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文檔簡介

3.1微分中值定理第三章導數的應用

基礎教學部羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.1羅爾中值定理定理1（羅爾中值定理）如果函數滿足條件：3(1)在閉區間上連續；(2)在開區間內可導；(3)則在區間內至少存在一點，使.證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=m,則因此若M>m,則M和m中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使則由費馬引理得3.1.1羅爾中值定理4注意:1)定理條件條件不全具備,結論不一定成立.例如,3.1.1羅爾中值定理5使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內可導,且在(a,b)內至少存在一點羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.2拉格朗日中值定理7定理2（拉格朗日中值定理）如果函數滿足下列條件：(1)在閉區間上連續；(2)在開區間內可導,那么在開區間內至少存在一點，使得幾何意義連接曲線兩端點的弦的斜率為，顯然在曲線上至少存在一點，使過該點的切線斜率為與弦平行,即

或3.1.2拉格朗日中值定理注在拉格朗日中值定理中，如果再增加一個條件：那么定理的結論正是羅爾定理的結論.8即羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況.3.1.2拉格朗日中值定理例1驗證拉格朗日中值定理對于函數在區間上的正確性.9滿足證因為在閉區間上連續，在開區間內可導，拉格朗日中值定理的條件，則在開區間內至少存在一點，使得即

解之得

所以拉格朗日中值定理對于函數在區間上的正確性.3.1.2拉格朗日中值定理例2利用拉格朗日中值定理證明：當時，.10證先證時的情況.設，因為在內的任何有限區間上均滿足拉格朗日中值定理的條件，在內任取，在閉區間上使用拉格朗日中值定理，在開區間內至少存在一點，使得即

整理得

因為，，所以.同理可證時，以上結論仍然成立.所以當時，.3.1.2拉格朗日中值定理推論1如果在開區間內的導數恒為零，那么在區間11由拉格朗日中值定理可以得到兩個非常重要的推論：證設，是開區間內的任意兩點，且，由拉格朗日中值定

內是一個常數.由假定得

，所以，即

因為，,是區間內的任意兩點，所以

理，得3.1.2拉格朗日中值定理推論2如果對于開區間內的任意，總有，那么在開12證令，因為由推論1可知，在區間內，，即

區間內，與之差是一個常數，即（是常數）3.1.2拉格朗日中值定理設在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，和是該13即上式也可以看作拉格朗日中值定理使用.區間內的任意兩點，在區間上使用拉格朗日中值定理可得羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.3柯西中值定理

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