試題試題2024北京八一學校高二9月月考數學2024.09本試卷共4頁，120分.考試時長90分鐘考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.復數在復平面上對應的點的坐標是A. B. C. D.2.已知角的終邊經過點，則（）A. B. C. D.3.如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一平面內，若四邊形是邊長為2的正方形，則這個八面體的表面積為（）A.8 B.16 C. D.4.已知圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為3，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.5.在正方體中，直線與直線所成角的大小為（）A. B. C. D.6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，l//m，則C.若，，則 D.若，α//β，則7.已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.在正方體中，點E，F分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.A，E，B，F四點共面D.直線與底面所成角的正切值為9.四面體的一條棱長為x，其余棱長均為2，記四面體的表面積為，則函數的最大值為（）A. B. C. D.10.已知正方體的棱長為2，點，分別是棱，的中點，點在底面內，點在線段上，若，則長度的最小值為A. B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知長方體的長、寬、高分別為，，，則它的體對角線長為___________．12.如圖，已知矩形中，，，平面，并且，則______．13.在正三棱柱中，，則直線與所成角的大小為__________；點A到平面的距離為________.14.在邊長為4的正方形ABCD內剪去四個全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長為的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為________.15.如圖，正方體的棱長為4，E為的中點，F為線段上的動點，過點A，E，F的平面截該正方體所得截面記為S，當時，截面S與，分別交于M，N，則_________.三、解答題：本大題共4小題，共45分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知正三棱錐，請從條件①，條件②，條件③中選擇兩個條件作為已知，使得三棱錐存在，并求出此正三棱錐的體積.①底面邊長為2；②側棱長為；③斜高為2.17.如圖，在棱長為2的正方體中，點E，F分別是棱，的中點.求證：（1）∥平面；（2）平面.18.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，側面是正三角形，是上一動點，N是的中點.（1）若∥平面，求證：M是的中點；（2）若平面平面，求線段的長；（3）是否存在點M、使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19.已知定義在上的函數，滿足以下三個條件：①；②；③存在集合.（1）判斷函數的奇偶性，并說明現由；（2）求，的值；（3）判斷命題p：“是周期函數”的真假，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】D【詳解】試題分析：，所以對應的點的坐標為．考點：復數的運算．2.【答案】C【分析】根據條件，利用三角函數的定義，即可求出結果.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，故選：C3.【答案】C【分析】先計算出每個面的面積，再乘以8即為表面積；【詳解】每個面的面積為，所以該圖形的表面積為.故選：C4.【答案】A【分析】根據題意畫出立體圖像,根據已知條件求得圓錐的高,即可求得答案.【詳解】設圓錐的高為,母線長為,底面半徑為畫出立體圖像,如圖:根據立體圖形可得:根據圓錐的體積計算公式:故選:A.5.【答案】C【分析】作出輔助線，得到或其補角為直線與直線所成角，根據為等邊三角形，故，得到答案.【詳解】連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，則，故或其補角為直線與直線所成角，連接，則，即為等邊三角形，故，直線與直線所成角大小為.故選：C6.【答案】D【分析】根據線線，線面及面面位置關系判斷各個選項即可.【詳解】對于A:若,則可能，A錯誤；對于B:若,則可能,B錯誤；對于C:若則可能不垂直，C錯誤；對于D:若,則,D正確.故選：D.7.【答案】B【分析】將兩個條件相互推導，根據能否推導的結果判斷充分必要條件.【詳解】依題意是空間不過同一點的三條直線，當在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當兩兩相交時，設，根據公理可知確定一個平面，而，根據公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運用，屬于中檔題.8.【答案】B【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果判斷A，B；利用異面直線的判斷方法判斷C；利用空間向量求線面夾角判斷D．【詳解】設正方體中棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，對于A：，，設平面的一個法向量n=x,y,z，則，令，則，可得，且，則，所以不平行于面，故A錯誤；對于B：DA=2,0,0，，，則，，即，，且，平面ADF，所以平面ADF，故B正確；對于C：因為面，面，且，所以直線與BF為異面直線，故C錯誤；對于D：因為，且底面的法向量，則，設直線與底面所成角為，則，可得，，所以直線與底面所成角的正切值為，故D錯誤．故選：B．9.【答案】B【分析】如圖，設AB為x，由題可得Fx表達式，即可得答案【詳解】如圖，設AB為x，因其他棱長為2，則.取AB中點為E，則，又由題可得，結合，由勾股定理，，則則，則.當且僅當時取等號.故選：B10.【答案】C【詳解】解：如圖，取B1C1中點O，則MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，∵PM，則OP＝1，∴點P在以O為圓心，1以半徑的位于平面A1B1C1D1內的半圓上．可得O到A1N的距離減去半徑即為PQ長度的最小值，作OH⊥A1N于H，△A1ON的面積為2×2，∴，可得OH，∴PQ長度的最小值為．故答案為;C.點睛：這個題目考查了立體中面面垂直的性質的應用，線面垂直的應用，以及數形結合的應用，較好的考查了學生的空間想像力．一般處理立體的小題，都會將空間中的位置關系轉化為平面關系，或者建系來處理．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】由長方體的性質計算．【詳解】長方體的對角線長為．故答案為：．12.【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出，由線面垂直的性質得到，由勾股定理求解即可．【詳解】連接，在矩形中，，，則，因為平面，平面，則，在中，，則．故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】分析可知直線與所成角為（或其補角），即可得結果；做輔助線，可證平面，即可得點A到平面的距離.【詳解】因為∥，可知直線與所成角為（或其補角），由題意可知：為正方形，則，所以直線與所成角的大小為；取的中點，連接，因為為等邊三角形，則，又因為平面，平面，則，且，平面，可得平面，所以點A到平面的距離為.故答案為：；.14.【答案】【分析】連結EG，HF，交點為O，求出點E到線段AB的距離，利用勾股定理求出EB和SO的長度，最后利用棱錐體積公式求出體積即可.【詳解】連結EG，HF，交點為O，正方形EFGH的對角線EG＝2，EO＝1，則點E到線段AB的距離為1，EB＝＝.SO＝＝＝2，故正四棱錐SEFGH的體積為×()2×2＝.故答案為：【點睛】本題考查了棱錐體積公式，考查了數學運算能力，考查了空間想象能力.15.【答案】【分析】由面面平行的性質可得截面與平面及平面的交線，后由幾何知識可得答案.【詳解】由圖，截面S與平面，平面相交，因平面//平面，則相應交線平行.則過A作EF的平行線，則平行線與交點即為M，與延長線交于H.注意到，則，又，則.又注意到，則.又截面S與平面，平面相交，則同理過M作AE平行線，則平行線與交點即為N.注意到，則.則根據勾股定理，.故答案為：.三、解答題：本大題共4小題，共45分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】答案見解析【分析】根據題意分析可知：不能選②③.取的中心O，的中點為，若選①②：求得，進而可得體積；若選①③：求得，進而可得體積.【詳解】因為，可知②③不能同時成立，故不能選②③.取的中心O，的中點為，連接，則平面，，若選①②：則，，在中，則，所以正三棱錐的體積為；選①③：則，，，在中，則，所以正三棱錐的體積為.17.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）根據平面性質可得，再根據線面平行的判定定理分析證明；（2）根據題意可得，，結合線面垂直的判定定理分析證明.【小問1詳解】因為E，F分別為，的中點，，，則且，可知四邊形為平行四邊形，則，且平面，平面，所以∥平面.【小問2詳解】因為四邊形為正方形，則，且，則，又因為平面，平面，則.且，則，且，平面，所以平面.18.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，1【分析】（1）根據線面平行的性質可得，再結合平行線的性質分析證明；（2）根據面面垂直的性質可得平面，進而可得，即可得結果；（3）做輔助線，可證平面，平面，可得，即可得結果.【小問1詳解】若∥平面，且平面，平面平面，可得，在中，點N是中點，所以點M是中點.【小問2詳解】如圖，取中點F，連接，.因為是正三角形，則，且平面平面，平面平面，平面，可得平面，由平面，可得，在因為側面是正三角形，則.因為底面是菱形，且，可知是等邊三角形，則且.所以.【小問3詳解】取中點E，連接，.因為四棱錐的底面是菱形，側面是正三角形，則，.由（2）可得，，且平面，，所以平面，由平面，可得.又因為，、在平面內，所以平面.過E作交于點M.因為，所以點平面.所以平面，因為平面，所以，因為E為的中點，，所以，即.19.【答案】（1）