試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年北京市第一次普通高中學業水平合格性考試數學試卷考生須知1．考生要認真填寫考場號和座位序號．2．本試卷共6頁，分為兩部分：第一部分為選擇題，共54分；第二部分為非選擇題，共46分．3．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．第一部分必須用2B鉛筆作答，第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結束后，考生應將試卷、答題卡放在桌面上，待監考員收回．第一部分(選擇題共54分)一、選擇題共18小題，每小題3分，共54分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知復數，，則（

）A． B． C． D．2．已知，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．下列函數中，在區間上單調遞減的是（

）A． B．C． D．4．下列向量中，與向量共線的是（

）A． B． C． D．5．不等式的解集是（

）A． B．C． D．或6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，角以為頂點.以為始邊，終邊經過點，則角可以是（

）A． B． C． D．8．某農場種植的甲、乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續五年的產量（單位：kg）如下：第1年第2年第3年第4年第5年甲水稻產量900920900850910乙水箱產量890960950850860對于上表數據，下列結論正確的是（

）A．甲水稻產量每年都比乙水稻產量小B．甲水稻產量的中位數為900，乙水稻產量的中位數為860C．甲水稻產量的方差比乙水稻產量的方差小D．甲水稻產量的極差比乙水稻產量的極差大9．已知菱形的邊長為2，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．10．在中，，，，則（

）A． B． C． D．11．已知函數.下列區間中包含的零點的是（

）A． B． C． D．12．（

）A． B． C．2 D．13．若a，b是空間中的兩條直線，則“a，b異面”是“a，b沒有公共點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．某市持續擴大綠色生態空間，打造宜居城市，該市人均公園綠地面積從2020年的增長到2023年的.設年期間該市人均公園綠地面積的年平均增長率為.則（

）A． B．C． D．15．函數的定義域是（

）A． B． C． D．16．已知，且，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．17．若，則（

）A． B．C． D．18．已知集合.若存在的個不同的非空子集，它們的并集是的真子集，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8第二部分(非選擇題共46分)二、填空題共3小題，每小題4分，共12分．19．某校美術社團在校園文化節期間制作了“金面罩”“鍋神獸”“銅太陽神器”3枚三星堆文物圖案印章，并為每位學生隨機選擇1枚蓋章留念，則學生甲得到“金面罩”圖案的概率為；學生乙和學生丙都得到“銅神獸”圖案的概率為.20．如圖，在三棱錐中，，，兩兩互相垂直，，則是三角形.（填“銳角”“直角”或“鈍角”）21．已知函數，.設函數，給出下列三個結論：①在區間上單調遞增；②的最大值為2；③方程有兩個不同的實數解.其中所有正確結論的序號是.三、解答題共4小題，共34分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．22．已知函數.(1)寫出的一個周期；(2)求在區間上的最大值和最小值.23．閱讀下面題目及其解答過程．已知函數為定義在上的奇函數，當時，，（1）求的值；（2）求不等式的解集.解：（1）因為當時，所以①.因為是奇函數，所以②.（2）當時，③，所以恒成立.當時，，所以④.因為是奇函數，所以⑤.所以.由，解得.綜上，不等式的解集為⑥.以上題目的解答過程中，設置了①⑥六個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個符合邏輯推理．請選出符合邏輯推理的選項，并填寫在答題卡的指定位置．(只需填寫“A”或“B”)空格序號選項①A.

B.②A.

B.③A.

B.④A.

B.⑤A.

B.⑥A.

B.24．如圖，在正方體中，點在上.(1)求證：；(2)求證：平面.25．已知集合，其中，若存在的非空子集A，滿足（表示有限集合A中元素的個數），且A中所有元素之積與中所有元素之和相等，則稱為“積和集合”.(1)若，判斷是否為“積和集合”；（結論無需證明）(2)若是“積和集合”，寫出的所有可能取值：(3)若，判斷是否為“積和集合”，并說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據復數加法運算法則求解.【詳解】由，，則，故選：D2．A【分析】根據不等式的性質進行判斷即可.【詳解】因為，且，所以，，故CD錯誤；因為，，所以即恒成立，故A正確；取，，則，但此時，故B未必成立.故選：A3．B【分析】根據基本初等函數的單調性直接得解.【詳解】因為，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上不單調，故選：B4．A【分析】由共線向量的坐標關系逐個判斷即可.【詳解】對A：因為，故與共線；對B：因為，故與不共線；對C：因為，故與不共線；對D：因為，故與不共線.故選：A5．C【分析】根據二次不等式的解法求解.【詳解】由，所以不等式的解集是，故選：C6．A【分析】根據冪函數的單調性比較大小即可.【詳解】由冪函數為上的增函數，且，所以，即，故選：A7．B【分析】根據角終邊上的點確定三角函數值即可得解.【詳解】由角終邊經過點，可知，且為第四象限角，故選：B8．C【分析】根據產量、中位數、方差、極差概念逐項分析即可得解.【詳解】對A，只有第二和第三年甲產量比乙產量小，故A錯誤；對B，甲水稻產量的中位數為900，乙水稻產量的中位數為890，故B錯誤；對C，甲水稻年產量的均值為，甲水稻產量的方差為，乙水稻年產量的均值為，乙水稻產量的方差為，所以甲水稻產量的方差比乙水稻產量的方差小，故C正確；對D，甲水稻產量的極差為70，乙水稻產量的極差為，故D錯誤.故選：C9．B【分析】根據數量積的定義求解.【詳解】.故選：B10．D【分析】由正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，，所以，故選：D11．D【分析】求出函數零點即可得解.【詳解】因為，解得，所以，故選：D12．A【分析】根據對數的運算求解即可.【詳解】.故選：A13．A【分析】由空間中兩直線的位置關系結合充分條件與必要條件的定義即可得解.【詳解】空間中的兩條直線a，b異面，則a，b沒有公共點，反之，空間中的兩條直線a，b沒有公共點，則不一定得到a，b異面，也可能a，b是平行直線，所以“a，b異面”是“a，b沒有公共點”的充分不必要條件.故選：A.14．C【分析】根據年平均增長率的意義列方程即可.【詳解】根據題意列方程：.故選：C15．C【分析】由可求函數的定義域.【詳解】由.所以函數的定義域為：.故選：C16．D【分析】由基本不等式求最值即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時等號成立，故選：D17．B【分析】根據兩角和的正弦公式化簡后，根據正弦值求角即可.【詳解】因為，所以，故選：B18．C【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，則這個集合中所含元素的個數確定的最大值.【詳解】集合的個不同的非空子集，它們的并集是的真子集，那么這個集合中至多含有3個元素，比如1、2、3.那么這個集合可能是：，，，，，，.故的最大值為7.故選：C19．【分析】根據古典概型的概率公式可得空1的答案；根據獨立事件同時發生的概率公式可得空2的答案.【詳解】因為學生甲得到“金面罩”“鍋神獸”“銅太陽神器”圖案的概率相等，所以學生甲得到“金面罩”圖案的概率為：.因為學生乙和學生丙得到“銅神獸”圖案的概率均為，且相互獨立，所以學生乙和學生丙都得到“銅神獸”圖案的概率為：.故答案為：；20．銳角【分析】根據勾股定理可知三角形為等邊三角形得解.【詳解】因為，，兩兩互相垂直，，所以，所以，即是等邊三角形，故答案為：銳角21．①②③【分析】作出函數的草圖，數形結合，判斷①②③的準確性即可.【詳解】根據題意，作出函數的草圖如下：因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以方程只有一解，為，且.所以函數的圖象，如圖所示，所以在區間上單調遞增，故①正確；函數的最大值是時取得的，為，故②正確；因為函數的圖象與直線的交點有兩個，所以方程有兩個不同的根，故③正確.故答案為：①②③22．(1)(答案不唯一)(2)，.【分析】（1）利用同角三角函數的基本關系化簡函數解析式即可得解；（2）根據正弦函數的單調性可求最值.【詳解】（1）因為，所以為函數的一個周期.（2）當時，，即，所以在區間上的最大值和最小值分別為，.23．①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A【分析】根據奇函數的定義與性質解奇函數的函數值、奇函數的解析式及解指數不等式即可.【詳解】（1）∵當時，，∴，故①選A；∵函數為定義在上的奇函數，∴，故②選A；（2）由指數函數的性質可知：當時，，故③選B；∵當時，，所以，故④選A；∵函數為定義在上的奇函數，∴，故⑤選B；由題中過程可知：不等式的解集為，故⑥選A.24．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據平面，可知.（2）根據平面平面，可證平面.【詳解】（1）因為為正方體，所以平面，又平面，所以.（2）因為為正方體，所以平面平面，又平面，所以平面.25．(1)是；(2)(3)不是，理由見解析.【分析】（1）由題意可完成判斷；（2）由題可得，然后分類討論的可能情況，結合題意可得答案；（3）設集合A中全體元素乘積為，全體元素和為，由題可得，，.然后分別判斷是否存在為2,3,4,5,6,7,8,9的集合A，可完成判斷.【詳解】（1）注意到，則取，滿足題意.則是“積和集合”；（2）由題可得，若，則，符合；若，則，不滿足集合互異性，排除；若，則，符合；若，則，符合；若，則，不為整數，不滿足題意，排除；若，則，不為整數，不滿足題意，排除；綜上，的所