1.7函數(shù)的連續(xù)性第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.1函數(shù)的連續(xù)性3對應(yīng)的函數(shù)值的差稱為函數(shù)的改變量（或增量），記作設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量由變到時，差稱為自變量在點的改變量（或增量），記作一般地，可以為正值，可以為負(fù)值，也可以為零．既與點有關(guān)，也與的增量有關(guān)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性4定義1設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果在處當(dāng)自變自變量的改變量趨于零時，對應(yīng)函數(shù)的改變量也趨于零，即那么函數(shù)在點處是連續(xù)的．稱為函數(shù)的連續(xù)點．定義2設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)滿足那么函數(shù)在點處是連續(xù)的．稱為函數(shù)的連續(xù)點．如果，那么稱函數(shù)在點處右連續(xù)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性5例1證明函數(shù)在點處連續(xù)．證函數(shù)在

處的改變量為因為所以函數(shù)在點處連續(xù)．如果，那么稱函數(shù)在點處左連續(xù)；函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在點處既左連續(xù)又右連續(xù)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性6例2討論函數(shù)在點處的連續(xù)性．解

又即函數(shù)在點處連續(xù)．1.7.1函數(shù)的連續(xù)性7如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點連續(xù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)，那么稱在閉區(qū)間上連續(xù)．函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，稱它是上的連續(xù)函數(shù)．可以證明：一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.2函數(shù)的間斷點9如果函數(shù)在點處不連續(xù)，那么稱在點處間斷，點稱為函數(shù)的間斷點．由函數(shù)在點處連續(xù)的定義可知，函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件：（1）在點的某鄰域有定義；（2）存在；（3）．如果上述三條件中任何一個不滿足，那么點就是函數(shù)的間斷點．1.7.2函數(shù)的間斷點10根據(jù)函數(shù)在間斷點處單側(cè)極限的情況，將間斷點分為兩類：(1)如果點是函數(shù)的間斷點，并且函數(shù)在點處的左極限，右極限都存在，那么稱點是函數(shù)的第一類間斷點．(2)如果點是函數(shù)的間斷點，但不是第一類間斷點，那么稱點是函數(shù)的第二類間斷點．在第一類間斷點中，如果左極限與右極限相等，即存在．那么稱此間斷點為可去間斷點．如果點是函數(shù)可去間斷點，那么我們可以補充定義或者修改的值，由構(gòu)造出一個在點處連續(xù)的函數(shù)．1.7.2函數(shù)的間斷點11例如，函數(shù)在處無定義，因此是該函數(shù)的間斷點．因為，那么在處，為連續(xù)函數(shù)．在第一類間斷點中，如果左極限與右極限不相等，此間斷點稱為跳躍間斷點．如果定義1.7.2函數(shù)的間斷點12在第二類間斷點中，如果當(dāng)或時，，那么稱為函數(shù)的無窮間斷點．例3求函數(shù)間斷點，并判斷其類型．解令，得函數(shù)的間斷點為，，為函數(shù)的可去間斷點．為函數(shù)的無窮間斷點．1.7.2函數(shù)的間斷點13例4討論函數(shù)，在處的連續(xù)性．解在處，，所以，所以為函數(shù)的可去間斷點．又因為，所以在處不連續(xù)，1415函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性17定理1（連續(xù)函數(shù)的四則運算）如果函數(shù)在點處連續(xù)，那么證（僅證和的形式）一、連續(xù)函數(shù)和、差、積、商的連續(xù)性在點處連續(xù)．連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為零）都是連續(xù)函數(shù)．因為在處連續(xù)，即由極限的四則運算法則可得，所以在處連續(xù)．1.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性18定理2若函數(shù)在處連續(xù)，又函數(shù)在點處連續(xù)，二、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性且，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)．因為在點處連續(xù)，所以，即，又因為在點處連續(xù)，所以可見，求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果在點處極限存在，又在對應(yīng)的處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換．1.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性19例5求極限．解函數(shù)可以看成是由和復(fù)合而成．由于，而在處連續(xù)．由定理2知1.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性20三、初等函數(shù)的連續(xù)性由初等函數(shù)的定義，基本初等函數(shù)的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的四則運算以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，可以得出如下重要結(jié)論：根據(jù)這個結(jié)論，如果是初等函數(shù)，是其定義域內(nèi)的一點，那么一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．求時，只需將代入函數(shù)求其函數(shù)值即可．例6求．解因為是初等函數(shù)的定義域內(nèi)的一點，所以函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)的間斷點02目錄初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)041.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)22定義3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在，使得對于任意的都有那么稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大值（或最小值）；稱為函數(shù)的最大值點（或最小值點）．最大值和最小值統(tǒng)稱最值．定理3（最值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間

上連續(xù)，那么函數(shù)在

上必取得最大值和最小值．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)23定理3（最值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間

上連續(xù)，那么函數(shù)在

上必取得最大值和最小值．注意兩點：（1）若把定理中的閉區(qū)間改成開區(qū)間，定理的結(jié)論不一定成立，例如函數(shù)在

內(nèi)是連續(xù)的，但它在

內(nèi)既無最大值又無最小值．（2）若函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點，定理的結(jié)論不一定成立，例如函數(shù)在

間斷，在

上既無最大值也無最小值．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)24定理4（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，，設(shè)是介于與之間任一值，則在內(nèi)至少存在一點使得幾何意義：平行于軸的直線至少與上的連續(xù)曲線

相交于一點．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)25推論（零點定理）若函數(shù)在

上連續(xù)且，則至少存在一點，使得即方程在內(nèi)至少存在一個根．幾何意義：如果異號，那么連續(xù)曲線與軸

至少有一個交點．1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)26