大題06概率與統(tǒng)計(jì)根據(jù)近幾年的高考情況，概率與統(tǒng)計(jì)是高考解答題必考解答題，考查的內(nèi)容主要是以統(tǒng)計(jì)案例及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析，隨機(jī)變量與分布列，正態(tài)分布，對立性檢驗(yàn)，回歸方程分析這幾種形式出現(xiàn)。難點(diǎn)在于容易與其他知識點(diǎn)相結(jié)合，容易和數(shù)列，導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，另外就是條件概率是學(xué)生的一個(gè)易錯點(diǎn)，是很多學(xué)生的只是盲區(qū)，所以接下來的復(fù)習(xí)中，條件概率與全概率公式應(yīng)該要重視。預(yù)計(jì)2025年高考中將會以分布列及條件概率形式出現(xiàn)，應(yīng)該予以重視。題型一統(tǒng)計(jì)案例與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析（24-25高三下·重慶南岸·階段練習(xí)）重慶市舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障．重慶旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作．隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值，并估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)；(2)若從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任了本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和50，請據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)和方差．（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為．則總體樣本方差．設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為．則總體樣本方差1．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）某學(xué)校為提高學(xué)生對《紅樓夢》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)所在區(qū)間的組中值；(3)若落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52，方差是6；落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64，方差是3，求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和方差.題型二隨機(jī)變量及分布列1（24-25高三下·河北·開學(xué)考試）春節(jié)期間有一過關(guān)贏獎勵娛樂活動，參與者需先后進(jìn)行四個(gè)關(guān)卡挑戰(zhàn)，每個(gè)關(guān)卡都必須參與.前三個(gè)關(guān)卡至少挑戰(zhàn)成功兩個(gè)才能夠進(jìn)入第四關(guān)，否則直接淘汰，若四關(guān)都通過，則可以贏得獎勵.參與者甲前面三個(gè)關(guān)卡每個(gè)挑戰(zhàn)成功的概率均為，第四關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率為，且各關(guān)挑戰(zhàn)成功與否相互獨(dú)立.(1)求參與者甲未能參與第四關(guān)的概率；(2)記參與者甲本次挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.2（24-25高三下·北京·開學(xué)考試）同學(xué)們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎?其規(guī)則是：每局25分，達(dá)到24分時(shí)，比賽雙方必須相差2分，才能分出勝負(fù)；每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）；比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3∶0或3∶1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以3∶2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.甲、乙兩隊(duì)近期將要進(jìn)行比賽，為預(yù)測它們的積分情況，收集了兩隊(duì)以往6局比賽成績：123456甲252127272325乙182525252517假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲，乙每局的比賽相互獨(dú)立.(1)估計(jì)甲隊(duì)每局獲勝的概率；(2)如果甲、乙兩隊(duì)比賽1場，求甲隊(duì)的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)如果甲、乙兩隊(duì)約定比賽2場，請比較兩隊(duì)積分相等的概率與的大小（結(jié)論不要求證明）.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．【方法技巧與總結(jié)】超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．1（2025·山東煙臺·一模）為加強(qiáng)中小學(xué)科學(xué)教育，某市科協(xié)，市教育局?jǐn)M于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆全市中小學(xué)機(jī)器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設(shè)置穿越障礙、搬運(yùn)物品兩個(gè)項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)先挑戰(zhàn)穿越障礙項(xiàng)目，挑戰(zhàn)成功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運(yùn)物品項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)每個(gè)項(xiàng)目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金2000元，該項(xiàng)目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金1000元，否則，不獲得獎金.假設(shè)甲參賽隊(duì)在每個(gè)項(xiàng)目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，第一次挑戰(zhàn)失敗但第二次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目成功的概率為；兩個(gè)項(xiàng)目是否挑戰(zhàn)成功相互獨(dú)立.(1)設(shè)事件“甲參賽隊(duì)兩個(gè)項(xiàng)目均挑戰(zhàn)成功”，求；(2)設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，甲參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；(3)假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊(duì)，且根據(jù)往屆比賽成績，甲參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)近似為各參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)的平均水平.某贊助商計(jì)劃提供全部獎金，試估計(jì)其需提供的獎金總額.2（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）隨著教育部的“雙減政策”落地，為了豐富高中基礎(chǔ)年級學(xué)生的課余生活，2025年元旦期間，某校師生舉行一場驚心動魄的足球比賽；由教師代表隊(duì)、高一學(xué)生代表隊(duì)和高二學(xué)生代表隊(duì)組成、得分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分．由教師代表隊(duì)與高一學(xué)生代表隊(duì)和高二學(xué)生代表隊(duì)的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，教師代表隊(duì)與高一學(xué)生代表隊(duì)比賽：教師代表隊(duì)勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；由教師代表隊(duì)與高二學(xué)生代表隊(duì)比賽：教師代表隊(duì)勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求教師代表隊(duì)與高二學(xué)生代表隊(duì)比賽獲得積分超過教師代表隊(duì)與高一學(xué)生代表隊(duì)比賽獲得積分的概率；(2)用表示教師代表隊(duì)兩場比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．題型三隨機(jī)變量與正態(tài)分布1（2025·吉林延邊·一模）某生物研究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)棉花長絨分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)棉花有，個(gè)品種，且這兩個(gè)品種的種植數(shù)量大致相等，記種棉花和種棉花的絨長（單位：）分別為隨機(jī)變量，，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.(1)從該地區(qū)的棉花中隨機(jī)采摘一朵，求這朵棉花的絨長在區(qū)間的概率；(2)記該地區(qū)棉花的絨長為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來近似描述的分布，請你根據(jù)（1）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；(3)在（2）的條件下，從該地區(qū)的棉花中隨機(jī)采摘3朵，記這3朵棉花中絨長在區(qū)間的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.2（24-25高三上·江西南昌·階段練習(xí)）近年來，隨著電腦、智能手機(jī)的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展.某在線教育平臺為了解利用該平臺學(xué)習(xí)的高一學(xué)生化學(xué)學(xué)習(xí)效果，舉行了一次化學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽查了200名學(xué)生的化學(xué)成績，將他們的成績分成以下6組：，，，，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的頻數(shù)分布表所示.組別頻數(shù)203040603020(1)現(xiàn)利用分層抽樣的方法從前3組中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取4人調(diào)查其成績不理想的原因，試求這4人中至少有2人來自前2組的概率.(2)高一學(xué)生的這次化學(xué)成績（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.且這次測試恰有2萬名學(xué)生參加.（i）試估計(jì)這些學(xué)生這次化學(xué)成績在區(qū)間內(nèi)的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（ii）為了提升學(xué)生的成績，該平臺決定免費(fèi)贈送給在平臺學(xué)習(xí)的學(xué)生若干學(xué)習(xí)視頻，具體贈送方案如下：方案1：每人均贈送25小時(shí)學(xué)習(xí)視頻；方案2：這次測試中化學(xué)成績不高于56.19分的學(xué)生贈送40小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績在內(nèi)的學(xué)生贈送30小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績高于84.81分的學(xué)生贈送10小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻.問：哪種方案該平臺贈送的學(xué)習(xí)視頻總時(shí)長更多？請根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算說明.參考數(shù)據(jù)：則，.（24-25高三下·河南·階段練習(xí)）在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機(jī)抽取了參加本次質(zhì)檢考試的100名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績，并將其統(tǒng)計(jì)如下表所示．成績X[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125]人數(shù)Y62442208(1)已知本次質(zhì)檢中的數(shù)學(xué)測試成績，其中μ近似為樣本的平均數(shù)，近似為樣本方差，若該市有5萬考生，試估計(jì)數(shù)學(xué)成績介于90~120分的人數(shù)；（以各組的區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的取值）(2)現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績在[75，85）以及[115，125]之間的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行試卷分析，記被抽取的3人中成績在[75，85）之間的人數(shù)為X，求X的分布列以及期望E（X）．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．2（2022·重慶·模擬預(yù)測）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，到2020年底，全國830個(gè)貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅(jiān)史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅(jiān)的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實(shí)按果徑X（單位：mm）的大小分級，其中為一級果，為特級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實(shí)，從中隨機(jī)抽取1000個(gè)測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：(1)由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實(shí)的果徑X服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實(shí)中任取一個(gè)，求取到的果實(shí)為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)這批采摘的臍橙按2個(gè)特級果和n（，且）個(gè)一級果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場．質(zhì)檢員質(zhì)檢時(shí)從每箱中隨機(jī)取出兩個(gè)果實(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，若取到的兩個(gè)果實(shí)等級相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數(shù)的最大值，及取最大值時(shí)n的值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．題型四獨(dú)立性檢驗(yàn)11（2025·山東聊城·一模）某學(xué)校為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，在高二年級舉行了一次數(shù)學(xué)有獎競賽，對考試成績優(yōu)秀（即考試成績不小于分）的學(xué)生進(jìn)行了獎勵.學(xué)校為了掌握考試情況，隨機(jī)抽取了部分考試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組的頻數(shù)為.(1)求的值和樣本容量；(2)估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績；(3)假設(shè)在抽取的樣本中，男生比女生多人，女生的獲獎率為，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷男生與女生的獲獎情況是否存在差異？性別獎勵合計(jì)獲獎未獲獎男女合計(jì)附：，1（24-25高三下·上海·階段練習(xí)）某興趣小組對高三剛結(jié)束的物理測試成績進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，將所有選考物理的考生按是否同時(shí)選考化學(xué)分為A、B兩類，并從中隨機(jī)抽取100名考生的成績，整理數(shù)據(jù)如下表（單位：人）物理成績學(xué)生分類A類男生28158B類男生310204A類女生3421B類女生10640(1)估計(jì)該校高三學(xué)習(xí)物理男生人數(shù)與女生人數(shù)之比；(2)求A類考生物現(xiàn)平均成績的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表，結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；(3)把成績在稱為“合格”，成績在稱為“不合格”，是否有95%的把握認(rèn)為該校考生的本次物理成績合格與否和性別有關(guān)？附：，其中．題型五線性回歸方程1（24-25高三下·廣東·開學(xué)考試）習(xí)近平總書記指出：做好工作要“完整，準(zhǔn)確，全面貫徹新發(fā)展理念，加快構(gòu)建新發(fā)展格局，著力推動高質(zhì)量發(fā)展”.某部門在對新發(fā)展理念組織了全面學(xué)習(xí)后，對同一工作小組中的5名員工采取如下考核制度：①在本季度末，從部門中另抽120人，每人1票，對這5名員工進(jìn)行投票；②在本季度末，統(tǒng)計(jì)這5名員工本季度創(chuàng)造的營銷收入.記本季度創(chuàng)造的營銷收入為（單位：千元），所得票數(shù)為，現(xiàn)將5人的情況用數(shù)對表示：關(guān)于的相關(guān)系數(shù)為，部門規(guī)定：若，則認(rèn)為本次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)異常.(1)證明：本次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)異常；(2)經(jīng)查驗(yàn)，本季度創(chuàng)造的營銷收入最少的員工的數(shù)據(jù)存在異常，將其剔除后，求該工作小組關(guān)于的線性回歸方程.（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）附：對于一組數(shù)據(jù)，回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：；相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，.2（24-25高三上·山西·期末）隨著國內(nèi)人均消費(fèi)水平的提高，居民的運(yùn)動健身意識不斷增強(qiáng)，加之健康與解壓需求的增長，使得健身器材行業(yè)發(fā)展趨勢強(qiáng)勁，下表為年中國健身器材市場規(guī)模（單位：百億元），其中年年對應(yīng)的代碼依次為.年份代碼中國健身器材市場規(guī)模(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用指數(shù)型函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請建立關(guān)于的歸方程（，的值精確到）；(2)數(shù)據(jù)顯示年購買過體育用品類的中國消費(fèi)者中購買過運(yùn)動防護(hù)類的占比為，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從年購買過體育用品類的中國消費(fèi)者中隨機(jī)抽取人，記購買過運(yùn)動防護(hù)類的消費(fèi)者人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：其中，.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.1（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）一年一度的“雙11”促銷活動落下帷幕，各大電商平臺發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，在消費(fèi)品以舊換新、家電政府補(bǔ)貼等促消費(fèi)政策和活動的帶動下，消費(fèi)市場潛能加速釋放，帶動相關(guān)商品銷售保持增長.經(jīng)過調(diào)研，得到2019年到2024年“雙11”活動當(dāng)天某電商平臺線上日銷售額（單位:百億元）與年份（第年）的6組數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的取值依次為），對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下散點(diǎn)圖（圖1）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中.48.73.59112041.19.4388.1分別用兩種模型：①；②進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖（圖2）（殘差值真實(shí)值預(yù)測值）.(1)根據(jù)題中信息，通過殘差圖比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個(gè)模型進(jìn)行擬合？請說明理由；(2)根據(jù)（1）中所選模型，（i）求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.1）；（ⅱ）若該電商平臺每年活動當(dāng)天線上日銷售額與當(dāng)日營銷成本及年份存在線性關(guān)系:，則在第幾年活動當(dāng)日營銷成本的預(yù)測值最大?參考公式:；參考數(shù)據(jù):.2（2025·河北秦皇島·一模）近幾年我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，據(jù)行業(yè)數(shù)據(jù)顯示，新能源汽車的數(shù)量在不斷增加.下表為某城市統(tǒng)計(jì)的近5年新能源汽車的新增數(shù)量，其中為年份代號，（單位：萬輛）代表新增新能源汽車的數(shù)量.年份20202021202220232024年份代號12345新增新能源汽車萬輛1.21.82.53.23.8(1)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，判斷是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.(2)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該城市2026年的新增新能源汽車的數(shù)量；參考數(shù)據(jù)：.參考公式：.題型六條件概率與全概率公式1（2025·山西·一模）新高考數(shù)學(xué)試卷中共3道多選題，每題滿分為6分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分（如果有兩個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，選對一個(gè)得3分；如果有三個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，選對一個(gè)得2分；有錯選或不選，得0分），某數(shù)學(xué)興趣小組研究多選題時(shí)發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)事件“多項(xiàng)選擇題中，有兩個(gè)選項(xiàng)符合題目要求”和“多項(xiàng)選擇題中，有三個(gè)選項(xiàng)符合題目要求”的概率均為．若學(xué)生解答某多選題時(shí)完全沒有思路，只能通過隨機(jī)選擇的方式來完成作答，且選擇四個(gè)選項(xiàng)的可能性是相同的．(1)已知某題有三個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，小張通過隨機(jī)選擇選項(xiàng)的方式來完成作答，且只選一個(gè)選項(xiàng)作答的概率為，選兩個(gè)選項(xiàng)作答的概率為，選三個(gè)選項(xiàng)作答的概率為，試求小張?jiān)擃}得0分的概率；(2)小王在解答完全沒有思路的多選題時(shí)，有兩種策略，一是“隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答”，二是“隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)作答”，試寫出小王用兩種策略得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．2（2025·四川·一模）某保險(xiǎn)公司隨機(jī)選取了200名不同駕齡的投保司機(jī)，調(diào)查他們投保后一年內(nèi)的索賠情況，結(jié)果如下：單位：人一年內(nèi)是否索賠駕齡合計(jì)不滿10年10年以上是10515否9095185合計(jì)100100200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析表中的數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷司機(jī)投保后一年內(nèi)是否索賠與司機(jī)的駕齡有關(guān)？(2)保險(xiǎn)公司的大數(shù)據(jù)顯示，每年投保的新司機(jī)索賠的概率為，投保的老司機(jī)索賠的概率均為．假設(shè)投保司機(jī)中新司機(jī)的占比為.隨機(jī)選取一名投保司機(jī)，記事件“這名司機(jī)在第年索賠”為，事件“這名司機(jī)是新司機(jī)”為.已知.（i）證明：；（ii）證明：，并給出該不等式的直觀解釋.附：，1（2025·山東·模擬預(yù)測）已知兩個(gè)不透明的袋子中均裝有若干個(gè)大小，質(zhì)地完全相同的紅球和白球，從袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從袋中摸出一個(gè)紅球的概率是．在每輪中，甲同學(xué)先選擇一個(gè)袋子摸一次球并放回，乙再選擇一個(gè)袋子摸一次球并放回，則該輪結(jié)束．已知在每輪中甲選兩袋的概率均為．如果甲選袋，則乙選袋的概率為；如果甲選袋，則乙選的概率為．(1)若，求在一輪中乙從袋中摸出紅球的概率；(2)求在一輪中乙摸出紅球的概率；(3)若甲，乙兩位同學(xué)進(jìn)行了3輪摸球．乙同學(xué)認(rèn)為，越大，3輪摸球后他摸出2個(gè)紅球的概率越大，你同意他的觀點(diǎn)嗎？請說明理由．2（2024·廣東汕頭·三模）11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束：當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立．(1)若每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.(2)已知第一局目前比分為10∶10，求（ⅰ）再打兩個(gè)球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比賽甲獲勝的概率；3（2024·上海奉賢·三模）在剛剛結(jié)束的杭州亞運(yùn)會上，中國羽毛球隊(duì)延續(xù)了傳統(tǒng)優(yōu)勢項(xiàng)目，以4金3銀2銅的成績傲視亞洲．在舊制的羽毛球賽中，只有發(fā)球方贏得這一球才可以得分，即如果發(fā)球方在此回合的爭奪中輸球，則雙方均不得分．但發(fā)球方輸?shù)舸嘶睾虾螅乱换睾细臑閷Ψ桨l(fā)球．(1)在舊制羽毛球賽中，中國隊(duì)某運(yùn)動員每一回合比賽贏球的概率均為，且各回合相互獨(dú)立．若第一回合該中國隊(duì)運(yùn)動員發(fā)球，求第二回合比賽有運(yùn)動員得分的概率；(2)羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊(duì)員往往會更加占據(jù)心理上的優(yōu)勢，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：各回合比賽相互獨(dú)立；假設(shè)2：比賽雙方運(yùn)動員甲和乙的實(shí)力相當(dāng)，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為；求第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？題型七概率統(tǒng)計(jì)與其他知識點(diǎn)結(jié)合1（2025·四川成都·二模）某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進(jìn)行，只有答完一輪才能進(jìn)入下一輪，若連續(xù)兩輪均答錯，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機(jī)地派出一道通識題或?qū)ＷR題，派出通識題的概率為，派出專識題的概率為.已知某選手答對通識題與專識題的概率分別為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.(1)求該選手在一輪答題中答對題目的概率；(2)記該選手在第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)依然未終止的概率為，（i）求；（ii）證明：存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.2（2025·湖南·模擬預(yù)測）高三某班為緩解學(xué)生高考壓力，班委會決定在周班會課上進(jìn)行“聽音樂、猜歌名”的趣味游戲比賽，現(xiàn)將全班學(xué)生分為組，每組人，剩余的學(xué)生做裁判.比賽規(guī)則如下:比賽共分為兩輪，第一輪比賽中個(gè)小組分三場進(jìn)行比賽，每場比賽有個(gè)小組參加，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)猜對歌名最多的小組獲勝，獲勝的三個(gè)小組進(jìn)入第二輪比賽，第二輪進(jìn)行一場比賽，選出獲勝隊(duì)伍.已知甲、乙、丙個(gè)小組的學(xué)生能成功猜對歌名的概率分別為、、.(1)現(xiàn)從乙組中任選一名學(xué)生進(jìn)行歌曲試猜，記首歌曲中猜對的歌曲數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；(2)若從甲、乙、丙個(gè)小組中任選一名學(xué)生參加猜歌游戲，求該學(xué)生猜對歌曲的概率；(3)若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設(shè)置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、戊小組中任選一名代表，從裝有個(gè)白球和個(gè)紅球的不透明的盒子中有放回地隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出白球記分，摸出紅球記分，以分開始計(jì)分，恰好獲得分或分則結(jié)束摸球.若該代表獲得分，則該代表所在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利.若該代表來自丁組，試估計(jì)丁組獲勝的概率.1（2025·黑龍江哈爾濱·一模）“冰雪同夢，亞洲同心”，年第九屆亞冬會在哈爾濱舉辦，本次賽事共有個(gè)大項(xiàng)，個(gè)分項(xiàng)，個(gè)小項(xiàng)，有來自個(gè)國家和地區(qū)，多名運(yùn)動員參賽，是一場令人回味無窮的冬季體育盛會，亞冬會圓滿結(jié)束后，我校團(tuán)委組織學(xué)生參加與亞冬會有關(guān)的知識競賽.為鼓勵同學(xué)們積極參加此項(xiàng)活動，比賽規(guī)定：答對一題得兩分，答錯一題得一分，選手不放棄任何一次答題機(jī)會.已知小明報(bào)名參加比賽，每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對的概率不一定相等.(1)若前三道試題，小明每道試題答對的概率均為，①設(shè)，記小明答完前三道題得分為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若小明答完前四道題得分的概率為，求小明答完前四題時(shí)至少答對三題的概率的最小值；(2)若小明答對每道題的概率均為，因?yàn)樾∶鞔饘Φ谝活}或前兩題都答錯，均可得到兩分，稱此時(shí)小明答題累計(jì)得分為，記小明答題累計(jì)得分為的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2（24-25高三下·遼寧·階段練習(xí)）現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，按照下述規(guī)則從左到右依次記錄字符：拋擲骰子，點(diǎn)數(shù)為1，2，3時(shí)，記錄字符AA；點(diǎn)數(shù)為4時(shí)記錄字符B，點(diǎn)數(shù)為5時(shí)記錄字符C，點(diǎn)數(shù)為6時(shí)記錄字符D．繼續(xù)投擲骰子，按照相同的規(guī)則向右記錄AA，B，C，D的字符．例如拋擲5次骰子得到的點(diǎn)數(shù)依次是5，6，2，3，4，則記錄的字符為CDAAAAB，共7個(gè)字符，其中從左向右第4個(gè)字符為A，第7個(gè)字符為B．(1)拋擲3次骰子，并記錄字符．記字符中A的個(gè)數(shù)為，求；(2)拋擲次骰子，并記錄字符．記第個(gè)字符為的概率為．（i）求證：是常數(shù)列；（ii）求的前項(xiàng)和．1．（24-25高三上·江西宜春·期末）2024年5月22日至5月28日是第二屆全國城市生活垃圾分類宣傳周，本次宣傳周的主題為“踐行新時(shí)尚分類志愿行”某中學(xué)高一年級舉行了一次“垃圾分類知識競賽”，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績進(jìn)行整理后，分為五組，其中第二組的頻數(shù)是第一組頻數(shù)的2倍，請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：(1)求的值，并估計(jì)這次競賽成績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的75和85兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差.2．（2025·陜西西安·一模）某商場進(jìn)行抽獎活動，設(shè)置摸獎箱內(nèi)有紅球個(gè)，白球個(gè)，黑球個(gè)，小球除顏色外沒有任何區(qū)別.規(guī)定：摸到紅球記分，摸到白球記分，摸到黑球記分.抽獎人摸個(gè)球?yàn)橐淮纬楠劊偡钟洖椋簦瑒t獲獎.方案一：從中一次摸個(gè)球，記錄分?jǐn)?shù)后不放回.方案二：從中一次摸個(gè)球，記錄分?jǐn)?shù)后放回.(1)若甲顧客按照方案一摸球記分，求甲顧客獲獎的概率；(2)若乙顧客按照方案一摸球記分，求第二次摸到紅球條件下，乙顧客獲獎的概率；(3)若丙顧客按照方案二摸球記分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.3．（24-25高三下·河北石家莊·開學(xué)考試）2024年6月5日《中國教育報(bào)》刊發(fā)了教育部的“呵護(hù)好孩子的眼睛，共創(chuàng)光明的未來”的文章，其中特別強(qiáng)調(diào)“幼兒單次使用電子產(chǎn)品的時(shí)間不宜超過15分鐘，累計(jì)每天不超過1小時(shí)”等內(nèi)容.為切實(shí)提升兒童青少年視力健康整體水平，某學(xué)校積極推進(jìn)近視綜合防控，落實(shí)“明眸”工程，開展了近視原因的調(diào)查以備有效進(jìn)行預(yù)防.在已近視的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，同時(shí)在未近視的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，得到如下數(shù)據(jù)：電子產(chǎn)品近視未近視非長時(shí)間使用電子產(chǎn)品4070長時(shí)間使用電子產(chǎn)品6030(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為患近視與長時(shí)間使用電子產(chǎn)品有關(guān)？(2)用頻率估計(jì)概率，從已經(jīng)近視的學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方式選出1名學(xué)生，利用“物理+藥物”治療方案對該學(xué)生進(jìn)行治療.已知“物理+藥物”治療方案的治愈數(shù)據(jù)如下：在已近視的學(xué)生中，對非長時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生的治愈率為，對長時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生的治愈率為，求該近視學(xué)生被治愈的概率；(3)若按樣本數(shù)據(jù)利用分層隨機(jī)抽樣的方法從近視學(xué)生中抽取5人，再從這5人中抽取3人進(jìn)行近視矯正實(shí)驗(yàn)，記表示這3人中長時(shí)間使用電子產(chǎn)品的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8284．（24-25高三下·北京·階段練習(xí)）無人駕駛技術(shù)是汽車研發(fā)領(lǐng)域的一個(gè)重要方向．某學(xué)校技術(shù)俱樂部研發(fā)了一個(gè)感知路況障礙的小汽車模型，該模型通過三個(gè)傳感器共同判斷路段是否有路障．在對該模型進(jìn)行測試中，該俱樂部同學(xué)尋找了個(gè)不同的路段作為測試樣本，數(shù)據(jù)如下表：測試結(jié)果真實(shí)路況傳感器1傳感器2傳感器3有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別無障礙415111548120有障礙4010104551045105假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且三個(gè)傳感器對路況的判斷相互獨(dú)立．(1)從這80個(gè)路段中隨機(jī)抽取一個(gè)路段，求傳感器1對該路況判斷正確的概率；(2)從這80個(gè)路段中隨機(jī)抽取一個(gè)有障礙的路段進(jìn)行測試，設(shè)為傳感器1和傳感器2判斷正確的總路段數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)有一輛小汽車同時(shí)裝載了以上3種傳感器．在通過某路段時(shí)，只要3個(gè)傳感器中一個(gè)判斷有障礙或無法識別，則小汽車減速．那么是否可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于？（結(jié)論不要求證明）5．（24-25高三上·云南德宏·期末）為更好的發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考數(shù)學(xué)試卷采用了多選題這一題型．教育部考試中心通過科學(xué)測量分析，指出該題型擴(kuò)大了試卷考點(diǎn)的覆蓋面，有利于提高試卷的區(qū)分度，也有利于提高學(xué)生的得分率．多選題評分規(guī)則如下：對于多選題，每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或三項(xiàng)是正確的，滿分6分．全部選對得6分，有錯選或全不選得0分，正確答案為兩項(xiàng)時(shí)，選對1個(gè)得3分；正確答案為三項(xiàng)時(shí)，選對1個(gè)得2分，選對2個(gè)得4分．多選題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為p，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）．(1)在一次模擬考試中，學(xué)生甲對某個(gè)多選題完全不會，決定隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，若，求學(xué)生甲該題得2分的概率；(2)針對某道多選題，學(xué)生甲完全不會，此時(shí)他有三種答題方案：Ⅰ：隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)；

Ⅱ：隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)；

Ⅲ：隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)．（i）若，且學(xué)生甲選擇方案Ⅰ，求本題得分的數(shù)學(xué)期望；（ii）以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，p的取值在什么范圍內(nèi)唯獨(dú)選擇方案Ⅰ最好?6．（2025高三下·全國·專題練習(xí)）小李準(zhǔn)備在某商場租一間商鋪開服裝店，為了解市場行情，在該商場調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)得到了它們的面積X（單位：）和日均客流量Y（單位：百人）的數(shù)據(jù)，并計(jì)算得．(1)求Y關(guān)于X的回歸直線方程；(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益，該商場現(xiàn)有的商鋪出租，根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測，要使單位面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：．7．（2025·河北保定·一模）某工廠為了解員工績效分?jǐn)?shù)達(dá)標(biāo)情況與員工性別的關(guān)系，隨機(jī)對該廠男、女各30名員工的績效分?jǐn)?shù)達(dá)標(biāo)情況進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：單位：人性別績效分?jǐn)?shù)達(dá)標(biāo)情況合計(jì)未達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)男201030女52530合計(jì)253560(1)經(jīng)計(jì)算，所調(diào)查的男員工績效分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為26；女員工績效分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為34，求這60人績效分?jǐn)?shù)的平均數(shù).(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷績效分?jǐn)?shù)達(dá)標(biāo)情況與性別有關(guān)聯(lián)？(3)該廠為激勵員工，規(guī)定每月績效分?jǐn)?shù)的第一名獎勵1千元，其他名次無獎勵.甲為該廠員工，他在工廠開工的第一個(gè)月贏得獎勵的概率為，從第二個(gè)月開始，若上個(gè)月沒有贏得獎勵，則這個(gè)月贏得獎勵的概率為；若上個(gè)月贏得獎勵，則這個(gè)月仍贏得獎勵的概率為，求甲在前兩個(gè)月所得獎金總額（單位：千元）的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.10.010.0012.7066.63510.828參考公式：，其中.8．（2025·江西上饒·一模）2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行了夏季奧運(yùn)會．為了普及奧運(yùn)知識，大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽．(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進(jìn)入決賽．已知這6道題中小王能答對其中4道題，求小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；(2)大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，決定對進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵．獎勵規(guī)則如下：對于進(jìn)入決賽的每名大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元，假定每次中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨(dú)立．（Ⅰ）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；（Ⅱ）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時(shí)的取值范圍．9．（2025·湖北·二模）已知某商店出售商品A，據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)顧客對商品A的需求量相對穩(wěn)定，每周內(nèi)對商品A的不同需求量（單位：個(gè)）與概率的數(shù)據(jù)如下：對A的需求量0123概率若以商品A的庫存作為供給量，為了改善經(jīng)營，該商店決定每周末對商品A進(jìn)行盤點(diǎn)存貨：如果商品A都售出了，則在周末及時(shí)采購2個(gè)新的商品，只要商品A還有1個(gè)存貨，就不采購新的商品.記為該商店第周開始時(shí)商品A的供給量，假設(shè).(1)求的分布列；(2)記為第周開始時(shí)供給量的概率向量，隨著的增大，若，則趨向一個(gè)定常態(tài)分布，記這個(gè)定常態(tài)分布為.（i）求商品A的定常態(tài)分布；（ii）從長遠(yuǎn)來看，求該商店改善經(jīng)營后商品A需求大于供給的概率.10．（24-25高三下·云南昆明·階段練習(xí)）云南花卉產(chǎn)業(yè)作為云南全力打造世界一流“綠色食品牌”的重點(diǎn)產(chǎn)業(yè)之一?從起步發(fā)展至今僅四十多年的時(shí)間，取得了令人矚目的成績.目前云南已成為全球公認(rèn)的三大最適宜鮮切花種植的區(qū)域之一，鮮切花種植面積和產(chǎn)量位居全球第一，全省花卉種植面積穩(wěn)定在190萬畝左右.近8年云南省花卉種植面積統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖如圖(1)經(jīng)計(jì)算得下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)散點(diǎn)圖，在模型①：與模型②：，（均為常數(shù)）中，選擇一個(gè)更適合作為云南省花卉種植面積關(guān)于年份代碼的回歸方程類型，求出關(guān)于的回歸方程；1.3165.020417.5423.56448.31901.5其中.(2)運(yùn)輸過程中，為保證鮮切花質(zhì)量，需對其存活天數(shù)進(jìn)行研究.一品種鮮切花存活天數(shù)為隨機(jī)變量，且最多只能存活天，研究人員發(fā)現(xiàn)，存活天數(shù)為的樣本在存活天數(shù)超過的樣本里占，存活天數(shù)為1的樣本在全體樣本中占.①求；②用表示該品種鮮切花存活天數(shù)的數(shù)學(xué)期望.附：.一、解答題1．（2024·新高考Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．2．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？3．（2024·全國甲卷·高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．5．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．6．（2023·全國乙卷·高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）7．（2023·全國甲卷·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.84