高考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)2.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)3.復數\(z=1+2i\)的共軛復數是（）A.\(1-2i\)B.\(-1+2i\)C.\(-1-2i\)D.\(2+i\)4.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.函數\(f(x)=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\((-\infty,1]\)B.\([1,+\infty)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,1)\)7.\(\cos60^{\circ}\)的值是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)8.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)9.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(4\)C.\(-1\)D.\(-4\)10.函數\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=2x-1\)C.\(y=4x-3\)D.\(y=x\)答案：1.A2.B3.A4.B5.B6.B7.A8.A9.B10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.下列幾何體中，屬于旋轉體的有（）A.圓柱B.圓錐C.棱柱D.球3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列不等式正確的有（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)D.\(a-b\gt0\)4.以下屬于基本初等函數的有（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數5.直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)平行的條件是（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1\neq0\)C.\(B_1C_2-B_2C_1=0\)D.\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)6.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動，選法中至少有\(1\)名女生的情況有（）A.\(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}\)B.\(C_{3}^{1}C_{5}^{2}+C_{3}^{2}C_{5}^{1}+C_{3}^{3}\)C.\(C_{8}^{3}\)D.\(C_{5}^{3}\)7.下列關于數列極限的說法正確的有（）A.常數列的極限就是常數本身B.若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\)，則\(\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B\)C.一個數列的極限可能不存在D.擺動數列一定沒有極限8.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.焦點在\(y\)軸上9.下列運算正確的有（）A.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)B.\((a^m)^n=a^{mn}\)C.\((ab)^n=a^nb^n\)D.\(a^m\diva^n=a^{m-n}(a\neq0)\)10.對于函數\(y=f(x)\)，下列說法正確的有（）A.若\(f(a)=f(b)\)，則\(a=b\)B.函數的定義域和值域一定是數集C.函數圖像與\(x\)軸最多有一個交點D.函數是一種特殊的映射答案：1.AB2.ABD3.ABC4.ABCD5.ABD6.AB7.ABC8.ABC9.ABCD10.BD三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數。（）4.向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec{b}\)。（）5.正弦函數\(y=\sinx\)是奇函數。（）6.雙曲線的離心率\(e\gt1\)。（）7.若\(z_1,z_2\)為復數，\(z_1^2+z_2^2=0\)，則\(z_1=z_2=0\)。（）8.等差數列的前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）9.指數函數\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖像恒過點\((0,1)\)。（）10.若直線\(l\)垂直于平面\(\alpha\)內的無數條直線，則\(l\perp\alpha\)。（）答案：1.√2.×3.×4.×（需\(\vec{a},\vec{b}\)為非零向量）5.√6.√7.×8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=2x^2-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函數\(a=2\)，\(b=-4\)，對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數得\(y=1\)，頂點坐標為\((1,1)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，求\(\cos\alpha\)的值。答案：根據\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)。因為\(\alpha\)為第二象限角，\(\cos\alpha\lt0\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\((x_1,y_1)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，即\(y=3x-1\)。4.計算\(\log_28+\log_3\frac{1}{9}\)的值。答案：\(\log_28=\log_22^3=3\)，\(\log_3\frac{1}{9}=\log_33^{-2}=-2\)，所以\(\log_28+\log_3\frac{1}{9}=3+(-2)=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調性和值域。答案：在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上分別單調遞減。當\(x\gt1\)時，\(y\gt0\)；當\(x\lt1\)時，\(y\lt0\)，值域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。2.已知直線\(l\)與圓\(C\)，討論直線\(l\)與圓\(C\)的位置關系有哪些判定方法？答案：一是代數法，聯立直線與圓方程，通過判別式判斷；二是幾何法，計算圓心到直線距離\(d\)，比較\(d\)與半徑\(r\)大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r