大一高數試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D.-12.函數$y=x^2$的導數為（）A.$2x$B.$x$C.$3x^2$D.$2$3.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$4.下列函數在$x=0$處連續的是（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\begin{cases}1,x\neq0\\0,x=0\end{cases}$C.$y=x$D.$y=\lnx$5.曲線$y=x^3$在點$(1,1)$處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.46.已知$f(x)$的一個原函數是$x^2$，則$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x^3$D.$2$7.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞8.函數$y=\cosx$的導數是（）A.$\sinx$B.$-\sinx$C.$\cosx$D.$-\cosx$9.定積分$\int_{0}^{1}xdx=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.010.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=a$處（）A.有定義B.連續C.極限值等于函數值D.不一定有定義二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列屬于基本初等函數的有（）A.$y=x^n$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\log_ax$2.函數極限存在的條件有（）A.左極限存在B.右極限存在C.左、右極限都存在且相等D.函數在該點有定義3.下列求導公式正確的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(e^x)^\prime=e^x$D.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$4.關于不定積分，下列說法正確的是（）A.是求導的逆運算B.結果不唯一C.任意兩個原函數相差一個常數D.積分號與導數號可直接抵消5.函數$f(x)$在點$x_0$處連續的條件是（）A.$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在B.$f(x_0)$有定義C.$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$D.$f(x)$在$x_0$處可導6.下列函數中是奇函數的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=x+1$7.定積分的性質包括（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx$（$a\ltc\ltb$）8.以下哪些是無窮小量（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}e^x$9.函數$y=f(x)$在區間$[a,b]$上可積的充分條件有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上連續B.$f(x)$在$[a,b]$上有界且只有有限個間斷點C.$f(x)$在$[a,b]$上單調D.$f(x)$在$[a,b]$上無界10.關于導數的幾何意義，說法正確的是（）A.函數在某點的導數是該點切線的斜率B.導數大于0時函數單調遞增C.導數小于0時函數單調遞減D.導數為0時函數取得極值三、判斷題（每題2分，共20分）1.無窮小量乘以無窮大量結果一定是1。（）2.函數$y=\frac{1}{x}$在定義域內是連續的。（）3.若$f(x)$在$x_0$處可導，則一定在$x_0$處連續。（）4.定積分的值只與被積函數和積分區間有關。（）5.兩個奇函數的和是奇函數。（）6.函數$y=x^2$在$(-\infty,0)$上單調遞增。（）7.$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$。（）8.函數的極值點一定是駐點。（）9.若$f^\prime(x)=g^\prime(x)$，則$f(x)=g(x)$。（）10.基本初等函數在其定義域內都是可導的。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數$y=x^3+2x^2-3x+1$的導數。答案：根據求導公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，對函數各項分別求導，$y^\prime=3x^2+4x-3$。2.計算$\int(2x+1)dx$。答案：根據積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），$\int(2x+1)dx=2\intxdx+\int1dx=x^2+x+C$。3.求$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$。答案：對分子因式分解得$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$，$x\to1$時$x\neq1$可約去$x-1$，則原式$=\lim_{x\to1}(x+1)=2$。4.簡述函數在一點處連續的定義。答案：設函數$y=f(x)$在點$x_0$的某鄰域內有定義，如果$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$，則稱函數$f(x)$在點$x_0$處連續。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數$y=x^3-3x$的單調性與極值。答案：求導得$y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y^\prime=0$，得$x=\pm1$。當$x\lt-1$或$x\gt1$時，$y^\prime\gt0$，函數遞增；當$-1\ltx\lt1$時，$y^\prime\lt0$，函數遞減。極大值為$y(-1)=2$，極小值為$y(1)=-2$。2.定積分與不定積分有什么聯系和區別？答案：聯系：定積分計算常通過求不定積分得到原函數再利用牛頓-萊布尼茨公式計算。區別：不定積分是原函數族，結果帶常數$C$；定積分是一個數值，與積分區間有關，無常數項。3.舉例說明無窮小量和無窮大量的關系。答案：例如函數$y=\frac{1}{x}$，當$x\to0$時，$y$是無窮大量；當$x\to\infty$時，$y$是無窮小量。即同一個函數在不同的極限過程中，可能是無窮小量也可能是無窮大量，無窮小量（非零）的倒數是無窮大量，無窮大量的倒數是無窮小量。4.如何判斷函數在某區間內的凹凸性？答案：先求函數的二階導數$f^{\prime\prime}(x)$。若在某區間內$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，則函數在該區間是凹的；若$f^{\prime\prime}(x)\lt0$，則函數在該區間是凸的。答案一、單項選擇題1.B2.A3.A4.C