試題試題2024北京一六六中高三12月月考數(shù)學選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知全集，集合，，則A∩(?UB)A． B． C． D．2．設(shè)復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是A．B．C． D．3．圓的圓心到直線的距離為A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則A．4 B．5 C．6 D．75．已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的充分條件是A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，已知，，則的最小值為A． B． C． D．7．已知函數(shù)若，則的取值范圍是A． B． C．[0,5) D．8．已知是函數(shù)的圖象上的兩個不同的點，則A． B． C． D．9．?ABC的外接圓的半徑等于，，則AB?ACA． B． C． D．10．正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且⊥平面，則線段長度的取值范圍是A．B．C．D．[62,+二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．的展開式中，含有項的系數(shù)是.12．設(shè)向量，且，則，和所成角為.13．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為.14．直線與雙曲線的右支只有一個公共點，則的取值范圍為．15．設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（本小題13分）在?ABC中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，,(1)求；(2)若，求?ABC的面積．（本小題14分）如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，側(cè)面底面，E是棱BC上一點，平面.(1)求證：是的中點；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使四棱柱唯一確定，（i）求二面角的余弦值；（ii）設(shè)直線A1C與平面的交點為P，求A1條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.（本小題13分）某社區(qū)計劃組織一次公益講座向居民普及垃圾分類知識，為掌握居民對垃圾分類知識的了解情況并評估講座的效果，主辦方從全體居民中隨機抽取10位參加試講講座活動，讓他們在試講講座前后分別回答一份垃圾分類知識問卷．試講講座前后，這10位居民答卷的正確率如下表：編號正確率1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號試講講座前65%60%0%100%65%75%90%85%80%60%試講講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%根據(jù)居民答卷的正確率可以將他們垃圾分類的知識水平分為以下三個層級：答卷正確率p垃圾分類知識水平一般良好優(yōu)秀假設(shè)每位居民回答問卷的結(jié)果之間互相獨立，用頻率估計概率．正式講座前，從該社區(qū)的全體居民中隨機抽取1人，試估計該居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的概率；正式講座前，從該社區(qū)的全體居民中隨機抽取3人，這3人垃圾分類知識水平分別是“一般”、“良好”、“良好”．設(shè)隨機變量X為“這3人講座后垃圾分類知識水平達到‘優(yōu)秀’的人數(shù)”，試估計X的分布列和數(shù)學期望；在未參加講座的全部居民中再隨機抽取若干人參加下一輪的公益講座并讓他們在講座前后分別填寫問卷．從講座后的答卷中隨機抽取一份，如果完成該答卷的居民的知識水平為“良好”，他在講座前屬于哪一知識水平的概率最大？（結(jié)論不要求證明）（本小題15分）設(shè)橢圓，離心率為，長軸長為4.過點的直線l與橢圓交于，兩點，直線l與軸不重合.(1)求橢圓的方程；(2)已知點，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于，若，求直線的斜率.（本小題15分）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當，曲線的切線不經(jīng)過點；(3)當時，若曲線與直線在區(qū)間上有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.（本小題15分）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．（1）判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；（2）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；（3）若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．

參考答案1．【答案】D【分析】先求出集合A，然后求出，進而求得.【詳解】由，得，所以,因為，所以,所以.故選：D.2．【答案】C【分析】利用復數(shù)的四則運算和復數(shù)對應(yīng)點的特征求解即可.【詳解】因為，所以，故復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是，故C正確.故選：C3．【答案】A【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：A.4．【答案】A【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：A.5．【答案】B【分析】利用給定條件得到，判斷A，利用給定條件得到判斷B，舉反例判斷C，D即可.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤，對于B，若，則，故B正確，對于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯誤，對于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯誤.故選：B6．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用的性質(zhì)，得到和，從而得到，即可求解.【詳解】因為，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B.7．【答案】D【分析】求出拋物線與直線相切時的斜率，由數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】設(shè)直線與相切于點，由，則，所以切線方程為，又切線過，所以，解得，所以，作出及切線的圖象，如圖，

由圖象可知，當時，成立.故選：D8．【答案】D【分析】求出已知兩點的中點坐標及的圖象上縱坐標為的點，結(jié)合函數(shù)圖象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)Ax1,y1，B點在的圖象上，且軸，則，由圖知點在的左側(cè)，即，所以.故選：D9．【答案】C【詳解】依題意，的外接圓的半徑等于，，以為原點，為軸建立如圖所示平面直角坐標系，，圓心到，也即軸的距離為，故圓心，半徑，所以圓的標準方程為.設(shè)，與不重合.所以，由于，所以.10．【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】以為坐標原點，以分別為軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，，則，則，因為平面，所以，即，解得，所以，所以，又，所以當時，即是的中點時，取得最小值，當或，即與點或重合時，取得最大值，所以線段長度的取值范圍為.故選：C11．【答案】【分析】寫出的展開式的通項公式，得到，求出，得到答案.【詳解】的展開式的通項公式為，令得，，故，展開式中含有項的系數(shù)是.12．【答案】【分析】將化簡變形，并將坐標代入求出，根據(jù)判斷兩個向量夾角為直角．【詳解】因為，所以，化簡整理得，所以，所以．因為，所以和所成角為．故答案為：；.13．【答案】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.14．【答案】【，】【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點個數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【詳解】聯(lián)立，化簡并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經(jīng)檢驗，符合題意.故答案為：【，】15．【答案】①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設(shè)，，若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，則由和的散點圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.16．【詳解】（1）由題意得，因為為鈍角，則，則，則，解得，因為為鈍角，則.（2）則由正弦定理得，即，解得，因為為三角形內(nèi)角，則，則，則17．【答案】(1)證明過程見解析(2)（i）答案見解析（ii）平面，理由見解析.【分析】（1）利用線面平行的判定定理找到可證；（2）（i）選①：說明條件不能確定棱柱特點即可求解；選②③：證明平面，建立空間坐標系，求得二面角；（ii）只需證明直線與直線異面即可.【詳解】(1)線面平行性質(zhì)定理（2）（i）選擇條件①：因為底面是正方形，所以，側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，故平面，又平面，則，即四邊形為矩形，因為，則，與選擇條件①：等價，故條件不能進一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；選擇條件②：連結(jié)，因為底面是正方形，所以，又因為側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因為，，所以，在中，因為，，所以，又平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標系，其中，，，，且，，易知為平面的一個法向量，設(shè)為平面面的一個法向量，則即.不妨設(shè)，則，可得，所以，因為二面角的平面角是鈍角，設(shè)為，故，所以二面角的余弦值為.選擇條件③：因為底面是正方形，所以，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，因為側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標系，（下面同選擇條件②）.（ii）A18．【答案】(1)(2)答案見解析(3)他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.【分析】（1）先根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，求出居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的頻率，可估計相關(guān)的概率.（2）先明確正式講座前，垃圾分類水平為“一般”和“良好”的人在試講講座后達到“優(yōu)秀”的概率，再求對應(yīng)的概率，可得的分布列，并求其期望.（3）利用條件概率求解判斷.【詳解】（1）正式講座前，10位選取的居民中，垃圾分類知識水平為“一般”的人數(shù)為5人，所以垃圾分類知識水平位“一般”的頻率為：，所以估計居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的頻率為：.（2）由表中提供的數(shù)據(jù)可得：正式講座前，垃圾分類知識水平為“一般”的人在講座后，達到“優(yōu)秀”的概率估計為：；正式講座前，垃圾分類知識水平為“良好”的人在講座后，達到“優(yōu)秀”的概率估計為：.由題意，的值可以為：0,1,2,3且：，.所以的分布列為：0123所以.（3）從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“一般”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“優(yōu)秀”記為事件，則，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為；從參加講座后的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則.因為，，.所以他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.19．【答案】(1)(2).【詳解】（1），又，所以，得，所以；（2）設(shè)直線，Ax1,，，即，即或，；，；，；直線，直線令，，令，，則即也即則，，斜率為；綜上，直線的斜率為.20．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）求導，利用導數(shù)研究單調(diào)性即可；（2）將，利用導數(shù)求出切線方程，利用反證法證明即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有兩個不同的解，即在區(qū)間上有兩個不同的解，設(shè)，利用導數(shù)求解即可.【詳解】（1）當時，，的定義域為.，令，解得.當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當時，，.設(shè)曲線的切點為，則切線方程為，假設(shè)切線過原點，則有，整理得：.令，則.所以當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對任意，，所以方程無解.綜上可知，曲線在點的切線不過原點.（3）曲線與直線在區(qū)間上有兩個不同的交點，等價于在區(qū)間上有兩個不同的解，即，在區(qū)間上有兩個不同的解，設(shè)，則，令，解得，又因為，所以，當，，所以單調(diào)遞增；當，，所以單調(diào)遞減；所以，當時，，當時，，要使在區(qū)間上有兩個不同的解，只需使即可.所以實數(shù)a的取值范圍是.21.【答案】（1）是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）證明見解析．（3）證明見解析．【解析】【分析】（