2/2三角形全等幾何模型-一線三等角模型（培優篇）（專項練習）模型一一線三垂直全等模型如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一線三等角全等模型如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結論：△BEC≌△CDA圖一圖二一、填空題1．如圖，中，，，D為延長線上一點，，且，與的延長線交于點P，若，則__________．2．如圖，已知點在軸正半軸上，點在軸的正半軸上，為等腰直角三角形，為斜邊上的中點.若，則________.3．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，則下列結論:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正確的結論是____________(填正確結論的編號)二、解答題4．通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）5．（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．6．如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．7．在中，，直線經過點C，且于D，于E，（1）當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，顯然有：（不必證明）；（2）當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系．8．問題背景：（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．請寫出DE、BD、CE三條線段的數量關系．（不需要證明）實際應用：（3）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標為(－2，0)，點A的坐標為(－6，3)，請直接寫出B點的坐標．參考答案1．【分析】作于，根據全等三角形性質得出CP=PM，DC=AM，設PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．解：作于，，，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，設，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．2．2【分析】根據等腰直角三角形的性質，可得AP與BC的關系，根據垂線的性質，可得答案解：如圖：作CP⊥x軸于點P，由余角的性質，得∠OBA=∠PAC，在Rt△OBA和Rt△PAC中，，Rt△OBA≌Rt△PAC（AAS），∴AP=OB=b，PC=OA=a．由線段的和差，得OP=OA+AP=a+b，即C點坐標是（a+b，a），由B（0，b），C（a+b，a），D是BC的中點，得D（，），∴OD=∴=，∴a+b=2.故答案為2.【點撥】本題解題主要①利用了等腰直角三角形的性質；②利用了全等三角形的判定與性質；③利用了線段中點的性質.3．①②③【分析】根據同角的余角相等，可得到結論①，再證明△ACF≌△CBD，然后根據全等三角形的性質判斷結論②、③、④即可.解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正確；在△ACF和△CBD中，，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故結論②正確∴FC＝FD+CD=FD+AF，故結論③正確，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故結論④錯誤.綜上所述，正確的結論是：①②③.【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握判定方法及全等的性質是解題的關鍵.4．（1）DE；（2）見分析；（3）=【分析】（1）根據全等三角形的性質可直接進行求解；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，進而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；（3）過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進行求解問題．解：（1）∵，∴；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴，∵∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點G是DE的中點；（3），理由如下：如圖所示，過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC，∴，OD=MC，同理可以證明△FOD≌△DNE，∴，OD=NE，∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP，∴，∵，∴,∴即．【點撥】本題主要考查全等三角形的性質與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關鍵．5．（1）見分析；（2）結論成立，理由見分析；（3）3.5【分析】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結論；（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結論I是EG的中點．解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如圖2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如圖3，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的結論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中點．∴S△AEI=S△AEG=3.5．故答案為：3.5．【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．6．（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.【分析】（1）利用鄰補角的性質和三角形內角和定理解題；（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當∠BDA的度數為80°時，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．【點撥】本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎題．7．（1）見分析；（2）見分析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質即可解決問題；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質也可以解決問題；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質可以得到DE=BE-AD．解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如圖3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之間的關系為DE=BE-AD．【點撥】此題需要考查了全等三角形的判定與性質，也利用了直角三角形的性質，是一個探究性題目，對于學生的能力要求比較高．8．（1）證明見分析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)【分析】（1）證明△ABD≌△CAE，根據全等三角形的性質得到AE=BD，AD=CE，結合圖形解答即可；（2）根據三角形內角和定理、平角的定義證明∠ABD=∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據全等三角形的性質得到AE=BD，AD=CE，結合圖形解答即可；（3）根據△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根據坐標與圖形性質解答．解：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD∵在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋C