第一章空間向量的運算及應用知識梳理1、用已知向量表示未知向量的解題策略(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．(3)在立體幾何中要靈活應用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立．2、證明空間任意三點共線的方法對空間三點P，A，B可通過證明下列結論成立來證明三點共線.(1)；(2)對空間任一點O，；(3)對空間任一點O，．3、證明空間四點共面的方法對空間四點P，M，A，B可通過證明下列結論成立來證明四點共面(1)；(2)對空間任一點O，；(3)對空間任一點O，；(4)∥(或∥或∥)．4、空間向量數量積計算的兩種方法(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)坐標法：設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.5、空間向量數量積的三個應用求夾角設向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進而可求兩異面直線所成的角求長度(距離)運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題解決垂直問題利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉化為向量數量積的計算問題注：①當題目條件有垂直關系時，常轉化為數量積為零進行應用；②當異面直線所成的角為時，常利用它們所在的向量轉化為向量的夾角θ來進行計算．應該注意的是，，所以③立體幾何中求線段的長度可以通過解三角形，也可依據|a|＝eq\r(a2)轉化為向量求解．6、空間向量的坐標運算（1）設i、j、k為兩兩垂直的單位向量，如果，則叫做向量的坐標．（2）設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么①a±b＝．②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，⑥a∥b?(λ∈R)，⑦a⊥b?.（3）設點M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，則考點一空間向量的概念及其線性運算1．（2023·全國·高二課時練習）下列關于空間向量的命題中，正確的序號是______.①若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②是向量的必要非充分條件；③向量、相等的充要條件是④若A、B、C、D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件.【解析】向量相等只需滿足方向相同且模相等即可，故①錯誤；根據相等向量的概念可知，若，則，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分條件，②正確；當、為相反向量時，顯然滿足，故③錯誤；因為A、B、C、D是不共線，所以由，可知且，所以四邊形ABCD為平行四邊形，反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則由平行四邊形的性質可得，故④正確.故答案為：②④2．（2023·福建·三明市第二中學高二開學考試）下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【解析】對于A，因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確，對于B，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤，對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤，對于D，兩個空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟龋部赡懿幌嗟?，如向量與的模相等，所以D錯誤，故選：A3．（2023·全國·高二課時練習）如圖所示，在長方體中，，，，，分別是，的中點，則在以八個頂點中的兩個分別為起點和終點的向量中：（1）的相等向量是______；（2）的相反向量是______；（3）的共線向量（平行向量）為______；（4）模為的向量是______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.【解析】

（1）與相等的向量有，，.（2）的相反向量為，，，.（3）的共線向量（平行向量）為，，，.（4）由于長方體左、右兩側的面的對角線長均為，故模為的向量有，，，，，，，.（5）因為，向量，，有一個公共點，而點，，都在平面內，點在平面外，所以向量，，不共面.故答案為：（1），，；（2），，；（3），，，；（4），，，，，，，；（5）不共面.4．（2023·重慶·高二期末）在長方體中，（

）A． B． C． D．【解析】在長方體中，易知，所以.故選：D.5．（2023·全國·高二課時練習）在三棱錐中，是的中點，則______.【解析】依題意，作出三棱錐，取的中點，連接，，如圖，則，且，.故答案為：.6．（2023·廣東揭陽·高二期末）已知空間中三點，，，則下列結論中正確的有（

）A．平面ABC的一個法向量是 B．的一個單位向量的坐標是C． D．與是共線向量【解析】因為，，，故可得，因為，故，不平行，則D錯誤；對A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對B：因為向量的模長為，其不是單位向量，故B錯誤；對C：因為，故可得，故C錯誤；故選：A.考點二共線、共面向量定理的應用空間向量共線問題7．（2023·山西呂梁·高二期末）在平行六面體中，點P在上，若，則（

）A． B． C． D．【解析】因為，，所以有，因此，故選：C8．（2023·四川雅安·高二期末（理））向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【解析】因為，所以，所以，，所以，解得，.故選：C.9．（2023·重慶長壽·高二期末）已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（

）A． B．C． D．4【解析】因為，所以，所以，計算得.故選：D.10．（2023·全國·高二期末）已知，，若與為共線向量，則x＝_________．【解析】因為，且與共線，所以存在，使得，即，所以，解得；故答案為：11．（2023·吉林·四平市第一高級中學高二期末）已知是空間的一個基底，若，，若，則（

）A． B． C．3 D．【解析】，，因為，所以存在實數，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C12．（2023·浙江·安吉縣上墅私立高級中學高二期末）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當和的長度都為最短時，的值是（

）A． B． C． D．【解析】因，則，即，而，則共面，點M在平面內，又，即，于是得點N在直線上，棱長為1的正四面體中，當長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，，而，，所以.故選：A（二）空間向量共面問題13．【多選】（2023·福建·漳州市第一外國語學校高二期末）關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．向量，，若，則B．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C．設是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個點，，，，，則，，三點共線【解析】對于選項A，由，也可能是或，故錯誤；對于選項B，因為對空間中任意一點，，則，整理得.由空間向量基本定理可知點，，，四點共面，故正確；對于選項C，由是空間中的一組基底，則，向量，，不共面，可得向量，，也不共面，所以也是空間的一組基底，故正確；對于選項D，若空間四個點，，，，，可得，即，則，，三點共線，故正確.故選：BCD.14．（2023·上海市建平中學高二期末）已知A?B?C?D?E是空間中的五個點，其中點A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實數x?y，使得的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若平面ABC，則共面，故存在實數x?y，使得.若存在實數x?y，使得，則，，共面則平面ABC或平面ABC.所以“平面ABC”是“存在實數x?y，使得的充分而不必要條件.故選：A.15．（2023·黑龍江·嫩江市第一中學校高二期末）已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.【解析】P，A，B，C四點共面,則存在實數，使得所以即所以，解得故答案為：16．（2023·福建·廈門外國語學校高二期末）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【解析】對于A選項，設，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設，所以，，無解；對于D選項，設，所以，，矛盾.故選：B.17．（2023·江西·臨川一中高二期末（理））已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－6【解析】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D18．（2023·全國·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點共面，則λ=___________.【解析】由P，A，B，C四點共面，可得共面，，，解得.故答案為：考點三空間向量基本定理的應用（一）用基底表示空間向量19．（2023·重慶長壽·高二期末）如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點為點M，，，，則（

）A． B．C． D．【解析】-＝，.故選：A．20．（2023·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．【解析】.故選：A21．（2023·廣東梅州·高二期末）已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【解析】即故選：D．22．（2023·河北滄州·高二期末）如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．【解析】.故選：B.23．【多選】（2023·湖南省臨湘市教研室高二期末）已知M，A，B，C四點互不重合且任意三點不共線，則下列式子中能使成為空間的一個基底的是（

）A． B．C． D．【解析】A：因為，且，利用平面向量基本定理知：點M不在平面ABC內，向量能構成一個空間基底；B：因為，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能構成一個空間基底；C：由，利用平面向量基本定理和空間平行六面體法知：OM是以點O為頂點的對角線，向量能構成一個空間基底；D：由，根據平面向量的基本定理知：向量共面，不能構成空間的一個基底.故選：AC.（二）利用空間向量基本定理求參數24．（2023·甘肅·民勤縣第一中學高二期末（理））在長方體中，M、N分別是BC、的中點，若，則______．【解析】，∴，，，．故答案為：－2.25．（2023·湖北·十堰市教育科學研究院高二期末）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，若，則（

）A．1 B． C． D．【解析】連接如下圖：由于是的中點，.根據題意知..故選：C.26．（2023·山東聊城·高二期末）如圖，在空間平移到，連接對應頂點.是的中點，點在線段上，且，若，則（

）A． B． C．1 D．【解析】由題意可知.所以，故.故選：B27．（2023·陜西·寶雞市渭濱區教研室高二期末（理））已知向量，，不共線，點在平面內，若存在實數，，，使得，那么的值為________.【解析】因為點在平面內，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：128．（2023·四川雅安·高二期末（理））設是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點，且，若，則為（

）A． B． C． D．【解析】因為三棱錐是正三棱錐，G是的重心，所以，因為D是PG上的一點，且，所以，因為，所以,因為，所以，所以為，故選：B考點四空間向量的坐標與空間直角坐標系29．（2023·內蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知向量，則（

）A． B． C． D．【解析】故選：B.30．（2023·福建寧德·高二期末）已知，，，則的坐標為______．【解析】由題設，，所以.故答案為：31．（2023·福建莆田·高二期末）已知在空間直角坐標系中，平行四邊形ABCD三個頂點的坐標分別為，則頂點D的坐標為（

）A． B． C． D．【解析】設，因為與的中點相同，所以，解得，所以.故選：D.32．（2023·貴州遵義·高二期末（理））在空間直角坐標系中，與點關于平面對稱的點為（

）A． B． C． D．【解析】因為點，則其關于平面對稱的點為.故選：A.33．（2023·江蘇無錫·高二期末）已知點B是A（3，4，5）在坐標平面xOy內的射影，則||＝（）A． B． C．5 D．5【解析】∵點B是點A（3，4，5）在坐標平面Oxy內的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5．故選：C．34．（2023·貴州貴陽·高二期末（理））在空間直角坐標系中，已知點A，若點P滿足，則_______．【解析】設，所以，，因為，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為：35．（2023·江西贛州·高二期末（文））在空間直角坐標系中，已知，，則MN的中點P到坐標原點О的距離為（

）A． B． C．2 D．3【解析】，，由中點坐標公式，得，所以.故選：A36．（2023·江蘇蘇州·高二期末）若，則與向量同方向的單位向量的坐標為____________.【解析】因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標為，故答案為：.考點五空間向量數量積的應用空間向量數量積的運算37．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，則=___________．【解析】因為，故答案為：238．（2023·河南新鄉·高二期末（理））已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．【解析】由題意，空間向量，，，可得，則.故選：A.39．（2023·福建省華安縣第一中學高二期末）三棱錐中，，，，則______．【解析】由題意得，故，,故答案為：-240．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．【解析】由題設，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：2441．（2023·廣西欽州·高二期末（理））如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側棱，是它的上底面上其余的八個點，則集合的元素個數（

）A．1 B．2 C．4 D．8【解析】建立空間直角坐標系，為原點，正四棱柱的三個邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設，則AB所以集合，元素個數為1.故選：A.42．（2023·安徽·安慶市第二中學高二期末）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．【解析】如圖所示由題意可知，，因為為的中點，所以,所以，當時，取最小值，此時取最大值，所以的最大值為4.故選:A.利用空間向量的數量積求夾角43．（2023·福建廈門·高二期末）在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【解析】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B44．（2023·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（

）A． B． C． D．【解析】因為，，所以所以，所以，又，所以，所以，因為，所以；故選：C45．（2023·吉林遼源·高二期末）已知空間向量，是單位向量，，則向量與的夾角為______.【解析】，，因為，所以，所以，由，得向量與的夾角為.故答案為：46．（2023·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.【解析】∵向量與的夾角為鈍角，∴·＝解得.當與共線時，設＝k(k<0)，可得，解得，即當時，向量與共線且反向，此時·<0，但與的夾角不是鈍角.綜上：λ的取值范圍是.故答案為：利用空間向量的數量積解決垂直問題47．（2023·福建莆田·高二期末）已知向量，且與互相垂直，則k的值為（

）A．－2 B．－ C． D．2【解析】由與互相垂直，則，解得故選：A48．（2023·河北保定·高二期末）已知，，若，則實數______．【解析】∵，，∴=，∵，故答案為：49．（2023·黑龍江·哈爾濱工業大學附屬中學校高二期末（文））已知向量a→=(1，1，k)，b→=(?1，0，?1)，c→=(0，2，1)，且向量A． B． C． D．【解析】根據題意，易得a→∵

與兩向量互相垂直，∴

0+2+k+2=0，解得.故選：D50．（2023·廣東茂名·高二期末）在空間直角坐標系中，若三點、、滿足，則實數的值為__________.【解析