第2課時

正弦定理第六章

6.4.3余弦定理、正弦定理學習目標XUEXIMUBIAO1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系并掌握正弦定理.2.能運用正弦定理與三角形內角和定理解決簡單的解三角形問題.NEIRONGSUOYIN內容索引知識梳理題型探究隨堂演練1知識梳理PARTONE在一個三角形中，各邊和它所對角的

的比相等.知識點一正弦定理正弦1.a＝

，b＝

，c＝

.知識點二正弦定理的變形公式思考在正弦定理中，三角形的各邊與其所對角的正弦的比都相等，那么這個比值等于多少？與該三角形外接圓的直徑有什么關系？答案等于2R(R為該三角形外接圓的半徑)，與該三角形外接圓的直徑相等.2RsinA2RsinB2RsinC思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.正弦定理對任意的三角形都成立.(

)2.在△ABC中，等式bsinC＝csinB總能成立.(

)3.在△ABC中，已知a，b，A，則能求出唯一的角B.(

)4.任意給出三角形的三個元素，都能求出其余元素.(

)××√√2題型探究PARTTWO例1

在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.一、已知兩角及任意一邊解三角形又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，反思感悟(1)正弦定理實際上是三個等式：

，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.(2)因為三角形的內角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角.跟蹤訓練1

在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.解因為B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.二、已知兩邊及其中一邊的對角解三角形例2

在△ABC中，已知c＝

，A＝45°，a＝2，解三角形.∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.延伸探究若把本例中的條件“A＝45°”改為“C＝45°”，則角A有幾個值？反思感悟這一類型題目的解題步驟為①用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；②用三角形內角和定理求出第三個角；③根據正弦定理求出第三條邊.其中進行①時要注意討論該角是否可能有兩個值.跟蹤訓練2

在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cosC等于√三、三角形形狀的判斷例3

在△ABC中，已知

，且sin2A＋sin2B＝sin2C.求證：△ABC為等腰直角三角形.∴a2＝b2即a＝b，又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，∴△ABC為等腰直角三角形.反思感悟判斷三角形的形狀，就是根據題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：(1)化邊為角，走三角變形之路，常用的轉化方式有：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑)；(2)化角為邊，走代數變形之路，常用的轉化方式有：跟蹤訓練3

在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.正三角形√解析方法一(利用邊的關系進行判斷)由正弦定理和余弦定理，所以△ABC是等腰三角形.方法二(利用角的關系進行判斷)因為在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B).由2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0.因為－π<A－B<π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形.即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.3隨堂演練PARTTHREE1.在△ABC中，a＝5，b＝3，則sinA∶sinB的值是12345√123452.在△ABC中，若sinA＝sinC，則△ABC是A.直角三角形

B.等腰三角形C.銳角三角形

D.鈍角三角形√解析由sinA＝sinC及正弦定理，知a＝c，∴△ABC為等腰三角形.123453.在△ABC中，一定成立的等式是A.asinA＝bsinB

B.acosA＝bcosBC.asinB＝bsinAD.acosB＝bcosA√4.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于12345√123455.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，求△ABC最短邊的邊長.解由三角形內角和定理，得A＝180°－