第1頁/共1頁2021-2025北京高考真題數學匯編壓軸填空（第15題）一、填空題1．（2025北京高考真題）關于定義域為的函數，給出下列四個結論：①存在在上單調遞增的函數使得恒成立；②存在在上單調遞減的函數使得恒成立；③使得恒成立的函數存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數存在且有無窮多個．其中正確結論的序號是．2．（2024北京高考真題）設與是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合，給出下列4個結論：①若與均為等差數列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數列，則M中最多有2個元素；③若為等差數列，為等比數列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數列，為遞減數列，則M中最多有1個元素.其中正確結論的序號是.3．（2023北京高考真題）設，函數，給出下列四個結論：①在區間上單調遞減；②當時，存在最大值；③設，則；④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結論的序號是．4．（2022北京高考真題）已知數列各項均為正數，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數列；③為遞減數列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．5．（2021北京高考真題）已知函數，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是．

參考答案1．②③【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構造函數并驗證后可判斷②③的正誤.【詳解】對于①，若存在在上的增函數，滿足，則，即，故時，，故，故即，矛盾，故①錯誤；對于②，取，該函數為上的減函數且，故該函數符合，故②正確；對于③，取，此時，由可得有無窮多個，故③正確；對于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數不存在，故④錯誤.故答案為：②③2．①③④【分析】利用兩類數列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為均為等差數列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數列，但當為偶數時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設，，若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數解，若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關于的方程奇數解的個數和偶數解的個數，當有偶數解，此方程即為，方程至多有兩個偶數解，且有兩個偶數解時，否則，因單調性相反，方程至多一個偶數解，當有奇數解，此方程即為，方程至多有兩個奇數解，且有兩個奇數解時即否則，因單調性相反，方程至多一個奇數解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數解，即M中最多有3個元素，取，則,故③正確.對于④，因為為遞增數列，為遞減數列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】思路點睛：對于等差數列和等比數列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質關系時，等比數列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.3．②③【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結論；對于①，取，結合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結合圖像可知的范圍；對于④，取，結合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳解】依題意，，當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調遞增的射線；當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調遞增，故①錯誤；對于②，當時，當時，；當時，顯然取得最大值；當時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，易知當時，在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，此時，，當時，且接近于處，的距離最小，此時；故③正確；對于④，取，則的圖像如下，

因為，結合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故答案為：②③.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.4．①③④【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數列單調性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數列為等比數列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數列不是等比數列，②錯；當時，，可得，所以，數列為遞減數列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.5．①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根