臨考押題卷（廣東省卷專用）數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答客觀題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列各數為負數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數的乘方，絕對值的性質，相反數的定義，根據有理數的乘方、絕對值的性質及相反數的定義分別對各選項進行計算，再根據結果判斷即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：、，是正數，該選項不合題意；、，是負數，該選項符合題意；、，是正數，該選項不合題意；、，是正數，該選項不合題意；故選：．2．中國紅十字會是中華人民共和國統一的紅十字組織，以保護人的生命和健康，維護人的尊嚴，發揚人道主義精神，促進和平進步事業為宗旨．下列紅十字會的圖標中，文字上方的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注意：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐選項判斷即可．【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；B、該圖形既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，不符合題意；C、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：C．3．國務院新聞辦公室2025年1月17日上午舉行新聞發布會，2024年末全國人口為萬人，比上年末減少139萬人．數據“萬”用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數整數位數減1，據此求解即可．【詳解】解：萬，故選：A．4．抖空竹是我國傳統體育項目，如圖，某一時刻對空竹進行受力分析，抖線給空竹的拉力為和，空竹受到的重力為G，方向豎直向下，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，幾何圖形的角度運算，先根據兩直線平行，同旁內角互補，得再結合，代入數值計算，即可作答．【詳解】解：如圖所示：∵，∴，∵∴∵，，∴，故選：A．5．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了冪的乘方的法則，單項式除以單項式的法則，平方差公式，負整數指數冪，解題的關鍵掌握是運算法則．根據冪的乘方的法則，單項式除以單項式的法則，平方差公式，負整數指數冪，逐一判斷選項即可【詳解】解：A、，原計算錯誤；

B、，原計算錯誤；C、，原計算錯誤；

D、，原計算正確故選D6．教室圖書角有《數學的故事》《數學簡史》《中國數學史話》《數學之美》四本書，小明從中任選兩本，拿到《數學簡史》《數學之美》的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了畫樹狀圖求概率．畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及拿到《數學簡史》《數學之美》的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：把《數學的故事》《數學簡史》《中國數學史話》《數學之美》四本書，分別用、、、表示，畫樹狀圖如下所示，從樹狀圖中可以看出共有種等可能的結果，其中拿到《數學簡史》《數學之美》的情況有種，小明從中任選兩本，拿到《數學簡史》《數學之美》的概率是．故選：A．7．已知，則計算結果的近似值為（

）A．7.070 B．5.656 C．4.242 D．2.828【答案】B【分析】本題考查二次根式的混合運算，先將化簡，再將代入計算即可．【詳解】解：，∵，∴．故選：B．8．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是直線，則點的位置在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本題考查的知識點是二次函數的圖象與性質、根據二次函數圖象確定相應一元二次方程根的情況、判斷點所在的象限，解題關鍵是根據二次函數圖象確定相應一元二次方程根的情況．由該二次函數與軸無交點，頂點在第二象限推得，即可得解．【詳解】解：由圖象可得，該二次函數與軸無交點，頂點在第二象限，一元二次方程無解，；當時，，點在第二象限．故選：．9．若關于的分式方程無解，則的值為（

）A．1 B． C．1或0 D．1或【答案】D【分析】本題考查了根據分式方程無解的情況求參數，運用分類討論思想解答是解題的關鍵；根據分式方程“無解”，分兩種情況：第一種是分式方程化為整式方程時，整式方程有解，但是整式方程的解會使最簡公分母為，產生了增根；第二種情況是化為整式方程時，整式方程無解，則原分式方程也無解，據此解答即可求解．【詳解】解：方程兩邊乘以得，，整理得，，當，即之時，方程為，方程無解，故分式方程也無解；當時，，分式方程無解，即產生增根，令，得，解得；符合題意，綜上，當或時，分式方程無解．故選：D．10．把函數的圖象在直線下方的部分沿直線翻折后，再把翻折前后的圖象中在直線上方部分叫做新函數圖象T．當直線與圖象T有四個交點時，n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數的圖象與不等式的結合，熟練運用數形結合是解題的關鍵．畫出大致圖象，由函數的解析式求得最低點為，點關于直線的對稱點為，由題意可知，解不等式即可．【詳解】解：函數的圖象如圖，可知函數的最低點為，點關于直線的對稱點為，當直線與圖象有四個交點時，可得，解得，故選：B．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．如圖是根據某班40名同學一周的體育鍛煉情況繪制的統計圖，該班40名同學一周參加體育鍛煉時間的眾數為h．【答案】8【分析】本題考查了眾數的概念：眾數是一組數據中出現次數最多的數．據此解答即可．【詳解】解：根據眾數的定義可知，一組數據中出現次數最多的數是眾數，從統計圖可知，出現次數最多的是8時，即眾數是8；故答案為：8．12．若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，先解不等式組，根據不等式組無解進行計算即可解答．熟練掌握不等式組無解是解題的關鍵．【詳解】解：，解不等式①得：，由不等式②得：，不等式組無解，，故答案為：．13．若m，n是一元二次方程的兩個根，則．【答案】9【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則，據此求出的值即可得到答案．【詳解】解：∵m，n是一元二次方程的兩個根，∴，∴，故答案為；．14．已知，則的值為．【答案】1【分析】本題考查代數式求值．熟練掌握整體代入思想，是解題關鍵．根據，可得，又因為，再整體代入即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：1．15．如圖，在矩形中，平分交于點E，．以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，則圖中陰影部分的面積是（結果保留π）．【答案】/【分析】本題主要考查了扇形面積求法以及矩形的性質等知識，利用矩形的性質以及結合角平分線的性質分別求出的長以及的度數，進而利用圖中陰影部分的面積，求出答案．【詳解】解：∵矩形的邊，平分，∴，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．故答案為：．三、解答題（一）：本大題共3個小題，每小題7分，共21分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．計算：．【答案】【分析】本題考查了實數的混合運算，根據有理數的乘方、特殊角的三角函數值、零指數冪、負整數指數冪、絕對值，計算即可得出答案，熟練掌握運算法則以及運算順序是解此題的關鍵．【詳解】解：17．如圖，在中，，(1)實踐與操作：用尺規作圖法在邊上找一點D，使得；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應用與計算：在（1）的條件下，若平分，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查尺規作圖—作垂線，中垂線的性質，含30度角的直角三角形，熟練掌握中垂線的性質和含30度角的直角三角形的性質，是解題的關鍵：（1）根據，得到點在線段的中垂線上，利用尺規作圖作線段的中垂線，交于點即可；（2）根據角平分線平分角，結合三角形的內角和定理，三角形的外角，求出，根據含30度角的直角三角形的性質進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；（2）∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∵，∴，∴．18．數學興趣小組在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹的高度，他在點C處測得大樹頂端的仰角為．再從C點出發沿斜坡走到達斜坡上的點D處，在點D處測得大樹頂端A的仰角為．已知斜坡的坡比為（點E，C，B在同一水平線上）．(1)求點D到地平線的距離；(2)求大樹的高度．（參考數據：，，）【答案】(1)點到地平線的距離為4米(2)大樹的高度是20米【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解直角三角形的應用-坡度坡角問題，勾股定理，熟練掌握銳角三角形函數的定義是解題的關鍵．（1）過點D作于點H，則，由斜面的坡比為，設米，則米，最后由勾股定理即可求解；（2）過點D作于點G，設米，則可得四邊形為矩形，故有米，米然后利用仰角，俯角及正切即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，則，由題意知：米，斜面的坡比為，，設米，則米，在中，由勾股定理得：，，，即米，點到地平線的距離為4米；（2）解：如圖2，過點作于點，設米，由（1）得：米，米，，四邊形為矩形，米，米，，米，米，在中，，，，經檢驗：是原方程的解，（米），答：大樹的高度是20米．四、解答題（二）：本大題共3個小題，每小題9分，共27分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19．睡眠是人體的一種主動過程，可以恢復精神和解除疲勞，充足的睡眠、均衡的飲食和適當的運動是國際社會公認的三項健康標準．某校為了讓全校學生認識睡眠的重要性，開展了“健康睡眠，你我同行”活動，隨機調查了該校60名學生每天的睡眠時間（單位：），將收集的數據分成五組進行整理，并繪制成如圖所示不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖．所抽取學生睡眠時間頻數分布表組別睡眠時間人數/名組內睡眠總時間5281066150151261092根據以上信息，解答下列問題：(1)補全頻數分布直方圖，所抽取學生每天的睡眠時間的中位數落在________組；(2)求所抽取學生每天的睡眠時間的平均數；(3)由于初中生的身體處于生長階段，需保證每天的睡眠時間不少于8小時（含8小時），若該校共有1500名學生，請你估計該校能保證每天的睡眠時間不少于8小時（含8小時）的學生總人數．【答案】(1)見解析；C(2)(3)人【分析】本題主要考查了頻數分布直方圖，頻數分布表，用樣本估計總體，求平均數，正確讀懂統計圖與統計表是解題的關鍵．（1）先求出C組的人數，再補全統計圖，接著根據中位數的定義求解即可；（2）先求出所有組別的睡眠總時間之和，再除以60即可得到答案；（3）用1500乘以樣本中睡眠時間不少于8小時的人數占比即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，補全統計圖如下：把這60名學生的睡眠時間按照從低到高的順序排列，中位數為第30名和第31名學生的睡眠時間的平均數，∵，∴中位數落在C組；（2）解：，∴所抽取學生每天的睡眠時間的平均數為；（3）解：人，∴估計該校能保證每天的睡眠時間不少于8小時（含8小時）的學生總人數為人．20．如圖，在直角三角形中，，，，動點以個單位每秒的速度沿的線路運動，交于點．設運動時間為秒，三角形的周長記為，與的比值記為．(1)請直接寫出、分別關于的函數表達式，并注明的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數，的圖象；(3)請結合函數圖象，直接寫出時的取值范圍.（近似值保留一位小數，誤差不超過0.2）．【答案】(1)，(2)見解析(3)當時的取值范圍為【分析】（1）先利用勾股定理求得，，，在中，，利用三角函數的定義求得，，據此求解即可；（2）列表，描點，連線，畫出函數圖象即可；（3）觀察圖象分析，找圖象在圖象上方及交點的部分．本題主要考查了一次函數與幾何結合問題、反比例函數的圖象與性質、勾股定理及解直角三角形等內容，利用數形結合是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，，∵，∴在中，，，∴，，∴，，∴，；（2）解：依題意，列表：0125601052描點，連線，函數圖象如圖所示，（3）解：由圖象得，當時的取值范圍為．21．綜合與實踐【主題】什么形狀的車輪讓車輛行駛更平穩【素材】三種形狀的車輪，圓形車輪、正方形車輪、等邊三角形車輪【實踐操作】分別將車輪豎直放在水平地面上進行無滑動的滾動，車輛的平穩關鍵看車輪軸心是否穩定，即車輪的軸心是否在一條水平線上運動．(1)如圖1，若圓形車輪直徑為，其車輪軸心O到地面的距離始終為______；(2)如圖2，正方形車輪在滾動過程中軸心（對角線交點）到地面的距離不斷變化，若正方形的邊長為，車輪軸心距離地面的最高點與最低點的高度差為_____；(3)如圖3，等邊三角形車輪在滾動過程中軸心（三邊垂直平分線的交點）到地面的距離不斷變化，若等邊三角形邊長為，該車輪在地面上無滑動地滾動一周，求點經過的路徑長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用圓的有關性質解答即可得到答案；（2）利用正方形的性質，軸心的運動軌跡的特征解答即可得到答案；（3）由題意畫出符合題意的圖形，類比得到點的軌跡，再利用等邊三角形性質、含直角三角形性質，解直角三角形求出相關線段長，再由圓的弧長公式解答即可得到答案．【詳解】（1）解：連接并延長交于點，如圖所示：車輪滾動過程中軸心到地面的距離始終保持不變，中軸心到地面的距離為．圓形車輪在滾動過程中，車輪軸心O到地面的距離始終不變等于圓的半徑，車輪軸心O到地面的距離始終為．故答案為：；（2）解：過點作于點，以點為圓心，為半徑畫弧交正方形的邊于點，如圖所示：為正方形的中心，，圓心距離地面的最低距離為，由題意知，在等腰中，，點的移動軌跡為以點為圓心，為半徑的弧，點為車輪軸心距離地面的最高點，，車輪軸心距離地面的最高點與最低點的高度差為．故答案為：；（3）解：連接、，過點作于點，如圖所示：為等邊三角形的中心，，為等邊三角形的中心，．，，，由等邊三角形邊長為，可知，，的長，車輪在地面上無滑動地滾動一周，點經過的路徑長為．【點睛】本題主要考查綜合與實踐，涉及圓的有關性質、正方形的性質、等邊三角形的性質、等腰直角三角形性質、含直角三角形性質、解直角三角形及弧長公式，本題是探究型題目，熟練掌握上述幾何圖形的性質是解題的關鍵．五、解答題（三）：本大題共2個小題，第22題13分，第23題14分，共27分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）22．綜合與探究問題情境：數學課上，同學們以等腰直角三角形為背景，探索圖形運動變化中元素之間的不變關系．如圖1，已知中，．點是射線上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段（點分別是的對應點）．特例分析：（1）創思小組先研究了點與點重合時的情形，如圖2．連接．請判斷此時線段與的數量關系和位置關系，并證明你的結論；深入探究：（2）博聞小組沿著上述思路繼續探究，他們改變點的位置，提出了如下問題，請你解答：①如圖3，當點在線段上，連接，猜想線段與的數量關系和位置關系，說明理由；②在點沿射線方向運動過程中，是否存在某一時刻使是以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出相應的兩點間的距離；若不存在，說明理由．【答案】（1），，見解析；（2）①，；②或【分析】（1）根據旋轉的性質，全等三角形的判定可證明，得出，則，進而可證四邊形是平行四邊形，即可得出結論；（2）①連接，并延長交于點，根據等邊對等角可求出．證明得出，則，進而可證四邊形是平行四邊形，即可得出結論；②分點D在線段上和線段的延長線上討論即可．【詳解】解：（1），．證明：線段繞點逆時針旋轉得到線段，．，．，，，四邊形是平行四邊形，，．（2）解：①，．理由：連接，并延長交于點，．線段繞點逆時針旋轉得到線段，，．，，，，．，四邊形是平行四邊形．，②存在；當點D在線段上時，由①知：，，當時，，，即，解得或（不符合題意，舍去）；當時，由①知：，，，，，和重合，故不存在，不符合題意，舍去；當點D在線段的延長線上時，同理可證，，當時，，，即，解得或（不符合題意，舍去）；當時，同理可證，，，，，和重合，故不存在，不符合題意，舍去；綜上，兩點之間的距離為或．【點睛】本題考查了旋轉