試題試題2024北京一零一中高三（上）統(tǒng)考三數(shù)學班級：______學號：______姓名：______成績：______一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知命題，則為（）A. B.C. D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調遞增的是（）A. B. C. D.3.不等式的解集是（）A. B. C. D.4.在中，若，則（）A. B. C. D.5.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第三天走的路程為（）A.12里 B.24里 C.48里 D.96里6.十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個相同的直三棱枓交疊而成的幾何體（圖2）.這兩個直三棱柱有一個公共側面.在底面BCE中，若，則該幾何體的體積為（）A. B. C.27 D.7.已知，若點P滿足，則點P到直線的距離的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)，“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件：9.已知雙曲線的右焦點為F，c是雙曲線C的半焦距，點A是圓上一點，線段FA與雙曲線C的右支交于點B.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.10.函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，且它的最小正周期是T，已知，．給出下列四個判斷：（1）對于給定的正整數(shù)n，存在，使得成立；（2）當時，對于給定的正整數(shù)n，存在：，使得成立；（3）當時，函數(shù)既有對稱軸又有對稱中心；（4）當時，的值只有0或．其中正確判斷的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題共5小題.11.若復數(shù)滿足.則在復平面內(nèi)，對應點的坐標是________.12.若展開式的二項式系數(shù)和為32，則展開式中的系數(shù)為______．13.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為5%，第2，3臺加工的次品率均為4%，加工出來的零件混放在一起；已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%．現(xiàn)任取一個零件，則該零件是次品的概率為___________．14.已知點在圓上運動，且，若點的坐標為，則的取值范圍是__________.15.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點（含端點），，設．給出下列四個結論：（1）平面平面；（2）存在，，使直線所成的角為；（3）存在唯一的點，使三棱錐的體積為；（4）二面角正切值的取值范圍是．其中所有正確結論的序號是_____．三、解答題共6小題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)．在中，，且．（1）求的大小；（2）若，且的面積為，求的周長．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，為棱的中點．（1）求證：平面；（2）若，再從條件①?條件②?條件③中選擇若干個作為已知，使四棱錐唯一確定，并求：（i）直線與平面所成角的正弦值；（ii）點到平面的距離．條件①：二面角大小為；條件②：條件③：．18.某學校有初中部和高中部兩個學部，其中初中部有1800名學生．為了解全校學生兩個月以來的課外閱讀時間，學校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學生進行問卷調查，將樣本中的“初中學生”和“高中學生”按學生的課外閱讀時間（單位：小時）各分為5組：，得到初中生組的頻率分布直方圖（圖1）和高中生組的頻數(shù)分布表（表1）．表1高中生組分組區(qū)間頻數(shù)21014122（1）求高中部學生人數(shù)并估計全校學生中課外閱讀時間在小時內(nèi)的總人數(shù)；（2）從課外閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，記為3人中初中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該校高中部抽取10名學生進行調查，其中有k名學生的閱讀時間在的概率為，請直接寫出k為何值時取得最大值．（結論不要求證明）19.已知橢圓短軸長為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，直線是圓的一條切線，且直線與橢圓交于兩點，若平行四邊形的頂點恰好在橢圓上，求平行四邊形的面積.20.已知函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間；（2）若，求證：函數(shù)只有一個零點，且；（3）當時，記函數(shù)的零點為，若對任意且，都有成立，求實數(shù)m的最大值．（本題可參考數(shù)據(jù)：）21.已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合．若存在，使得，則稱為可表數(shù)，稱集合為可表集．（1）若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說明理由；（2）若，證明：；（3）設，若，求的最小值．

參考答案一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定的知識來確定正確答案.【詳解】原命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，注意到要否定結論而不是否定條件，所以命題的否定為.故選：C2.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，的定義域是，所以沒有奇偶性，故A錯誤；對于B，定義域為，關于原點對稱，因為，所以fx=1x為奇函數(shù)，且在區(qū)間對于C，定義域為，所以在區(qū)間0,+∞上不具備單調性，故C錯誤；對于D，因為，且定義域為，所以是奇函數(shù)，又時，在上單調遞增，故D正確.故選：D.3.【答案】A【分析】分類討論去絕對值，解分式不等式即可取得結果.【詳解】根據(jù)題意可知若，可得恒成立，不合題意；因此符合題意，即，解得；可得該不等式的解集是.故選：A4.【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系式、正弦定理來求得正確答案.【詳解】由于，所以為鈍角，所以，由正弦定理得.故選：D5.【答案】C【分析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及通項公式求解即可.【詳解】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，設這個數(shù)列為，前項和為，則，解得，所以，即該人第三天走的路程為48里.故選：C.6.【答案】C【分析】根據(jù)棱柱以及棱錐的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知該幾何體可由直三棱柱，以及兩個三棱錐,,由可得，由題意可知底面為正方形，故,故,,故幾何體的體積為，故選：C7.【答案】C【分析】先確定的軌跡為以線段為直線的圓以及直線過的定點，再根據(jù)圓的性質特點求最值．【詳解】因為，所以點的軌跡為以線段為直線的圓，因為，所以圓心為，半徑為1，又直線，其過定點，故點到直線的距離的最大值為．故選：C．8.【答案】B【分析】以為整體，結合正弦函數(shù)對稱性解得，進而根據(jù)包含關系分析充分、必要條件.【詳解】若存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，因為，且，則，則，解得，又因為是真子集，所以“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.9.【答案】A【分析】先根據(jù)條件求得，然后解直角三角形即可得答案.【詳解】設雙曲線左焦點為，如圖：，可得，由雙曲線的定義字，在中，，在中，即，可得.故選：A.10.【答案】C【分析】對于（4），當時，，，求出的值域為，進而得到，即可判斷；對于（3），由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當時，，，推出關于軸對稱，結合為奇函數(shù)，得到關于對稱，同理可得也滿足要求，即可判斷；對于（1），推出的圖象關于點對稱，的圖象關于直線對稱，故，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，即可判斷；對于（2），先得到函數(shù)的圖象關于軸對稱，在（1）基礎上，得到時，，此時，即可判斷.【詳解】對于（4），當時，，，當時，，當時，，故時，的值域為，又為奇函數(shù)，故當時，的值域為，故，為平移得到，故的最小正周期也為，故函數(shù)的最小正周期為，故函數(shù)值域為，故（4）錯誤；對于（3），由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當時，，，當時，，此時，當時，，此時，故，由于為連續(xù)函數(shù)，故，故的圖象在上關于直線對稱，又為奇函數(shù)，最小正周期為，結合圖象可知，在圖象在R上關于直線對稱，所以，令，則，將用替換，有，故，所以關于軸對稱，又為奇函數(shù)，故，所以，又，故，故，故關于對稱，所以既有對稱軸，又有對稱中心，當時，同理可得既有對稱軸，又有對稱中心，故（3）正確；對于（1），取，則，由于為奇函數(shù)，故，又的最小正周期為，故，即，即，故的圖象關于點對稱，由（3）知，的圖象關于直線對稱，故的圖象關于直線對稱，所以，，所以，當為偶數(shù)時，，所以，當為奇數(shù)時，，所以，故（1）正確；對于（2），由于，所以成立，，故，即，故在上，又的圖象關于直線對稱，且最小正周期為，故函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以，而成立，所以，故存在成立，故（2）正確.故選：C.【點睛】結論點睛：函數(shù)的對稱性：若，則函數(shù)關于中心對稱，若，則函數(shù)關于對稱.二、填空題共5小題.11.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算求，再結合復數(shù)的幾何意義分析求解.【詳解】因為，可得，所以對應的點的坐標是.故答案為：.12.【答案】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和得到的值，再根據(jù)二項式展開式的通項公式可得到結果.【詳解】因為的展開式的二項式系數(shù)和為32，所以，即，二項式展開式的通項公式為，令，則，所以的系數(shù)為，故答案為：.13.【答案】【分析】根據(jù)條件，結合全概率公式求解即可.【詳解】解：由全概率公式可得，任取一個零件，則該零件是次品的概率為故答案為：14.【答案】【分析】由題意可知為圓直徑，設，利用向量運算可得，由此即可求出答案.【詳解】因為，所以為圓直徑，設，則，所以,故，所以當時，，，故故答案為：.15.【答案】（1）（3）（4）【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法可判斷（1）（2）的真假；利用體積變換確定點位置，可判斷（3）的真假；作出二面角的平面角，確定其正切值的范圍判斷（4）的真假.【詳解】如圖：以為原點，建立如圖空間直角坐標系，因為，所以，A2,0,0，，，，，，，，.對（1）：因為，，，所以，，所以，，，平面且，所以平面，又平面，所以平面平面.故（1）正確；對（2）：由（1）可知，，所以不存在，，使直線所成的角為，故（2）錯誤；對（3）：因為，解得，所以存在唯一的點，使得三棱錐的體積為，故（3）正確；對（4）：設二面角，則為銳角.過作于點，連接，因為平面，所以.在中，由，所以（）.所以（）設，，則，根據(jù)對勾函數(shù)的性質易得：函數(shù)在上單調遞減，所以，所以，故（4）正確.故答案為：（1）（3）（4）【點睛】方法點睛：對（4）中的二面角，可以用空間向量的方法求，也可以構造二面角的平面角，利用解三角形的方法來求.三、解答題共6小題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）化簡函數(shù)，根據(jù)題意，得到，進而求得，即可求解；（2）由（1）和的面積取得，利用余弦定理得，進而求得的值，即可求得的周長.【小問1詳解】解：由函數(shù)，因為，可得，在中，因為，所以，又因為，所以，所以，解得，因為，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，因為的面積為，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周長為.17.【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）【分析】（1）連接，交于，連接，由證明平面；（2）選擇①②或①③或②③或①②③都能得到平面，建立空間直角坐標系，求出法向量，求解與平面所成角的正弦值，計算點到平面的距離．【小問1詳解】（1）連接，交于，連接，底面是正方形，故是的中點，又因為為棱的中點，所以，在中，而平面平面，所以平面．【小問2詳解】選①②：因為四邊形是正方形，所以，又因為，所以，因為二面角的大小為，平面平面，所以，在中，，所以，故，又因為平面，所以平面，選①③：因為四邊形是正方形，所以，又因為，所以，因為二面角的大小為，平面平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，所以平面，因為平面，所以，又因為為中點，所以，所以，所以，即，因為平面，所以平面，選②③：因為四邊形是正方形，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，所以平面，因為平面，所以，又因為為中點，所以，在中，，故，因為平面，所以平面，選①②③同上．以為原點，為軸建立空間直角坐標系，則，故，令為面的一個法向量，則令，則，（i）因為，所以直線與平面所成角的正弦值為，（ii）由（i）知點到平面的距離．18.【答案】（1）高中部的學生人數(shù)為人，估計全校學生中課外閱讀時間在小時內(nèi)的總人數(shù)為人；（2）的分布列見解析，；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，結合分層抽樣的定義進行求解即可；（2）根據(jù)古典型概率公式，結合數(shù)學期望的公式進行求解即可；（3）根據(jù)二項分布的性質進行求解即可.【小問1詳解】100名學生中高中生有人，初中生有人，設高中部的學生人數(shù)為，則有，設100名學生中初中生在小時內(nèi)的人數(shù)為，則有，100名學生中高中生在小時內(nèi)的人數(shù)為人，因此全校學生中課外閱讀時間在小時內(nèi)的總人數(shù)估計為：；【小問2詳解】課外閱讀時間不足10個小時的樣本中，初中學生人數(shù)為人，高中學生人數(shù)為人，所以，因此有，，，所以的分布列如下：的數(shù)學期望為；【小問3詳解】由（1）高中部的學生人數(shù)為，其中閱讀時間在的人數(shù)為，所以每個人被抽到內(nèi)的概率為，因此，假設為最大項，則有，解得：，因為，所以當時，有最大值.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）分切線斜率是否存在兩種情況討論，當切線的斜率存在時，設切線方程為，先求出的關系，設，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求出，進而可求得線段的中點坐標，從而可求得點的坐標，再根據(jù)點在橢圓上，即可求得，再利用弦長公式求出，即可得解.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】當圓切線斜率不存在時，切線方程為，當切線方程為時，由橢圓的對稱性可得，因為，所以點不在橢圓上，不符題意，當切線方程為時，由橢圓的對稱性可得，因為，所以點不在橢圓上，不符題意，所以切線的斜率存在，設切線方程為，則，所以①，聯(lián)立，整理得，則，解得，設，則，故，所以線段的中點坐標為，因為四邊形為平行四邊形，所以，又因為點在橢圓上，所以②，將①代入②得，解得，所以，所以，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求導，在分類討論，根據(jù)導函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，由（1）知，的極小值為，極大值為，再結合零點的存在性定理即可得證；（3）因為，所以任意且，由（2）可知，且，由此能推導出使得恒成立的的最大值．【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，令，則或，當，即時，，則，所以函數(shù)在上遞增，當，即時，或時，f'x<0，，f'所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，當，即時，或時，f'x<0，，f'所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；【小問2詳解】證明：當時，因為，所以由（1）知，的極小值為，極大值為，因為，，且在上是減函數(shù)，所以至多有一個零點．又因為所以，即由數(shù)形結合可得，函數(shù)只有一個零點，且；【小問3詳解】因為，所以，所以任意