāng)x＞3或x＜﹣時(shí)，y1＜y2；（3）；（4）(-3，0)，(，0），（，0），（，0）；（5）(，)，(，)．【分析】（1）令，即可得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程得到x的值后再代入拋物線解析式可以得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分別根據(jù)拋物線的圖象與拋物線與直線的相對(duì)關(guān)系可以得到解答；（3）運(yùn)用割補(bǔ)法將三角形補(bǔ)成一個(gè)直角梯形，進(jìn)行解答即可；(4)分OA=OP、AP=OP、AP=OA三種情況討論；（5）分角Q為直角、角A為直角、角B為直角三種情況討論．【詳解】解：（1）∵拋物線y1＝﹣x2與直線y2＝﹣x﹣交于A，B兩點(diǎn)．∴﹣x2＝﹣x﹣，解得x1＝3，x2＝﹣，∴y1＝﹣9，y2＝﹣，∴A（﹣，﹣），B（3，﹣9），（2）由圖象得，①當(dāng)x＜0時(shí)，y1的值隨x的增大而增大，②當(dāng)x＞3或x＜﹣時(shí)，y1＜y2．（3）由知，（4）設(shè)P（x,0)，則有：當(dāng)OA=OP時(shí)，有：當(dāng)AP=OP時(shí)，有：當(dāng)AP=OA時(shí)，有：x=0(舍去）或x=-3；∴在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形，其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(-3，0)或(，0）或（，0）或（，0）．（5）設(shè)Q坐標(biāo)為（x,-x2)，則分三種情況討論：當(dāng)角Q為直角時(shí)，可作圖如下：則不難得到,可解得x=或x=；當(dāng)角A為直角時(shí)，可作圖如下：則不難得到,可解得x=；當(dāng)角B為直角時(shí)，可作圖如下：則不難得到，可解得x=．∴使得△ABQ是直角三角形的Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=或x=或x=或x=．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立方程是解決問題的關(guān)鍵．8．（1），；（2）是直角三角形，見解析；（3）；（4）存在，或或或【分析】(1)設(shè)拋物線解析式，將B(2,0)代入求得a，將B(2,0)代入y=kx+2，求得k；(2)分別求出，根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；(3)作∠BCE=∠ACB，與拋物線交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AB，與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A′，過A′作A′H垂直x軸于點(diǎn)H，設(shè)二次函數(shù)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G.根據(jù)對(duì)稱與三角形全等，求得A′(3,1)，然后求出A′C解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，求得點(diǎn)E坐標(biāo)；(4)設(shè)F(1,m)，分三種情況討論：①當(dāng)BF=BD時(shí)，，②當(dāng)DF=BD時(shí)，，③當(dāng)BF=DF時(shí)，，m=1，然后代入即可．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線解析式，將代入，，∴，拋物線解析式：，將代入，，，∴直線的解析式：；（2）聯(lián)立，解得，，∴，∵，，∴，，，∴，∴是直角三角形；（3）如圖，作，與拋物線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過作垂直軸于點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)對(duì)稱軸于軸交于點(diǎn)．

∵，，∴點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，，可知，∵，∴，，∴，，，∴，∵，∴直線：，聯(lián)立：，解得或，∴（4）∵拋物線的對(duì)稱軸：直線，∴設(shè)，直線的解析式：；∴∵，∴，，①當(dāng)時(shí)，，，∴坐標(biāo)或②當(dāng)時(shí)，，，∴坐標(biāo)或③當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)、、在同一直線上，不符合題意．綜上，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）由對(duì)稱軸的對(duì)稱性得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡(jiǎn)后是一個(gè)關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可；（3）分兩種情況，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)兩種情況，結(jié)合相似三角形求解.【詳解】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱且，∴.∴設(shè)拋物線的解析式為.∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得.∴拋物線的解析式為，即.（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn).設(shè)則.∴，.∴.∴當(dāng)時(shí)，.（3）分以下兩種情況：①如圖所示：當(dāng)時(shí)，∵，∴只能.∵，，設(shè)BC解析式為：y=kx+m，將B，C代入，可得：k=-2，m=8，∴直線的解析式為.設(shè)點(diǎn)，則，，.在中，.∵，∴.∴，即，.∴.∵，∴，.∴.②如圖所示：當(dāng)時(shí)，∵，∴只能.過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，，.由①得：，.∵，，∴.∴，即∴，∵，，∴.∴.∴.∵軸于點(diǎn)，，∴，.∴.又∵，∴∴，即，∴∴，∴，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，綜合性較強(qiáng)；考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并利用方程組求圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，將函數(shù)和方程有機(jī)地結(jié)合，進(jìn)一步把函數(shù)簡(jiǎn)單化；同時(shí)還考查了相似的性質(zhì)：在二次函數(shù)的問題中，如果利用勾股定理不能求的邊可以考慮利用相似的性質(zhì)求解．10．（1）；；直角三角形

（2）或或

（3），【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，代入，即可得到A的坐標(biāo)，同理，可得到B的坐標(biāo)，進(jìn)而即可判斷的形狀；（2）先求出直線的解析式為：，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直線的解析式為：，然后分3種情況：或或，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可；（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．易證，得，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】（1）∵點(diǎn)在第二象限，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得：，（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)是．∴∠AOC=∠BOC=45°，即：∠AOB=90°，∴是直角三角形；（2）設(shè)直線的解析式為：．∴，解得：，∴直線的解析式為：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵直線過點(diǎn)，，∴直線的解析式為：．∵為等腰三角形，∴或或．設(shè)，①當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去）．∴．②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段的中垂線上，∴．③當(dāng)時(shí)，由，解得：，（舍去）．∴．∴點(diǎn)坐標(biāo)為：或或；（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．∵點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)，當(dāng)時(shí)，可得：，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，，∴，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)，等腰三角形以及相似三角形的綜合，掌握待定系數(shù)法以及相似三角形的判定和性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．11．（1）y=x2-x+3．（2）最小值為9．（3）（，）或（，）．【分析】（1）把點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；（2）A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC，則BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC；根據(jù)勾股定理求得BC，即可求得；試題解析：（3）分兩種情況分別討論，即可求得．【詳解】解：（1）由已知得，解得．所以，拋物線的解析式為y=x2-x+3．（2）∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖1，連接BC，∴BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，∴四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC，∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），∴OA=1，OC=3，BC==5，∴OC+OA+BC=1+3+5=9；∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小，四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值為9．（3）∵B（4，0）、C（0，3），∴直線BC的解析式為y=-x+3，①當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，如圖2，設(shè)M（a，b），∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ=b，∵M(jìn)Q//y軸，∴△MQB∽△COB，∴，即，解得b=，代入y=-x+3得=-a+3，解得a=，∴M（，）；②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，如圖3，∵∠CMQ=90°，∴只能CM=MQ，設(shè)CM=MQ=m，∴BM=5-m，∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，∴△BMQ∽△BOC，∴，解得m=，作MN∥OB，∴△CMN∽△CBO，∴，即，∴MN=，CN=，∴ON=OC-CN=3-=，∴M（，）．綜上，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．12．（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）證明見解析；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．【詳解】試題分析：（1）將A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線段BC、CD、BD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可；（3）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解．試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），∴將A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3對(duì)稱軸為直線x=1．假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,①以CD為底邊，則P1D=P1C，設(shè)P1點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1點(diǎn)（x，y）在拋物線上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，(不滿足在對(duì)稱軸右側(cè)應(yīng)舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即點(diǎn)P1坐標(biāo)為（，）．②以CD為一腰，∵點(diǎn)P2在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P2與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P2坐標(biāo)為（2，3）．∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)圖象性質(zhì)；2.等腰三角形性質(zhì)；3.直角三角形的判定.13．(1)(2)①當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，或；②當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為【分析】（1）把點(diǎn)代入解析式，解答即可.（2）①先確定A，B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰三角形的定義去分類解答即可，注意c的正數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；②當(dāng)時(shí)，確定拋物線的解析式，根據(jù)點(diǎn)是該拋物線位于軸上方的一點(diǎn)，構(gòu)造新二次函數(shù)，結(jié)合，利用二次函數(shù)的最值，求的最大值.【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得.（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，解得或，∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為.①∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，分兩種情況：（?。┊?dāng)時(shí)，則，∴，解得或（不合題意，舍去）；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，∴，解得或（不合題意，舍去）；綜上，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，或；②當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，∵點(diǎn)在該拋物線上，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是該拋物線位于軸上方的一點(diǎn)，∴，即，解得，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，等腰三角形的定義，解方程，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.14．(1)；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【分析】（1）將A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式中，利用待定系數(shù)法可求；（2）求出線段的長(zhǎng)，分類討論解答即可；（3）取的中點(diǎn)M，連接交于H，交軸于G，作軸于F，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出，這樣．利用三角形的相似得出．從而得到M的坐標(biāo)；求出直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立成方程組，解方程組可求交點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1