一元二次方程解實際問題的十種常見應用練素養(yǎng)冀教版九年級上第二十四章一元二次方程1．【2021·東營】“雜交水稻之父”——袁隆平先生所率領的科研團隊在增產(chǎn)攻堅第一階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標，第三階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標．(1)如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長率；解：設畝產(chǎn)量的平均增長率為x，依題意得700(1＋x)2＝1008，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合題意，舍去)．答：畝產(chǎn)量的平均增長率為20%.(2)按照(1)中畝產(chǎn)量增長率，科研團隊期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達到1200公斤，請通過計算說明他們的目標能否實現(xiàn)．解：1008×(1＋20%)＝1209.6(公斤)．∵1209.6>1200，∴他們的目標能實現(xiàn)．2．【2021·煙臺】直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？解：設每件售價應定為x元，則每件的利潤為(x－40)元，日銷售量為20＋

＝(140－2x)(件)，依題意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20，整理，得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60(舍去)．答：每件售價應定為50元．(2)小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過(1)中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？解：設該商品需要打a折銷售，由題意，得62.5×≤50，解得a≤8.答：該商品至少需打8折銷售．3．【2020·西安鐵一中期中】王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后可得本金和利息共530元．求第一次存款時的年利率．解：設第一次存款時的年利率為x.根據(jù)題意，得[1000(1＋x)－500]·(1＋0.9x)＝530.整理，得90x2＋145x－3＝0.解這個方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63(不合題意，舍去)．答：第一次存款時的年利率約是2.04%.4．一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量得竹竿的長度比城門的寬度多4m．旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門的高度多2m．二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人讓他們二人沿著城門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城．你知道竹竿有多長嗎？【點思路】列方程，這是解應用題最關鍵的一步，一般先找出能夠表達全部含義的一個等量關系，然后列代數(shù)式表示等量關系中的各個量，就得到含未知數(shù)的等式，即方程．解：設竹竿的長度為xm，則城門的寬度為(x－4)m，城門的高度為(x－2)m.根據(jù)題意，得(x－4)2＋(x－2)2＝x2，解得x1＝10，x2＝2(不合題意，舍去)．答：竹竿長10m.5．讀詩詞解題(通過列方程，算出周瑜去世時的年齡)：大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？解：設周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x－3.根據(jù)題意，得x2＝10(x－3)＋x，即x2－11x＋30＝0.解這個方程，得x＝5或x＝6.當x＝5時，兩位數(shù)為25，25＜30，不合題意，舍去；當x＝6時，兩位數(shù)為36，符合題意．答：周瑜去世時的年齡為36歲．6．【原創(chuàng)題】張小武同學建立了一個名為“正能量”的微信群．這個微信群里有若干個好友，每個好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條充滿正能量的消息，這樣共有870條消息．這個微信群里共有多少個好友？解：設這個微信群里共有x個好友．根據(jù)題意，得x(x－1)＝870，解得x1＝30，x2＝－29(不合題意，舍去)．答：這個微信群里共有30個好友．7．【2021·淄博】為更好地發(fā)展低碳經(jīng)濟，建設美麗中國，某公司對其生產(chǎn)設備進行了升級改造，不僅提高了產(chǎn)能，而且大幅降低了碳排放量．已知該公司去年第三季度產(chǎn)值是2300萬元，今年第一季度產(chǎn)值是3200萬元，假設公司每個季度產(chǎn)值的平均增長率相同．(1)求該公司每個季度產(chǎn)值的平均增長率；解：設該公司每個季度產(chǎn)值的平均增長率為x，依題意得2300(1＋x)2＝3200，解得x1≈0.18＝18%，x2≈－2.18(不合題意，舍去)．答：該公司每個季度產(chǎn)值的平均增長率為18%.解：該公司今年總產(chǎn)值能超過1.6億元，理由如下：3200＋3200×(1＋18%)＋3200×(1＋18%)2＋3200×(1＋18%)3≈3200＋3200×1.18＋3200×1.39＋3200×1.64＝3200＋3776＋4448＋5248＝16672(萬元)，1.6億元＝16000萬元，∵16672>16000，∴該公司今年總產(chǎn)值能超過1.6億元．(2)問該公司今年總產(chǎn)值能否超過1.6億元？并說明理由．8．某地計劃對矩形廣場進行擴建改造．如圖，原廣場長50m，寬40m，要求擴建后的矩形廣場長與寬的比為3∶2.擴建區(qū)域的擴建費用為每平方米30元，擴建后在原廣場和擴建區(qū)域都鋪設地磚，鋪設地磚費用為每平方米100元．如果計劃總費用為642000元，擴建后廣場的長和寬應分別是多少米？解：設擴建后廣場的長為3xm，寬為2xm.依題意，得3x×2x×100＋30(3x×2x－50×40)＝642000.整理，得x2＝900.解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．所以3x＝90，2x＝60.答：擴建后廣場的長為90m，寬為60m.【點方法】解決圖形問題的關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，把實際問題中的已知量和未知量歸結到一個幾何圖形中，然后利用幾何知識列方程求解．9．【2021·日照】某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量y(桶)與每桶降價x(元)(0＜x＜20)之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；解：設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx＋b，將點(1，110)，(3，130)的坐標代入一次函數(shù)關系式得，故y與x之間的函數(shù)關系式為y＝10x＋100.(2)在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元，這種消毒液每桶實際售價多少元？解：由題意得(10x＋100)×(55－x－35)＝1760，整理，得x2－10x－24＝0.解得x1＝12，x2＝－2(舍去)．所以55－x＝43.答：這種消毒液每桶實際售價43元．10．觀察下列一組方程：①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0；….它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”．(1)若x2＋kx＋56＝0也是“連