試題試題2024北京五十五中高三10月月考數(shù)學(xué)本試卷共4頁，共150分，調(diào)研時長120分鐘第一部分（選擇題共40分）一.選擇題.共10小題，每小題4分，共40分.每題4個選項中只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{0，1，2}，則A∩B等于（）A.{0} B.{1} C.{2} D.{1，2}2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.3.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊過點，將的終邊繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)與角的終邊重合，則（）A. B. C. D.5.數(shù)列的前項和為，且，，則等于A. B. C. D.6.如圖，已知等腰中，，，點P是邊上的動點，則（）A.為定值10 B.為定值6 C.有最大值為10 D.有最小值為67.如圖，邊長為1的正方體中，為邊任意一點，將正方體挖掉三棱錐后，余下部分的體積為（）A. B. C. D.8.圓C：上的動點P到直線l：的距離的最大值是（）A. B. C. D.9.已知為非零不共線向量，設(shè)條件，條件對一切，不等式恒成立，則是的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.如圖，在棱長為1的正方體中，Q是棱上的動點。則下列說法正確的是（）①存在點Q，使得；②存在點Q，使得；③對于任意點Q，Q到的距離的取值范圍為；④對于任意點Q，都是鈍角三角形A.①②③ B.①④ C.②③ D.②④第二部分（非選擇題共110分）二.填空題：共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是________．12.已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則C的離心率為________.13.若函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是________，14.已知函數(shù)，若，則的一個取值為__________.15.設(shè)數(shù)列an的前項和為，若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，下列正確的命題是________.①an可能為等差數(shù)列；②an可能為等比數(shù)列：③均能寫成an的兩項之差；④對任意，，總存在，使得.三.解答題：共6小題，共85分.16.在中，為銳角，且.（1）求的值；（2）若，，求和面積.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，M為線段的動點.（1）若直線平面，求證：為的中點：（2）求證：平面平面（3）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.18.某技術(shù)職能部門在東區(qū)?西區(qū)開展了技能測試，其中東區(qū)?西區(qū)的各年齡段參加測試的人數(shù)?技能成績的優(yōu)秀比例如下：年齡段東區(qū)西區(qū)參加測試人數(shù)優(yōu)秀比例參加測試人數(shù)優(yōu)秀比例6010075100956012040（1）該技術(shù)職能部門從年齡段在的參加測試人員中隨機選擇1人，求此人技能優(yōu)秀的概率；（2）在年齡段在的參加測恜人員中，從東區(qū)?西區(qū)各隨機抽取1人，技能優(yōu)秀人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該技術(shù)職能部門從東區(qū)?西區(qū)參加測試的人員中各隨機抽取10人，記分別為東區(qū)?西區(qū)所選出10人中的技能優(yōu)秀人數(shù)，試比較數(shù)學(xué)期望的大小（直接寫出結(jié)果即可）.19.已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，一個焦點為，P是橢圓上一動點（與左、右頂點不重合）.已知的面積的最大值為2.（1）求橢圓C的方程；（2）過點且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓長軸的兩個端點分別為，，與相交于點Q，求證：點Q在某條定直線上.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的極值；（3）當(dāng)時，判斷零點個數(shù)，并說明理由．21.已知行列的數(shù)表中，對任意的，，都有.若當(dāng)時，總有，則稱數(shù)表A為典型表，此時記.（1）若數(shù)表，，請直接寫出B，C是否是典型表；（2）當(dāng)時，是否存在典型表A使得，若存在，請寫出一個A；若不存在，請說明理由；（3）求的最小值.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一.選擇題.共10小題，每小題4分，共40分.每題4個選項中只有一個選項是符合題目要求的.1.【答案】C【分析】求解集合，再求即可【詳解】A＝{x|x≥2}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝{2}．故選：C2.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，則.故選：D.3.【答案】D【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可.【詳解】對于，由二項展開式的通項得，令解得，則所求系數(shù)為，故選：D4.【答案】A【分析】由終邊上的點知，，進(jìn)而可得，即可求.【詳解】由角的終邊過點，知：，，∴，故.故選：A.5.【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得到數(shù)列是等比數(shù)列，并且得到首項和公比，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求得.【詳解】由可知數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，首項為，故.所以選D.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的定義，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.6.【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積及加減法運算結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因為，，所以，又，，所以，故選：A.7.【答案】D【分析】利用等體積法結(jié)合三棱錐與正方體的體積公式計算即可.【詳解】易知平面，則P到平面的距離始終為1，由題意可知,又易知正方體的體積為1，所以余下部分的體積為.故選：D8.【答案】B【分析】得直線的定點坐標(biāo)以及圓心的坐標(biāo)與圓的半徑，由題意，當(dāng)圓上的動點P到直線的距離最大時，即為圓上的動點P到直線所過定點的距離最大，求解圓心到定點距離，再利用圓上任意點到定點距離最大值的求解方法計算.【詳解】直線所過的定點坐標(biāo)為，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)圓上的動點P到直線的距離最大時，即為圓上的動點P到定點的距離最大，已知圓心到定點的距離為，所以距離的最大值為.故選：B9.【答案】C【分析】條件M：條件N：對一切，不等式成立，化為：進(jìn)而判斷出結(jié)論．【詳解】條件M：．

條件N：對一切，不等式成立，化為：．

因為，，，即，可知：由M推出N，反之也成立．

故選：C．【點睛】本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10.【答案】C【分析】根據(jù)題意，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題知，在正方體中，是棱上的動點，建立以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

作為，C1,1,0，，設(shè)，其中，所以，，當(dāng)，即，所以，顯然方程組無解，所以不存在使得，即不存在點，使得，故①錯誤；當(dāng)時，解得，即存在點Q，使得，故②正確；因為，其中，所以點到的距離為，故③正確；因為，，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故④錯誤．故選：C.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.第二部分（非選擇題共110分）二.填空題：共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】由根號與對數(shù)滿足的限制條件可求得的范圍.【詳解】由題意，，得.故答案為：.12.【答案】【分析】利用雙曲線的對稱性得出一條漸近線的傾斜角，從而判定關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性可知該雙曲線的一條漸近線傾斜角為，所以，則其離心率為.故答案為：13.【答案】【分析】作出在的圖象，通過分析的位置可確定何時有最小值，從而確定的范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)圖象可得在上的圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時，，此時有最小值；當(dāng)時，fx>f實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.【答案】（答案不唯一）【分析】利用和角的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，求出即可求解.【詳解】，即，解得，，，.的一個取值為.故答案為：（答案不唯一）.15.【答案】①③④【分析】對于①，取，可知①正確；對于②，先判定當(dāng)時，顯然不滿足要求；當(dāng)時，由題意可得：，，作商可得，分和，驗證其正誤；對于③，根據(jù)，可知③正確；對于④取數(shù)列，顯然不存在，使得，故④不正確.【詳解】對于①，取，則，顯然存在滿足，使，所以①正確；對于②，若數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，顯然不滿足要求，考慮的情況，依題意有，即，，兩式相除，得到，若，則取為奇數(shù)，那么，所以，所以，當(dāng)足夠大時，顯然不成立；若，則，因為，所以當(dāng)足夠大時，可以使，故也不成立.從而知②錯誤；對于選項③，取，則，所以，當(dāng)時，，故③正確；對于選項④，取數(shù)列，顯然不存在，使得，故④錯誤，綜上正確的有：①③④.故答案為：①③④【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于第②選項，根據(jù)條件得到，從而得到，再對進(jìn)行討論，從而解決問題.三.解答題：共6小題，共85分.16.【答案】（1）（2）；【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦的倍角公式，得到，求得，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解；（2）由題意，求得，根據(jù)正弦定理求得，再由兩角和的正弦公式，求得的值，集合正弦定理和面積公式，即可求解.【小問1詳解】解：因為，可得，又因為為銳角，可得，所以，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，，因為，可得，又由正弦定理，可得，又因為，則，所以的面積為.17.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）連接，交于點，連接，由直線平面，證得，結(jié)合為的中點，即可證得為的中點；（2）由四邊形為正方形，可得，再由平面，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可證得平面平面；（3）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，交于點，連接，因為直線平面，且平面平面，平面，所以，又因為四邊形為正方形，所以點為的中點，所以為的中點.【小問2詳解】證明：因為四邊形為正方形，可得，又因為平面，且平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問3詳解】解：因為四邊形為正方形，且平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，可得，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，連接，由四邊形為正方形，可得，因為平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，所以向量為平面的一個法向量，則，解得或（舍），所以.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）分別求出該技術(shù)職能部門年齡段在的總?cè)藬?shù)和優(yōu)秀人數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解；（2）寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（3）分別求出兩個區(qū)的優(yōu)秀率，根據(jù)題意可得隨機變量都服從二項分布，再根據(jù)二項分布的期望公式即可得出結(jié)論.【小問1詳解】該技術(shù)職能部門年齡段在的人數(shù)為人，其中優(yōu)秀的人數(shù)為人，則所求概率為；【小問2詳解】年齡段在東區(qū)有人，優(yōu)秀人數(shù)為人，則隨機抽取一人，為優(yōu)秀的概率為，年齡段在西區(qū)有人，優(yōu)秀人數(shù)為人，則隨機抽取一人，為優(yōu)秀的概率為，隨機變量可取，則，，，故分布列為；【小問3詳解】東區(qū)總?cè)藬?shù)為，其中優(yōu)秀人數(shù)為，則東區(qū)的優(yōu)秀率為，西區(qū)總?cè)藬?shù)為，其中優(yōu)秀人數(shù)為，則西區(qū)的優(yōu)秀率為，該技術(shù)職能部門從東區(qū)?西區(qū)參加測試的人員中各隨機抽取10人，則，所以，所以.19.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)l方程為，聯(lián)立，設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，利用韋達(dá)定理求出，可表示出【小問1詳解】由題意可得橢圓的半焦距，，所以，所以，所以橢圓C的方程為；【小問2詳解】不妨設(shè)，，l的方程為，聯(lián)立，得，Δ=4設(shè)Mx1,y1故，，又的方程為y=y1x1+2x+2聯(lián)立兩直線方程得，即，因為，所以，整理得，故點Q在定直線上.20.【答案】（1）（2），無極小值（3）當(dāng)時有一個零點，當(dāng)時無零點【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；（3）依題意可得，令，則判斷的零點個數(shù)，即判斷的零點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，求出，再令，，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出，從而得解.【小問1詳解】當(dāng)時，則，，所以，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】函數(shù)的定義域為，且，令，則，因為，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.【小問3詳解】令，即，因為，所以，令，所以判斷的零點個數(shù)，即判斷的零點個數(shù)，又，，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令，，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，