PAGE1思維導(dǎo)圖專題03圖形的變換定義命題證明思維導(dǎo)圖核心考點聚焦平移軸對稱旋轉(zhuǎn)定義命題證明定理一、平移1平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某一方向平行移動一定的距離后得到另一個圖形的平面變換叫作平移。2平移的要素：平移的方向和平移的距離。3平移的性質(zhì)：平移前后的兩個圖形可以完全重合，對應(yīng)線段相等且平行或在同一條直線上，對應(yīng)角相等。平移前后的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線段平行或在同一條直線上且相等。二、軸對稱1軸對稱的概念：一般地，將一個平面圖形沿某條直線折疊后得到另一個圖形的平面變換叫作軸對稱，這條直線叫作對稱軸，此時稱這兩個圖形成軸對稱。2軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形可以完全重合，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角也相等。對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。3線段垂直平分線的概念：垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線。三、旋轉(zhuǎn)1旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個圖形和它所經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角。2中心對稱的概念：一般地，在平面內(nèi)，若一個圖形是由另一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度得到的，則稱這兩個圖形成中心對稱，這個點叫作對稱中心，兩個對稱圖形上的對應(yīng)點叫作對稱點。3中心對稱的性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段平行或在同一條直線上且相等。成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。四、定義1.定義的概念：對一個概念作出的語句叫作這個概念的定義，根據(jù)定義可以準(zhǔn)確地判斷一個對象是否屬于這個概念。2.常見數(shù)學(xué)概念的定義，如：（1）絕對值：數(shù)軸上表示一個數(shù)的點到原點的距離叫作這個數(shù)的絕對值。（2）相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)。（3）余角：如果兩個角的度數(shù)之和等于90°，那么這兩個角互為余角。（4）補角：如果兩個角的度數(shù)之和等于180°，那么這兩個角互為補角。五、命題1.命題的概念：可以判斷的陳述句叫作命題。一個命題要么為真，要么為假，二者必居其一。2.命題的分類：（1）真命題：所作的判斷正確的命題。（2）假命題：所作的判斷錯誤的命題。3.命題的結(jié)構(gòu)：一般由條件和結(jié)論兩部分組成，通常可以改寫為“如果……，那么……”的形式。4.互逆命題：互為逆命題的命題稱為互逆命題。六、證明1.證明的意義：證明是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn)，通過推理和論證來確認(rèn)命題的真假。2.證明的一般步驟：（1）作圖：根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形。（2）觀察：觀察圖形，找出圖形中的已知條件和隱含條件。（3）推理：根據(jù)已知條件和數(shù)學(xué)定理進行推理，得出結(jié)論。3.常見的證明方法：（1）類比法：通過類比已知的事物或命題來推斷新的命題。（2）歸納法：通過觀察一系列特殊事例來推斷出一般結(jié)論。（3）演繹法：從一般原理出發(fā)，推導(dǎo)出特殊結(jié)論。七、重要知識點1.三角形的內(nèi)角和為180°。2.直角三角形的兩個銳角為90°。3.三角形的外角等于其不相鄰的內(nèi)角之和。難點強化一、平移種的陰影部分問題1．如圖，將直角梯形平移得直角梯形，若，，，則圖中陰影部分的面積（

）A．30 B．36 C．60 D．72【答案】B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，，，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得，從而可得四邊形和四邊形都是直角梯形，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積等于直角梯形的面積求解即可得．【詳解】解：由圖可知，在直角梯形中，，由平移的性質(zhì)可知，，，，，∴，∴四邊形和四邊形都是直角梯形，∵，∴，∵，∴圖中陰影部分的面積為，故選：B．2．如圖，直線l上擺放著兩個大小相同的直角三角板和，將三角板沿直線l向左平移到如圖所示的位置，使點E落在上的點處，點P為與的交點．圖中三塊陰影部分的面積之和為6，則一個直角三角板的面積為．【答案】6【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，由平移的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)圖形之間的關(guān)系，結(jié)合三塊陰影部分的面積之和為6，進行求解即可．【詳解】解；由平移的性質(zhì)可得，∴，∴，故答案為：6．3．如圖，在三角形中，，，．將三角形沿向右平移，得到三角形，與交于點，連接．(1)分別求和的度數(shù)；(2)若，，求圖中陰影部分的面積；(3)已知點在三角形約內(nèi)部，三角形平移到三角形后，點的對應(yīng)點為，連接．若三角形的周長為，四邊形的周長為，請直接寫出的長度．【答案】(1)；(2)10(3)6【分析】此題主要考查了圖形的平移變換及其性質(zhì)，熟練掌握圖形的平移變換及其性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）由平移的性質(zhì)得，，，，，則，由此可得的度數(shù)；由得，由此可得的度數(shù)；（2）先根據(jù)，得，再根據(jù)三角形的面積公式可求出圖中陰影部分的面積；（3）依題意得，，即，由此得，再根據(jù)平移的性質(zhì)得，據(jù)此可得的長．【詳解】（1）由平移性質(zhì)得：，，，，，，，，，；（2），，，又，；（3）的周長為，，又四邊形的周長為，，即，，，由平移的性質(zhì)得：，，，即的長度為6．難點強化二、軸對稱中的最短問題1．如圖，河道l的同側(cè)有M，N兩個村莊，計劃鋪設(shè)管道將河水引至M，N兩村，下面四個方案中，管道總長度最短的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點之間線段最短即可得出結(jié)論．【詳解】解：作點M關(guān)于直線l的對稱點，連接交直線l于點Q，則，由兩點之間線段最短可知，此時管道長度最短．故選：B．

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，點，，分別是各邊上的動點，若，，，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了線段最短問題，軸對稱，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．作，交于點E，作點E關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點．將轉(zhuǎn)化為求線段的長度；再利用三角形面積公式求出邊上的高，進而得到的最小值．【詳解】解：作，交于點E，∴為到的垂線段，即高，是的最小值，作點E關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點．∴，，則．當(dāng)M，N與C重合時，，，，路徑∴當(dāng)、N、M、共線時，和最小，即的長度．，∴，即、C、共線，故．面積，又，即，解得．

∴，即的最小值為．故答案為：．3．古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營A，B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．他時常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作B關(guān)于直線l的對稱點，連結(jié)與直線l交于點C，點C就是所求的位置．請你在下列閱讀、應(yīng)用的過程中，完成解答：(1)證明：如圖3，在直線l上另取任一點，連結(jié)，，，∵直線l是點B，的對稱軸，點C，在l上，∴，，∴．在中，∵，∴．∴，即最小．本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（在連接A，兩點的線中，線段最短）．本問題可歸納為求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值的問題的數(shù)學(xué)模型．(2)問題解決如圖，將軍牽馬從軍營P處出發(fā)，到河流飲馬，再到草地吃草，最后回到P處，試分別在邊和上各找一點E、F，使得走過的路程，即的周長最小．（保留畫圖痕跡，輔助線用虛線，最短路徑用實線）【答案】(1)，，(2)見解析【分析】本題主要考查的是對稱軸的性質(zhì)以及兩點之間，線段最短等知識，正確掌握兩點之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)對稱軸的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系進行作答即可；（2）分別過P作和的對稱點，分別為和，然后連接分別交和于一點，即為點E和點F，則有，，那么的周長為，即三點共線，線段最短即可使得走過的路程，即的周長最小．【詳解】（1）解：由題意可知，∵直線l是點B，的對稱軸，點C，在l上，∴，，∴，在中，∵，∴．∴，即最小．（2）解：分別過P作和的對稱點，分別為和，然后連接分別交和于一點，即為點E和點F，如圖所示：∵是點P，的對稱軸，是點P，的對稱軸，所以，，那么的周長為，所以三點共線，即兩點之間，線段最短，那么的周長最小．難點強化三、旋轉(zhuǎn)平行求t問題1．如圖直角△AOB和直角△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=80°，點D在邊OA上，將圖中的△COD繞點O按每秒20°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，在第

秒時，邊CD恰好與邊AB平行．A． B．或 C．或 D．6或15【答案】D【分析】討論：如圖1，△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△C′OD′，C′D′交OB于E，利用平行線的判定，當(dāng)∠OEC′=∠B=40°時，C′D′∥AB，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算出∠C′OC=120°，從而可計算出此時△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)100°得到△C′OD′所需時間；如圖2，△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△C″OD″，C″D″交直線OB于F，利用平行線的判定得當(dāng)∠OFC″=∠B=40°時，C″D″∥AB，根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠C″OC=60°，則△COD繞點O順時針旋300°得到△C″OD″，然后計算此時旋轉(zhuǎn)的時間．【詳解】解：如圖1，△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△C′OD′，C′D′交OB于E，∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=80°，當(dāng)∠OEC′=∠B=40°時，C′D′∥AB，∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=40°+80°=120°，∴△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)100°得到△C′OD′所需時間為=6（秒）；如圖2，△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△C″OD″，C″D″交直線OB于F，則∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D=∠C=80°，當(dāng)∠OFC″=∠B=40°時，C″D″∥AB，∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-40°-80°=60°，而360°-60°=300°，∴△COD繞點O順時針旋280°得到△C″OD″所需時間為=15（秒）；綜上所述，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第6秒或15秒時，邊CD恰好與邊AB平行．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，也考查了平行線的判定．2．將一副直角三角板和如圖放置，此時，，，四點在同一條直線上，點在邊上，其中，，．將圖中的三角板繞點以每秒的速度，按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，記為三角板，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒．若在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的某一邊恰好與所在的直線平行，則的值為【答案】6或9或18【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角度的計算等知識，分三種情況討論：第一種情況當(dāng)時，a為，第二種情況當(dāng)時，a為，第三種情況，當(dāng)時，a為，根據(jù)角度轉(zhuǎn)動速度分別求解t即可．【詳解】解：I．如圖，當(dāng)時，

，，，，，a為（秒），II．如圖，當(dāng)時，

，，a為，（秒），III．如圖，當(dāng)時，

此時與在同一條直線上，a為，（秒），綜上所述：三角板的某一邊恰好與所在的直線平行，t的值為：6或9或18故答案為：6或9或183．如圖所示，將一副三角板中的兩塊直角三角板按圖1放置在兩條平行線，之間，，，，，此時點A與點D重合，點A，C，E三點共線．(1)固定三角形的位置不變，將圖1中的三角形沿方向平移，使得點C正好落在直線上，如圖2所示，此時的度數(shù)為______；(2)在圖2的基礎(chǔ)上，將三角形繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，試判斷此時與的位置關(guān)系，并說明理由；(3)在圖2的基礎(chǔ)上，將三角形繞點C按逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，如圖3所示．若邊與邊相交于點G，我們發(fā)現(xiàn)的值為定值，請求出這個定值；(4)在圖2的基礎(chǔ)上，將三角形繞點C按逆時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，至與直線首次重合時停止運動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t．試探究t為何值時，線段與三角形的一條平行邊，直接寫出符合條件的t的值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)(4)秒或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定綜合，結(jié)合旋轉(zhuǎn)，垂直，角度計算，熟練掌握平行線中的旋轉(zhuǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用平行線的性質(zhì)計算即可；（2）畫出圖形，先判定，再利用，得出；（3）過點作，利用拐點的方法求解即可；（4）分別討論當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時三種情況，利用平行線的性質(zhì)與判定解答即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2），理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)得：，∵，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，過點作，∵，∴，∴，，∴，∴的值為定值，定值為；（4）當(dāng)時，如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)角等于，∵旋轉(zhuǎn)速度是每秒，∴（秒）；當(dāng)時，設(shè)交于，如圖，∵，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)角等于，∵旋轉(zhuǎn)速度是每秒，∴（秒）；當(dāng)時，即時，旋轉(zhuǎn)角等于，又因為最大旋轉(zhuǎn)角為，故不存在；綜上，當(dāng)?shù)闹禐槊牖蛎霑r，線段與三角形的一條邊平行．難點強化四、三角形的三種角平分線1．綜合與實踐(1)如圖1，在中，與的平分線交于點，如果，那么．(2)如圖2，作外角、的平分線交于點，試求出、之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，延長、交于點，在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的4倍，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出，進而求出即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出與，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進行討論：①；②；③；④；分別列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵．∴，∵點P是和的平分線的交點，∴，（2）解：∵外角，的角平分線交于點Q，∴，∴；（3）解：延長至F，∵為的外角的角平分線，∴是的外角的平分線，∴，∵平分，∴，∵，∴，即，又∵，∴，即；∵，∴；如果中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的4倍，那么分四種情況：①，則，；②，則，；③，則，解得；④，則，解得．綜上所述，的度數(shù)是或或或．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進行分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（1）問題引入：如圖①，在中，O是和的平分線的交點，若，則________；如圖②，，，，則________（用含的式子表示）（2）如圖③，，，，請猜想________（用含的式子表示），并說明理由．（3）類比研究：，分別是的外角，的n等分線，它們交于點O，，，，請猜想________．【答案】（1）；（2）（3）【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求得，根據(jù)角平分線的定義可求得，在中利用三角形內(nèi)角和定理可求得；（2）方法同（1）；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得．【詳解】解：（1）∵，,∴，∵點O是和平分線的交點，∴，∵，∴；同法，在中，，故答案為：；；（2）理由如下：在中，；故答案為：；（3）類似（2），可得在中，；故答案為：．3．如圖①，在中，與的平分線相交于點P．(1)若，則的度數(shù)是；(2)如圖②，作外角，的角平分線交于點Q，試探索，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，延長線段，交于點E，在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出的度數(shù)是．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)或或或【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，角平分線定義．（1）根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理得，則，再根據(jù)可得的度數(shù)；（2）由三角形的外角定理及三角形三角形內(nèi)角和定理得，再由角平分線定義得，由此得，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）先求出，根據(jù)得，然后分四種情況討論如下：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，分別列方程計算即可．【詳解】（1）解：在中，，與的平分線相交于點，，，，，，，故答案為：；（2）解：，之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：，，，，點是和的角平分線的交點，，，，故，之間的數(shù)量關(guān)系是：；（3）解：平分，平分，，，，，即，，由（2）可知：，，，如果在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么有以下四種情況：①當(dāng)時，則，，此時，②當(dāng)時，則，，則，此時，③當(dāng)時，則，，此時，④當(dāng)時，則，，，此時，綜上所述，的度數(shù)是或或或，故答案為：或或或．難點強化五、三角形的三種折疊1．把三角形紙片沿折疊．(1)如圖①，當(dāng)點A落在四邊形內(nèi)部時，，，有怎樣的等量關(guān)系？寫出這個關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．(2)如圖②，當(dāng)點A落在四邊形外部時，，，有怎樣的等量關(guān)系？寫出這個關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理翻折的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，根據(jù)翻折以及平角的意義可得，，，，，整理得，；（2）解：，理由如下：如圖：根據(jù)翻折以及平角的意義可得，，，，，整理得，．2．如圖，是一個三角形的紙片，點D，E分別是邊，上的兩點．(1)如圖（1），如果沿直線折疊，且，則與的關(guān)系是．(2)如圖（2），如果沿直線折疊后A落在四邊形內(nèi)部，探究，和的關(guān)系，并說明理由．(3)如果折成圖（3）的形狀，探究，和的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析；(3)，理由見解析【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是，也考查了折疊的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)．（1）先根據(jù)折疊性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)易得；（2）連接，先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，，則，所以；（3）由折疊性質(zhì)得，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得，接著利用平角定理得到，然后整理得到.【詳解】（1）解：，理由：∵沿直線折疊，且，∴A點落在上，如圖（1），∴，∴；故答案為：；（2）解：，理由：連接，如圖，∵，，∴，又∵，∴；（3）解：．理由：如圖（3），由翻折可得：，，，∵，，∴，∴，∴．3．（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個頂點重合于點．這時，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個頂點并不重合于同一點，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______；（4）折疊后如圖，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系：_______；【答案】（1）；（2）成立，詳見解析；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（3）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可；（4）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）由折疊性質(zhì)可知：，，，∴，，，∵∴，∴，故答案為：，（2）由由折疊性質(zhì)可知：，，，∴，，，∵，，，，∴，同理：，，∴，（3）根據(jù)(2)可知：，，如圖3，∵，，∴，∴，故答案為：，（4）根據(jù)（2）（3）可知：，，，∴，∴，故答案為：【點睛】此題考查了翻折、角的計算，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．難點強化六、八字形1．一般地，我們把如圖1這樣的圖形稱為“8字形”，它滿足，請利用以上信息，試求出圖2中的度數(shù)．【答案】【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和公式；連接，首先利用圖1的結(jié)論可得，然后求五邊形的內(nèi)角和即可．【詳解】解：如圖，連接．由題意易知，，．2．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，我們把形如圖1圖形稱之為“8字形”，易知．如圖2，和的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：(1)在圖2中，若，，求∠P的度數(shù)為；(2)在圖2中，若，，試問與、之間的數(shù)量關(guān)系為；(3)如圖3，則的度數(shù)為．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，，兩等式相減得到，即，即可求解；（2）同理（1）得出，從而得出；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得，，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得答案．【詳解】（1）∵和的平分線AP和DP相交于點P，∴，，∵，，∴，即，∵，，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，，∵，，∴，，∴，∴；故答案為：；（3）如圖：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系、角平分線的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是靈活運用三角形的外角性質(zhì)及多邊形內(nèi)角和定理．3．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“字形”，可得結(jié)論：；請說明理由．【簡單應(yīng)用】（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖，分別平分，，若，，求的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖，直線平分的外角，平分的外角，若，，猜想的度數(shù)為：________；【拓展延伸】（4）在圖中，若設(shè)，，，，直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系為：______（用，表示）．【答案】【問題背景】（）理由見解析；【簡單應(yīng)用】（）；【問題探究】（）；【拓展延伸】（）．【分析】【問題背景】（）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；【簡單應(yīng)用】（）由分別平分，，則，，由（）得：，求出即可求解；【問題探究】（）平分的外角，平分的外角，得，，則，，由，，推出，即可解決問題；【拓展延伸】（）由（）可知：，，，則，然后代入求值即可；本題考查了三角形內(nèi)角和，三角形的內(nèi)、外角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點的應(yīng)用．【問題背景】（）證明：在中，，在中，，∵，∴；【簡單應(yīng)用】（）如圖2，∵分別平分，，∴，，由（）得：，得，∴，∵，，∴；【問題探究】（）理由：如圖，∵直線平分的外角，平分的外角，∴，，∴，，∵，∴由（）得：，，∴，∵，，∴，故答案為：；【拓展延伸】（）由（）可知：，，，∴，，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，故答案為：．真題感知1．（2024·江蘇徐州·中考真題）古漢字“雷”的下列四種寫法，可以看作軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（

）A．

B