試題試題2024北京八一學校高二12月月考數學本試卷共4頁，120分.考試時長90分鐘?考生務必將答案答在答題卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.一?選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個符合題目要求的一項.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知圓的一條直徑的端點分別是，則該圓的方程為（）A. B.C. D.3.兩條平行線與間的距離為（）A. B. C. D.14.在四面體中，，則（）A. B.C. D.5.已知向量是平面內兩個不相等的非零向量，非零向量在直線上，則“，且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條7.已知點，且點是圓上的動點，，則直線的方程為（）A.或B.或C.或D.或8.在《九章算術》中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”，現有一個羨除如圖所示，平面，四邊形，均為等腰梯形，，，，到面的距離為3，則這個羨除的體積是（）A.128 B.120 C.112 D.1049.設直線，圓，若在直線上存在一點，使得過的圓C的切線（為切點）滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點，為正方體表面上的動點.下列敘述正確的是（）A.當點在側面上運動時，直線與平面所成角的最大值為B.當點為棱的中點時，平面C.當點時，滿足平面的點共有2個D.當點在棱上時，點到平面的距離的最小值為二?填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.若直線與直線平行，則__________.12.以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是______.13.若方程表示圓，則的取值范圍為__________.14.在三棱錐中，、、兩兩垂直且長度均為6，定長為的線段的一個端點在棱上運動，另一個端點在△內運動（含邊界），若線段的中點的軌跡的面積為，則的值為______．15.2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）近似伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標系中，把到定點、距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線C．已知點是雙紐線C上一點，下列說法中正確的是______．（填上你認為所有正確的序號）①雙紐線C關于原點O中心對稱；②雙紐線C上滿足的點P只有1個；③；④的最大值為．三?解答題：本大題共4小題，共45分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知直線過點，直線.（1）若，求直線的一般式方程；（2）若直線與軸和直線圍成的三角形的面積為4，求直線的一般式方程.17.已知點及圓.（1）設過點的直線與圓交于兩點，當時，求以為直徑的圓的方程；（2）設直線與圓交于兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.18.在如圖所示的多面體中，平面平面，且是的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）若點為的中點，求直線與平面所成的角的大小.19.已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2.且被直線截得的弦長為.（1）圓的方程；（2）設是直線上動點，過點作圓的切線，切點為，證明：經過，，三點的圓必過定點，并求所有定點坐標.

參考答案一?選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】由題可得直線斜率，即可得傾斜角.【詳解】，則直線斜率為，則直線傾斜角滿足.故選：B2.【答案】D【分析】利用中點坐標公式求出圓心，由兩點間距離公式求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】由題意可知的中點為，則圓的半徑為，故圓的方程為,故選：D．3.【答案】A【分析】根據兩條平行線間的距離公式可得答案.【詳解】，兩條平行線與間的距離.故選：A.4.【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算法則求解【詳解】連接,,由已知得，故選：D5.【答案】B【分析】由線面垂直的定義和判定定理，結合充分條件和必要條件的定義判斷即可得到答案.【詳解】若，且，則，，由于向量所在的直線不一定相交，非零向量所在的直線為，所以不一定能得到；若，非零向量所在的直線為，向量是平面內兩個不相等的非零向量，則，，可得，.綜上所述，“，且”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.【答案】C【詳解】由題意，得兩圓的標準方程分別為和，則兩圓的圓心距，即兩圓外切，所以兩圓有3條公切線；故選C．【點睛】本題考查圓與圓的位置關系和兩圓公切線的判定；在處理兩圓的公切線條數時，要把問題轉化為兩圓位置關系的判定：當兩圓相離時，兩圓有四條公切線；當兩圓外切時，兩圓有三條公切線；當兩圓相交時，兩圓有兩條公切線；當兩圓內切時，兩圓有一條公切線；當兩圓內含時，兩圓沒有公切線.7.【答案】B【分析】設，結合題意列方程求解即可.【詳解】設，則，又，解得，，則或，則或，所以直線的方程為或，即或.故選：B.8.【答案】A【分析】該多面體可分割成一個直三棱柱以及兩個全等的三棱錐，即可利用體積公式求解.【詳解】過分別作，連接,則該多面體可分割成一個直三棱柱以及兩個全等的三棱錐，由于平面，平面,故，又，平面，故平面，故三棱柱為直三棱柱，由于平面，平面，故平面，由于到平面的距離為3，故到平面的距離為3，故,其體積為,結合四邊形，均為等腰梯形，，，因此三棱錐全等，故體積為，因此這個羨除的體積是，故選：A9.【答案】C【分析】連接，結合圓的切線性質可推得點在以點為圓心，為半徑的圓上，再由題意可知該圓與直線有公共點，利用點到直線的距離公式列不等式，即可求得答案.【詳解】連接，則.圓的圓心為2,0，半徑為；又，所以四邊形為正方形，所以，于是點在以點為圓心，為半徑的圓上.則該圓與直線有公共點，所以圓心到直線的距離，解得.故選：C10.【答案】D【分析】與不可能垂直，故選項A錯誤；平移與平面相交于一點，故選項B錯誤；當點時，滿足平面的點P共有1個.當點為平面的中心時，故判斷選項C；利用體積相等即可求出點P到平面的距離的最小值為判斷選項D.【詳解】由于線面角的最大值為，與不可能垂直，故直線與平面所成角的最大值達不到.選項A錯誤；取的中點為，的中點為,連接,相交于點，連接,且，故，平面,面，故不能與平面平行，故選項B錯誤；當點時，滿足平面的點P共有1個.當點為平面的中心時，故選項C錯誤，到平面的距離始終為，故當點運動到點時，取得最小值為，故，，,，故，故選項D正確.故選：D【點睛】易錯點睛計算夾角時，尤其是直線與平面之間的角度，需注意不可能存在的情況，防止誤解題意.關于平面與直線平行的判斷，確保考慮所有的幾何約束條件，避免遺漏.二?填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】3【分析】根據直線平行的充要條件判斷即可.【詳解】解：因為直線與直線平行，顯然不合題意，所以，所以.故答案為：312.【答案】【分析】求出圓心到切線的距離即為圓半徑，可得方程．【詳解】由題意圓的半徑為，所求圓的方程為．故答案為：．【點睛】本題考查圓的方程，解題關鍵是求出圓的半徑，根據是圓的切線的性質：圓心到切線的距離等于圓的半徑．13.【答案】或，【分析】將其配方，即可根據求解.【詳解】由可得，故，解得或，故答案為：或，14.【答案】2【分析】根據題設，易知的軌跡是以為球心，半徑為的球面，利用球體的面積公式列方程，即可求.【詳解】由題意知：且，∴△中，，故的中點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，∴軌跡的面積，可得.故答案為：.15.【答案】①②④【分析】對于①，根據雙紐線的定義求出曲線方程，然后將替換方程中的進行判斷，對于②，由題意得，從而可得點在軸上，進行可判斷，對于③，根據三角形的等面積法分析判斷，對于④，由向量的性質結合余弦定理分析判斷.【詳解】對于①，因為定義在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，所以，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關于原點中心對稱，所以①正確，對于②，若雙紐線上的點滿足，則點在軸上，即，所以，得，所以這樣的點只有一個，所以②正確，對于③，根據三角形的等面積法可知，即，所以，所以③錯誤，對于④，因為，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值為，所以④正確，故答案為：①②④三?解答題：本大題共4小題，共45分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）或【分析】（1）先求得直線的斜率，進而求得直線的方程并轉化為一般式.（2）根據直線的斜率是否為、是否存在進行分類討論，結合圍成三角形的面積來求得正確答案.【小問1詳解】直線的斜率為，若，則直線的斜率為，直線的方程為.【小問2詳解】點在直線上，當直線的斜率為時，直線的方程為，此時直線與軸和直線無法圍成三角形，不符合題意.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圍成三角形的面積為，符合題意.當直線的斜率存在，且不為零時，設直線的方程為，令，解得，所以，解得，此時直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.17.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【分析】（1）根據題設，利用幾何法求出以為直徑的圓的半徑，即可求解；（2）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去得到關于的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到，從而有，再根據題設條件得到，即可求解．【小問1詳解】因為圓，即的圓心為，，因為，又，所以，故以為直徑的圓的方程為.【小問2詳解】由，消去，整理得，由于直線交圓于，兩點，故，即，解得，則實數的取值范圍是，假設符合條件的實數存在，由于垂直平分弦，故圓心必在直線上，所以的斜率，所以，由于，故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．18.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到,根據線面垂直的性質定理得到，進而證得結論；（2）先求得平面ECM與面BCD的法向量，進而求得法向量所成角的余弦值；（3）分別求出直線的方向向量與平面的法向量，根據線面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】證明：∵，是的中點，∴，又平面，面，，∵，平面，平面，∴平面，又平面，∴；【小問2詳解】以為原點，分別以，為，軸，豎直向上為軸，如圖建立坐標系.則，，，，，，，，，設平面的一個法向量m=x則，取，解得：，，；設平面的一個法向量，則，取，解得：，，，，記平面與平面所成角為，則，所以平面與平面夾角的余值為．【小問3詳解】，，，，，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角為.19.【答案】（1）；（2）證明見解析；定點和.【分析】（1）由已知結合垂徑定理列式求得值，則圓的方程可求；（2）由已知