2025年高三年級第二次診斷性測驗理科數學（問卷）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A．B．C．D．2.若復數，在復平面內對應的點關于虛軸對稱，且，則=（）A．B．C．D．3.已知命題：，；：，，則下列命題中為真命題的是（）A．B．C．D．4.已知函數，若，則實數=（）A．-1B．4C.或1D．-1或45.若是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則∥B．若∥，，則C.若，∥，，則D．若∥，，，則∥6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．4B．C.D．67.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，出行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請計算此人第二天走的路程”.該問題的計算結果為（）A．24里B．48里C.96里D．192里8.習近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優秀傳統文化創造性轉化。我國古代數學名著《九章算術》中收錄了“更相減損術”這一經典算法，據此設計的程序框圖如圖所示，若輸入的的值分別為16，24，1，則輸出的的值為（）A．2B．3C.4D．59.若銳角滿足，則函數的單調遞減區間為（）A．B．C.D．10.過等軸雙曲線的焦點作它的一條漸近線的平行線分別交另一條漸近線以及雙曲線于兩點，則（）A．B．C.D．的大小關系不確定11.函數的圖象的大致形狀是（）A．B．C.D．12.是過拋物線焦點的弦，其垂直平分線交軸于點，設，則的值是（）A．B．2C.4D．與的值有關第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若變量滿足約束條件，且的最小值為-3，則=．14.有五名同學站成一排照畢業紀念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法種數有（用數字作答）．15.在中，角的對邊分別為，若成等比數列，，則的值為．16.已知函數，，若，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知是等差數列，且，；數列滿足：．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設數列的前項和為，若，求的最大值．18.如圖，在直三棱柱中，底面是等邊三角形，為的中點．（Ⅰ）求證∥平面；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值．19.公交車的數量太多容易造成資源浪費，太少又難以滿足乘客的需求，為了合理布置車輛，公交公司在2路車的乘客中隨機調查了50名乘客，經整理，他們候車時間（單位：）的莖葉圖如下：（Ⅰ）將候車時間分為八組，作出相應的頻率分布直方圖；（Ⅱ）若公交公司將2路車發車時間調整為每隔15發一趟車，那么上述樣本點將發生變化（例如候車時間為9的不變，候車時間為17的變為2），現從2路車的乘客中任取5人，設其中候車時間不超過10的乘客人數為，求的數學期望．20.已知點是橢圓上的點，點的坐標為，直線上的任意一點滿足（為坐標原點）．（Ⅰ）求直線的方程；（Ⅱ）設的右焦點為，過點作的垂線交直線于點，證明在定圓上．21.已知函數（其中，是自然對數的底數）．（Ⅰ）當時，求的最小值；（Ⅱ）若恒成立，求證．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，），以為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設，直線交曲線于兩點，是直線上的點，且，當最大時，求點的坐標．23.選修4-5：不等式選講已知函數．（Ⅰ）當時，解不等式；（Ⅱ）若存在實數，使得不等式成立，求實數的取值范圍．試卷答案一、選擇題1-5:BACDD6-10:DCCBA11、12：AB二、填空題13.-114.3615.16.三、解答題17.（Ⅰ）設的首項為，公差為，依題意，有，解得，所以；（Ⅱ），，由，設，由及二次函數單調性可知，的最大值為8．18.（Ⅰ）連結交于，連結，都是中點，∥，∥平面；（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標系，，，設面的法向量為，由，得，同理得面的法向量為，，由圖判斷二面角的平面角為銳角，其余弦值為．19.（Ⅰ）經統計落入分組區間內的頻數依次為4、4、10、12、8、6、4、2各組分組區間相應的頻率/組距的值依次為0.02、0.02、0.05、0.06、0.04、0.03、0.02、0.01，依此畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）調整為間隔15分鐘發一趟車之后，候車時間原本不超過10分鐘的數據就有14個，發生了變化的候車時間中不超過10分鐘的數據又增加了20個，共計34個.所以候車時間不超過10分鐘的頻率為，由此估計一名乘客候車時間不超過10分鐘的概率為0.68.從乘客中任取5人，其中候車時間不超過10分鐘的人數，則，．20.（Ⅰ）設，由，得，，而，直線的方程為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，過點且與的垂直的直線方程為，而直線的方程為，聯立，解出，代入橢圓的方程，得，化簡得，點在定圓上．21.（Ⅰ）當時，，，設，，所以是增函數，又，當時，，遞減；當時，，遞增；故；（Ⅱ），，是增函數；，由，當時；若，由，當時，；故僅有一解，記為，則當時，，遞減；當時，，遞增；，題意即為，而，，記，顯然是增函數，則，，綜上：．22.（Ⅰ）直線的普通方程為，