試題試題2024北京四中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)（試卷滿分150分，考試時間為120分鐘）一、選擇題（每小題4分，共40分）1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.三棱柱中，面，則下列兩條直線中，不互相垂直的是（）A.和 B.和 C.和 D.和5.設(shè)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且，，如果（為實數(shù)），那么的值為A. B.0 C. D.16.若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)的最小正周期為4π，則（

）A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱 B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)f（x）圖象上的所有點向右平移個單位長度后，所得的圖象關(guān)于原點對稱 D.函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增8.設(shè)拋物線的焦點為，準線為為拋物線上一點，為垂足．若直線的斜率為，則A. B. C. D.9.已知函數(shù)，當時，取得最小值，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.10.數(shù)列表示第n天午時某種細菌的數(shù)量．細菌在理想條件下第n天的日增長率．當這種細菌在實際條件下生長時，其日增長率會發(fā)生變化．下圖描述了細菌在理想和實際兩種狀態(tài)下細菌數(shù)量Q隨時間的變化規(guī)律．那么，對這種細菌在實際條件下日增長率的規(guī)律描述正確的是（）A. B.C. D.二、填空題（每小題5分，共25分）11.在的展開式中，常數(shù)項為___________.(用數(shù)字作答)12.在數(shù)列中，，，則______．13.雙曲線的漸近線為等邊三角形的邊，所在直線，直線過雙曲線的焦點，且，則______．14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．①函數(shù)的最小正周期為________；②將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是________．15.已知曲線的方程是，給出下列四個結(jié)論：①曲線與兩坐標軸有公共點；②曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；③若點，在曲線上，則的最大值是；④曲線圍成圖形的面積大小在區(qū)間內(nèi)．所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題（共85分）16.在中，．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角的大小；（2）求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，不給分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．17.如圖所示的多面體中，面是邊長為的正方形，平面平面，，，，分別為棱，，的中點．（1）求證：平面；（2）已知二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．18.2020年5月1日起，北京市實行生活垃圾分類，分類標準為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，降低造紙的污染排放，節(jié)省造紙能源消耗．某環(huán)保小組調(diào)查了北京市某垃圾處理場2020年6月至12月生活垃圾回收情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的回收量（單位：噸）的折線圖如下圖：（1）從2020年6月至12月中隨機選取1個月，求該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸的概率；（2）從2020年7月至12月中隨機選取4個月，記為這幾個月中回收廢紙再造好紙超過3.0噸的月份個數(shù)．求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)2021年1月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量為噸．當為何值時，自2020年6月至2021年1月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需寫出結(jié)論，不需證明）19.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若和有相同的最小值，求a的值．20.已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，與平行的直線交橢圓于，兩點，直線，分別于軸正半軸交于，兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.21.若無窮數(shù)列的各項均為整數(shù)．且對于，，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì)P．（1）判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．（2）若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無限集；（3）若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，求數(shù)列的通項公式．

參考答案一、選擇題（每小題4分，共40分）1.【答案】B【分析】求解一元二次不等式從而求解集合，再根據(jù)并集的定義求解.【詳解】由，得，結(jié)合，可知.故選：B.2.【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可化簡復(fù)數(shù)，進而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】,所以，故對應(yīng)的點為，位于第三象限，故選：C3.【答案】A【詳解】試題分析：因為，所以“”是“”的充分不必要條件；故選A．考點：1．二倍角公式；2．充分條件和必要條件的判定．4.【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及判定即可得到線線垂直，由選項即可逐一求解.【詳解】對于A，因為平面，平面，所以；對于B，與不一定垂直；對于C，因為，，且，平面,所以平面，平面,所以；對于D，因為平面，，所以平面，平面,所以，又，且，平面,所以平面，又平面，所以C.故選：B．5.【答案】C【詳解】由題意得，如圖所示,所以，所以，故選C.6.【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.7.【答案】C【詳解】分析：函數(shù)的最小正周期為4π，求出，可得的解析式，對各選項進行判斷即可.詳解：函數(shù)的最小正周期為4π，，，，由對稱中心橫坐標方程：，可得，A不正確；由對稱軸方程：，可得，B不正確；函數(shù)f（x）圖象上的所有點向右平移個單位，可得：，圖象關(guān)于原點對稱，C正確；令，可得：，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上不是單調(diào)遞增，D不正確；故選C.點睛：本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，注意圖象變換時的伸縮、平移總是針對自變量x而言，而不是看角ωx＋φ的變化．8.【答案】C【分析】寫出直線AF的方程，求得A點坐標，即可求得P點坐標，利用拋物線定義即可求得答案.【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點F(2,0)，準線l方程為，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由,可得A點坐標為，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點縱坐標為,代入拋物線方程,得P點坐標為，∴，故選:C9.【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及分段函數(shù)的最值即可得求解．【詳解】當時，單調(diào)遞增，則；當時，開口向上，且對稱軸為，又當時，取得最小值，所以，解得，所以m的取值范圍為．故選：B．10.【答案】B【分析】根據(jù)散點圖的規(guī)律即可判斷【詳解】由圖象可知，第一天到第五天，實際情況與理想情況重合，為定值，而實際情況在第六天以后日增長率逐漸降低，且逐漸趨于0故選：B二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】40【分析】先求出展開式的通項，令即得解.【詳解】設(shè)展開式的通項為，令，所以常數(shù)項為.故答案為：40【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12.【答案】【分析】根據(jù)遞推公式，逐個求解數(shù)列的每一項，總結(jié)其規(guī)律，進而求和，可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由，，得，又，得，；，得，，所以中所有的奇數(shù)項均為，所有的偶數(shù)項均為，所以．故答案為：．13.【答案】【分析】結(jié)合已知條件和雙曲線的對稱性求出與之間的關(guān)系，然后利用平面幾何求出，再結(jié)合即可求解.【詳解】由題意和雙曲線的對稱性可知，，又因為雙曲線的漸近線方程為，從而，即，又由等邊三角形性質(zhì)可知，，又由可知，.故答案為：．14.【答案】①.②.【分析】空1：可由圖像直接讀出半個周期，進而可得周期大小；空2：通過周期大小和函數(shù)上的點，可求出的解析式，再平移得到，然后根據(jù)奇偶性求參即可.【詳解】空1：由圖可知,即空2：,即，則，又過點，所以，即，又在原圖增區(qū)間上，所以可取，所以，向右平移個單位可得，又為奇函數(shù)，所以，即,又，所以.故答案為：；.15.【答案】②③【分析】根據(jù)題意，對絕對值里面的正負分類討論求出方程，作出圖象，由此分析個結(jié)論，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，曲線的方程是，必有且，當，時，方程為，當，時，方程為，當，時，方程為，當，時，方程為，作出圖象：依次分析個結(jié)論：對于①，由于，，曲線與坐標軸沒有交點，故①錯誤；對于②，由圖可知，曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故②正確；對于③，若點，在曲線上，則當且僅當、與圓弧所在的圓心共線時取得最大值，故的最大值是圓心距加兩個半徑，為，故③正確；對于④，當，時，方程為與坐標軸的交點，，則第一象限面積為，故總的面積大于，故④錯誤．故答案為：．三、解答題（共85分）16.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡已知條件，選擇條件①、條件②、條件③后，根據(jù)所選條件進行分析，由此求得正確答案.（2）利用三角形的面積公式求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，由正弦定理得.選①，，則，三角形不存在，不符合題意.選②，，則，，則為銳角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.選③，，由正弦定理得，由于，所以，則，則為銳角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.【小問2詳解】由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取中點，連接，，通過證明然后證明平面．（2）以為原點，射線，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標系．設(shè)，求出相關(guān)點的坐標，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，求出，推出，然后求解幾何體的體積．【小問1詳解】取中點，連接，，因為是正方形，所以，．因為，分別是，中點，所以，．又因為且，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面，平面所以平面

【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．如圖，以為原點，射線，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標系．設(shè)，則

，，．因為底面，所以平面的一個法向量為．設(shè)平面的一個法向量為，，，則，即，令，得，所以

由已知，二面角的余弦值為，所以，解得，所以

因為是四棱錐的高，正方形面積為，所以其體積為．18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）4.4【分析】（1）記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸”為事件，推出只有8月份的可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸，然后求解概率．（2）的所有可能取值為1，2，3，利用超幾何概率公式求出概率得到分布列，然后求解期望即可．（3）根據(jù)方差的計算公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最小值．【小問1詳解】記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸”為事件由題意，只有8月份的可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸所以【小問2詳解】因為回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙所以7月至12月回收的廢紙可再造好紙超過3.0噸的月份有：7月、8月、10月，共3個月．的所有可能取值為1，2，3．，，所以的分布列為：012【小問3詳解】，當添加的新數(shù)等于原幾個數(shù)的平均值時，方差最小．理由如下：由于2020年6月至2020年12月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量分別為，故其平均數(shù)為，2020年6月至2021年1月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量方差為，其中，，為2020年6月至2020年12月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量）由于為定值，所以只需要取最小即可，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當，取最小，所以當添加的新數(shù)等于原幾個數(shù)的平均值時，方差最小．19.【答案】（1）（2）答案見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)題意，分和兩種情況討論求解即可；（3）結(jié)合（2）得，求得，進而構(gòu)造函數(shù)，研究其零點即可得答案.【小問1詳解】解：因為，，所以，所以，，所以，曲線在點處的切線方程，即．【小問2詳解】解：函數(shù)的定義域為，所以，，所以，當時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，綜上，當時，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問3詳解】解：由（2）知，當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，因為，得，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，，因為和有相同的最小值，所以，即，令，，令，，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即，所以，在上單調(diào)遞增，因為，所以，等價于20.【答案】（1）（2）定值為4，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出式子求出即可得出；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，表示出直線方程可得出點坐標，同理得出坐標，即可求解.【小問1詳解】由題意，解得，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】因為直線的斜率為，則設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，則，解得或，，直線的方程為，令，則，同理可得，則.所以為定值.21.【答案】（1）數(shù)列不滿足性質(zhì)P；數(shù)列滿足性質(zhì)P，理由見解析（2）證明見解析（3）或．【分析】（1）根據(jù)題意分析判斷；（2）根據(jù)題意先證為數(shù)列中的項，再利用反證法證明集合為無限