試題試題2024北京十五中高三10月月考數學2024.10本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知，則的大小關系為A． B．C． D．3．下列函數中，既是偶函數又在區間(0,+∞)上單調遞增的是

A． B．C． D．4．已知等差數列的前項和為，若，則A．54 B．63C．72 D．1355．若函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，若函數在區間上單調遞增，則的最大值為A． B． C． D．6．設且,則“”是“”成立的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．若函數的部分圖象如圖所示，則的值是A．B．C．D．8．在中，分別是角的對應邊，若，則下列式子正確的是A． B．C． D．9．已知函數當時，方程的根的個數為A．0 B．1 C．2 D．310．數列各項均為實數，對任意滿足，且，則下列選項中不可能的是A．， B．，C．， D．，第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．函數的定義域為.12．在平面直角坐標系中，角和角均以為始邊，它們的終邊關于軸對稱.若，則=__________．13．已知數列的前項和為，則．14．已知函數為在上的偶函數，且滿足條件：①在上單調遞減；②，則關于的不等式的解集是．15．已知函數，對于函數有下述四個結論：①函數在其定義域上為增函數；

②有且僅有一個零點；③對于任意的，都有成立；④若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則必是的零點.其中所有正確的結論序號是三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．(本小題13分)已知函數，（Ⅰ）求實數的值;（Ⅱ）求函數的最小正周期及單調增區間.17．(本小題13分)已知函數．（Ⅰ）求函數的極值；（Ⅱ）若對都有恒成立，求實數的取值范圍．18．(本小題14分)在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）再從下列三個條件中，選擇兩個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.條件①；條件②；條件③AB邊上的高為.19．(本小題15分)為研究某地區2021屆大學畢業生畢業三個月后的畢業去向，某調查公司從該地區2021屆大學畢業生中隨機選取了1000人作為樣本進行調查，結果如下：畢業去向繼續學習深造單位就業自主創業自由職業慢就業人數2005601412898假設該地區2021屆大學畢業生選擇的畢業去向相互獨立．（Ⅰ）若該地區一所高校2021屆大學畢業生的人數為2500，試根據樣本估計該校2021屆大學畢業生選擇“單位就業”的人數；（Ⅱ）從該地區2021屆大學畢業生中隨機選取3人，記隨機變量為這3人中選擇“繼續學習深造”的人數．以樣本的頻率估計概率，求的分布列和數學期望；（Ⅲ）該公司在半年后對樣本中的畢業生進行再調查，發現僅有選擇“慢就業”的畢業生中的人選擇了上表中其他的畢業去向，記此時表中五種畢業去向對應人數的方差為．當為何值時，最小．（結論不要求證明）20．(本小題15分)已知函數.（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求的極值和單調區間；（Ⅲ）若在上不是單調函數，且在上恒成立，求實數的取值范圍．21．(本小題15分)若有窮數列：，，…，，滿足，則稱數列為數列．（Ⅰ）判斷下列數列是否為數列，并說明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1（Ⅱ）已知數列：，，…，，其中，，求的最小值．（Ⅲ）已知數列是1，2，…，的一個排列．若，求的所有取值．

參考答案題號12345678910答案BACBACADDC8．D解析：由題意可知，所以由余弦定理可得，所以，所以,即,9．D解析：畫出函數的圖像，有圖可知方程的根的個數為3個.故選C.10．C解析：對任意滿足，.對于A，若，，則，故，故或，若，則，故，此時，，，當時，；當時，；當時，，故A成立.對于B，若，，則，故，又，，故或，若，則無解；若，則，故或，此時，，，滿足；或，，，滿足；故B成立.對于C，若，，則，故，且，故，又，故或，若，則無解；若，則也無解，故C錯誤.對于D，若，，則，故，又，故，此時，滿足故選：B11．12．13．36解析：由題意可得為奇數時，，兩式相減得；為偶數時，，兩式相加得，故.14．解析：函數為在上的偶函數，在上單調遞減，故在上單調遞增；，故.畫出函數簡圖，如圖所示：，故，故，解得.故答案為：15．③④解析：對于①，的定義域為，因為，，①錯誤；對于②，因為，所以在和上單調遞增，又，，，，所以在區間和上都存在零點，又在和上單調遞增，即在區間和上各有一個零點，②錯誤；對于③，因為，所以，所以，即，所以③正確；對于④，因為，所以曲線在點處的切線斜率為，得切線方程為，即，設與相切于點，因為，所以切線斜率為，得切線方程為，即，所以，即，消去得，整理得，即是的零點，④正確.16．解：（Ⅰ）由可求出；（2）先化簡得，由三角函數的圖象和性質可求出函數的周期及單調遞增區間．試題解析：（1）由知∴∴（Ⅱ）解：∵∴∴，∴（）∴（）∴函數的最小正周期為，單調增區間為（）17．解：（Ⅰ）由，得.

令得或.當變化時，在各區間上的正負，以及的單調性如下表所示：＋0－0＋↗極大↘極小↗所以當時取極大值；當時取極小值.（Ⅱ）由（1）可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，則在上的最小值為.對都有恒成立，所以.18．解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理得，由于，則，由于，故；（Ⅱ）若選①②，存在且唯一，解答如下：由于，，又，故，則；又，故，故；若選①③，存在且唯一，解答如下：由于，，AB邊上的高h為，故則，則；又，故，故；若選②③，不唯一，解答如下：，AB邊上的高h為，故，或，此時有兩解，不唯一，不合題意.19．解：（Ⅰ）由題意得，該校2021屆大學畢業生選擇“單位就業”的人數為．（Ⅱ）由題意得，樣本中名畢業生選擇“繼續學習深造”的頻率為．用頻率估計概率，從該地區2021屆大學畢業生中隨機選取1名學生，估計該生選擇“繼續學習深造”的概率為．隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3．所以，，，．所以的分布列為0123．（Ⅲ）易知五種畢業去向的人數的平均數為200，要使方差最小，則數據波動性越小，故當自主創業和慢就業人數相等時方差最小，所以．20．解：（Ⅰ）當時，函數，．

所以，．

所以曲線在點處的切線方程．（Ⅱ）函數定義域．

求導得.

①當時，因為，所以．故的單調遞減區間是，此時無極值.

②當時，變化時，變化如下表：極小值所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是．

此時函數的極小值是，無極大值．（Ⅲ）因為在不是單調函數，由第（2）可知此時，且，1極小值又因為在上恒成立，只需即可，所以，解得的取值范圍是21．解：（Ⅰ）①因為，所以該數列不是數列；②因為，所以該數列是數列．（Ⅱ）由，則，得或，恒成立，得或，同理得故.（Ⅲ）當時，因為，所以，不符合題意；當時，數列為3，2，4，1．此時，符合題意；當時，數列為2，3，4，5，1．此時，符合題意；下證當時，不存