2/2提分練習：特殊平行四邊形的性質和判定的綜合應用的四種類型典例剖析例如圖，正方形ABCD的邊長為6.菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，且AH=2，連接CF.（1）當DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；（2）設DG=x，試用含x的代數式表示△FCG的面積.解題秘方：特殊平行四邊形的性質和判定的綜合應用，就是從四邊形邊、角、對角線的特征進行判斷和應用.本題中（1）由于四邊形EFGH為菱形，只需再證有一個內角是直角即可；（2）解題的關鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC的延長線于M，連接GE，構造全等三角形.（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°.∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=EH.∵DG=AH=2，∴Rt△DGH≌Rt△AHE，∴∠DHG=∠AEH.∵∠AEH+∠AHE=180°-∠A=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH為正方形.（2）解：過F作FM⊥CD，交DC的延長線于M，連接GE，如圖所示.∵在正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE.∵四邊形EFGH為菱形，∴HE=FG，GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM.在△AHE和△MFG中，∴△AHE≌△MFG，∴MF=AH=2.∵DG=x，∴CG=6-x，∴.分類訓練類型一利用矩形的性質和判定巧求折疊中線段的長1.如圖，將矩形紙片ABCD的四個角向內折起，點A、點B落在點M處，點C、點D落在點N處，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH.若EH=3cm，EF=4cm，求AD的長.類型二特殊平行四邊形中的操作型問題2.（1）如圖①，在平行四邊形紙片ABCD中，AD=5，=15.過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE'的位置，拼成四邊形AEE'D，則四邊形AEE'D的形狀為（）A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形（2）如圖②，在（1）的四邊形紙片AEE'D中，在EE'上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE'F'的位置，拼成四邊形AFF'D.①求證：四邊形AFF'D是菱形；②求四邊形AFF'D的兩條對角線的長.類型三特殊平行四邊形中的探究型問題3.如圖①，已知正方形ABCD中，點E為對角線BD上一點，過點E作EF⊥BD交BC于點F，連接DF，點G為DF的中點，連接EG，CG.（1）求證：EG=CG.（提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（2）將圖①中的△BEF繞點B逆時針旋轉45°，如圖②，取DF的中點G，連接EG，CG.問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.（3）將圖①中的△BEF繞點B旋轉任意角度，如圖③，其他條件不變，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）類型四特殊平行四邊形中的閱讀理解型問題4.閱讀以下材料，然后解決問題：如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖①所示，矩形ABEF為△ABC的“友好矩形”，顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個.（1）仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；（2）如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；（3）若△ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.

1.解：由折疊的性質知HD=HN，AH=HM，∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°.同理得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四邊形EFGH為矩形.∴HG∥EF，HG=EF.∴∠GHN=∠EFM.又易知∠HNG=∠FME=90°，∴△HNG≌△FME.∴HN=MF.又∵HN=HD，∴HD=MF.∴AD=AH+HD=HM+MF=HF.∵（cm），∴AD=5cm.點撥：此題利用折疊提供的角相等，可證明四邊形EFGH為矩形，然后利用三角形全等來證明HN=MF，進而證明HD=MF，從而將AD轉化為直角三角形EFH的斜邊HF，進而得解，體現了轉化思想.2.（1）C（2）①證明：由平移知AFDF'，∴四邊形AFF'D是平行四邊形.∵，AD=5，∴AE=3.∵EF=4，∠E=90°，∴.∴AD=AF.∴四邊形AFF'D是菱形.②解：如圖連接AF'，DF.∵四邊形AFF'D是菱形，∴AD=FF'=5.在Rt△AEF'中，AE=3，EF'=EF+FF'=4+5=9，由勾股定理可得，在Rt△DFE'中，FE'=EE'-EF=5-4=1，DE'=AE=3，由勾股定理得DF=.∴四邊形AFF'D的兩條對角線的長分別是和.3.（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90.在Rt△FCD中，∵點G為DF的中點，∴CG=DF.同理，EG=DF.∴EG=CG.（2）解：成立.證明如下：如圖，連接AG，過點G作直線MN⊥AD交AD于點M，與EF的延長線交于點N.易知四邊形AENM為矩形.∵G為DF的中點，∴DG=FG.∵∠DGM=∠FGN，∠DMG=∠FNG=90°，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG.又∵在矩形AENM中，AM=EN，∠AMG=∠ENG=90°，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG.∵四邊形ABCD為正方形，BD為對角線，∴∠ADG=∠CDG，AD=CD.又∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG=CG，∴EG=CG.（3）解：（1）中的結論仍然成立，即EG=CG.其他結論還有EG⊥CG.4.解：（1）如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.（2）如圖①，共有兩個“友好矩形”分別為矩形BCAD、矩形ABEF.易知，矩形BCAD、矩形ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，∴△ABC的兩個“友好矩形”的面積相等.（3）如圖②，共有3個“友好矩形”，分別為矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周長最小.證明：易知這三個矩形面積相等，設為S.設矩形BCD