高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省榆林市2025屆高三上學(xué)期第二次模擬檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由，得，所以，.故選：C2.“體育強則中國強，國運興則體育興”.已知某運動員在2024年籃球聯(lián)賽中連續(xù)10場的得分?jǐn)?shù)據(jù)為：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，則這組數(shù)據(jù)的（）A.第85百分位數(shù)為18 B.眾數(shù)為12C.中位數(shù)為17 D.平均成績?yōu)?4【答案】A【解析】將得分?jǐn)?shù)據(jù)按升序排列：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，對于A：因為，所以第85百分位數(shù)為第9位數(shù)，即為18，故A正確；對于B：眾數(shù)為17，故B錯誤；對于C：中位數(shù)為：，故C錯誤；對于D：平均數(shù)，故D錯誤；故答案為：A.3.已知集合，，則中的元素個數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以或，又，所以，故交集的元素個數(shù)為2.故選：B4.已知某物體在運動過程中，其位移（單位：）與時間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，則該物體瞬時速度的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，當(dāng)時，取得最大值3，故選：A.5.已知向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法1：因為，，，所以，所以，因為，所以.解法2：由，，，，可知，令，，則，，，因為，所以.故選：D6.已知直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法1：由得，所以為橢圓的上半部分，直線過定點①當(dāng)，直線與有兩個公共點；②當(dāng)，與曲線聯(lián)立，得，設(shè)直線與曲線交于點，則由題意得，解得，綜上，的取值范圍是.解法2：數(shù)形結(jié)合法①當(dāng)，直線與有兩個公共點；②當(dāng)與相切時，兩曲線方程聯(lián)立方程組化簡得，整理得，由，得,解得或，由圖可得舍去，所以由圖可得，綜上，的取值范圍是.解法3：將半圓橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到半橢圓.當(dāng)與相切時，由點到的距離等于圓的半徑得：，解得：（舍）或，經(jīng)過伸縮變換后，，綜上，的取值范圍是.故選：D.7.育德中學(xué)在3D打印社團實踐活動中，要將一個正方體放置在一個母線長為2，底面半徑為1的圓錐內(nèi)（忽略錐面厚度），使其能自由（任意方向）旋轉(zhuǎn)，則該正方體棱長的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】如圖1所示，要使得正方體能在圓錐內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)且該正方體的邊長得到最大，則該正方體的外接球為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，圓錐的軸截面如圖2所示，為正三角形且，此時內(nèi)切球的截面圓與內(nèi)切，，設(shè)正方體邊長為，由圖3得，，得.故選：C.8.已知函數(shù)，.若存在，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意知在上有解，因此在上有解，故函數(shù)與的圖象在上有交點，函數(shù)的圖象過點，將點代入得，，令得，，由圖象可知，解得，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有三個正確選項的，每個選項2分，有兩個正確選項的，每個選項3分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C.函數(shù)在上有最小值D.函數(shù)在內(nèi)有3個零點【答案】ABD【解析】由圖知，，所以，過點，即，所以，，因為，所以，，A正確.因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B正確.由得，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，，C錯誤.由得，的圖象在上有3個零點，所以函數(shù)在內(nèi)有3個零點，D正確.10.如圖，過點作兩條直線和分別交拋物線于點，和點，（其中點，位于軸上方），則下列說法正確的是（）A.，兩點的縱坐標(biāo)之積為B.的最小值為1C.面積的最小值為（為坐標(biāo)原點）D.若點，不重合，且，則【答案】AC【解析】設(shè)點，，選項A：將直線的方程代入拋物線方程得：，則，故A正確；選項B：計算，當(dāng)時取到“等號”，所以的最小值為，故B錯誤；選項C：由選項A可知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；選項D：在中，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理及其逆定理可知等價于，又因為，，所以，所以，即，故D錯誤.故選：AC11.對于，滿足，，且對于任意，恒有，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】A選項：因為，所以取得，，A選項正確；B選項：令，則，兩式相加得，解得，B選項錯誤；C選項：因為，所以取得，，由，取得，，解得，因為，所以，，，，，C選項正確；D選項：因為，，且，所以，即，D選項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中，的系數(shù)是_____.【答案】【解析】二項式的展開式的通項為，當(dāng)時，的系數(shù)是，當(dāng)時，常數(shù)項是，所以的展開式中，的系數(shù)是.故答案為：13.已知角的終邊在直線上，則_____.【答案】【解析】角的終邊在直線，，.故答案為：.14.已知數(shù)列有30項，，且對任意，都存在，使得.（1）_____；（寫出一個可能的取值）（2）對于數(shù)列中的項，若存在使得，則稱具有性質(zhì).若中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，則_____.【答案】①.5②.1025【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，或時有或，綜上所述：的所有可能取值為：5，8，11.（2）中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為，，當(dāng)時，，或，或時有或，或時有或或，，即具有性質(zhì)，則易知從開始是以5為首項3為公差的等差數(shù)列，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，所對的邊分別為，，.已知.（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍.解：（1）解法1：在中，由及正弦定理得，，再由余弦定理，得，則，又因為，所以，因為，所以.解法2：因為，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，因，所以.（2）因為，所以，，所以，因為，所以，所以，所以.16.如圖，已知斜三棱柱，平面平面，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值.（1）證法1：因在斜三棱柱中，，且，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，因為平面，所以，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.證法2：因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，，因為平面平面，所以為二面角的平面角，因為在斜三棱柱中，，且，所以，所以二面角為直二面角，即平面和平面所成的角為，所以平面平面.證法3：如圖1，取的中點，取的中點，連接，，由為的中位線，知.又因為，所以.因為，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，則，，，，，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，由，，得，取，則，由，，得，取，則，則，所以，即平面平面.（2）解法1：如圖2，取的中點，取的中點，連接，，由為的中位線，知.又因為，所以.因為，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以，，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則，，，，所以，，，由（1）知，平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，平面與平面所成角記為，由，，得，取，得，，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.解法2：因為平面平面，平面平面，所以過點作平面的垂線必在平面內(nèi).又因為，所以可以以為坐標(biāo)原點，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，，，所以，，，由（1）知，平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，平面與平面所成角記為，由，，得，取，得，，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知直線是曲線的切線，且對恒成立，求的最大值.解：（1），令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，.當(dāng)時，直線是曲線的切線，且對恒成立，滿足題意；當(dāng)時，設(shè)直線與曲線相切于點，，因為，所以，又，因此，又因為，所以，，取，則，，因此存在，使得，不滿足題意.綜上，的最大值為.18.如圖，某興趣小組在坐標(biāo)紙網(wǎng)格中設(shè)計了一款跳棋游戲.規(guī)則如下：游戲參與者以為出發(fā)點，每擲一次均勻硬幣，若擲出正面，則沿小正方形的對角線向右上方移動一格；若擲出反面，則沿小正方形的對角線向右下方移動一格.（1）求甲走完第3步后，到達(dá)點的概率；（2）若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，當(dāng)他走完第4步后，得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）甲和乙都從出發(fā)，走到點的位置，設(shè)走完第步后，甲位于點，乙位于點，其中且.若對任意且都有，則認(rèn)為甲獲勝，求甲獲勝的概率.解：（1）根據(jù)題意，甲向上走了一步，向下走了兩步，.（2）設(shè)甲向上走了步，可取0，1，2，3，4，則，，，，，，.則的分布列為：05101520所以.（3）解法1：甲一共需要走5步，其中向右下方走2步，向右上方走3步.從5步中選2步是向右下方走的組合數(shù)為.同理，乙也有種走法；游戲參與者在第，步向右下方走記為，①，當(dāng)甲為時，乙有1種情況：；當(dāng)甲為時，乙有2種情況:、；當(dāng)甲為時，乙有3種情況：、、；當(dāng)甲為時，乙有4種情況、、、；共10種情況；②，當(dāng)甲為時，乙有3種情況：、、；當(dāng)甲為時，乙有5種情況：、、、、；當(dāng)甲為時，有7種情況：、、、、、、；共15種情況；③，當(dāng)甲為時，乙有6種情況、、、、、；當(dāng)甲為時，乙有9種情況、、、、、、、、；共15種情況；④，甲只能為，乙有10種情況：、、、、、、、、、；共10種情況，總計50種情況.所以甲獲勝的概率為.解法2：甲一共需要走5步，其中向右下方走2步，向右上方走3步.從5步中選2步是向右下方走的組合數(shù)為.同理，乙也有種走法；對任意，都有，可設(shè)甲在第，步向右下方走，則乙的走法有兩種情況：情況一：乙在第1步到第步中有兩步向右下方行走，共種走法；情況二：乙在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第步中有一步向右下方行走，共種走法；所以甲獲勝時，甲與乙總的走法數(shù)為，所以甲獲勝的概率為.19.已知雙曲線的實軸長為2，頂點到漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與的右支及漸近線的交點自上而下依次為，，，，證明：；（3）在數(shù)學(xué)中，可利用“循環(huán)構(gòu)造法”求方程的整數(shù)解.例如：求二元二次方程的正整數(shù)解，由可先找到該方程的初始解，記此解對應(yīng)的點為，進一步可得點，，，，.設(shè)由“循環(huán)構(gòu)造法”得到方程的正整數(shù)解對應(yīng)的點列為：，，，，，，，記，試判斷是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.解：（1）因，所以，因為雙曲線的一個頂點為，一條漸近線的方程為：，所以，解得：，故雙曲線的方程為：；（2）設(shè)，，，，因為直線的斜率不為0，設(shè)的方程為：，聯(lián)立可得：，則.聯(lián)立可得：，則，故線段，的中點重合，所以（3）解法1：因為，所以，，因為二項式與的展開式中不含的項相等，含的項互為相反數(shù)，所以，解得：，令，，則.直線的方程為：，，，故為定值1.解法2：因為，所以，，因為二項式與的展開式中不含的項相等，含的項互為相反數(shù)，所以，則，直線的方程為：，，，故為定值1.陜西省榆林市2025屆高三上學(xué)期第二次模擬檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由，得，所以，.故選：C2.“體育強則中國強，國運興則體育興”.已知某運動員在2024年籃球聯(lián)賽中連續(xù)10場的得分?jǐn)?shù)據(jù)為：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，則這組數(shù)據(jù)的（）A.第85百分位數(shù)為18 B.眾數(shù)為12C.中位數(shù)為17 D.平均成績?yōu)?4【答案】A【解析】將得分?jǐn)?shù)據(jù)按升序排列：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，對于A：因為，所以第85百分位數(shù)為第9位數(shù)，即為18，故A正確；對于B：眾數(shù)為17，故B錯誤；對于C：中位數(shù)為：，故C錯誤；對于D：平均數(shù)，故D錯誤；故答案為：A.3.已知集合，，則中的元素個數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以或，又，所以，故交集的元素個數(shù)為2.故選：B4.已知某物體在運動過程中，其位移（單位：）與時間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，則該物體瞬時速度的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，當(dāng)時，取得最大值3，故選：A.5.已知向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法1：因為，，，所以，所以，因為，所以.解法2：由，，，，可知，令，，則，，，因為，所以.故選：D6.已知直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法1：由得，所以為橢圓的上半部分，直線過定點①當(dāng)，直線與有兩個公共點；②當(dāng)，與曲線聯(lián)立，得，設(shè)直線與曲線交于點，則由題意得，解得，綜上，的取值范圍是.解法2：數(shù)形結(jié)合法①當(dāng)，直線與有兩個公共點；②當(dāng)與相切時，兩曲線方程聯(lián)立方程組化簡得，整理得，由，得,解得或，由圖可得舍去，所以由圖可得，綜上，的取值范圍是.解法3：將半圓橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到半橢圓.當(dāng)與相切時，由點到的距離等于圓的半徑得：，解得：（舍）或，經(jīng)過伸縮變換后，，綜上，的取值范圍是.故選：D.7.育德中學(xué)在3D打印社團實踐活動中，要將一個正方體放置在一個母線長為2，底面半徑為1的圓錐內(nèi)（忽略錐面厚度），使其能自由（任意方向）旋轉(zhuǎn)，則該正方體棱長的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】如圖1所示，要使得正方體能在圓錐內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)且該正方體的邊長得到最大，則該正方體的外接球為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，圓錐的軸截面如圖2所示，為正三角形且，此時內(nèi)切球的截面圓與內(nèi)切，，設(shè)正方體邊長為，由圖3得，，得.故選：C.8.已知函數(shù)，.若存在，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意知在上有解，因此在上有解，故函數(shù)與的圖象在上有交點，函數(shù)的圖象過點，將點代入得，，令得，，由圖象可知，解得，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有三個正確選項的，每個選項2分，有兩個正確選項的，每個選項3分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C.函數(shù)在上有最小值D.函數(shù)在內(nèi)有3個零點【答案】ABD【解析】由圖知，，所以，過點，即，所以，，因為，所以，，A正確.因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B正確.由得，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，，C錯誤.由得，的圖象在上有3個零點，所以函數(shù)在內(nèi)有3個零點，D正確.10.如圖，過點作兩條直線和分別交拋物線于點，和點，（其中點，位于軸上方），則下列說法正確的是（）A.，兩點的縱坐標(biāo)之積為B.的最小值為1C.面積的最小值為（為坐標(biāo)原點）D.若點，不重合，且，則【答案】AC【解析】設(shè)點，，選項A：將直線的方程代入拋物線方程得：，則，故A正確；選項B：計算，當(dāng)時取到“等號”，所以的最小值為，故B錯誤；選項C：由選項A可知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；選項D：在中，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理及其逆定理可知等價于，又因為，，所以，所以，即，故D錯誤.故選：AC11.對于，滿足，，且對于任意，恒有，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】A選項：因為，所以取得，，A選項正確；B選項：令，則，兩式相加得，解得，B選項錯誤；C選項：因為，所以取得，，由，取得，，解得，因為，所以，，，，，C選項正確；D選項：因為，，且，所以，即，D選項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中，的系數(shù)是_____.【答案】【解析】二項式的展開式的通項為，當(dāng)時，的系數(shù)是，當(dāng)時，常數(shù)項是，所以的展開式中，的系數(shù)是.故答案為：13.已知角的終邊在直線上，則_____.【答案】【解析】角的終邊在直線，，.故答案為：.14.已知數(shù)列有30項，，且對任意，都存在，使得.（1）_____；（寫出一個可能的取值）（2）對于數(shù)列中的項，若存在使得，則稱具有性質(zhì).若中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，則_____.【答案】①.5②.1025【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，或時有或，綜上所述：的所有可能取值為：5，8，11.（2）中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為，，當(dāng)時，，或，或時有或，或時有或或，，即具有性質(zhì)，則易知從開始是以5為首項3為公差的等差數(shù)列，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，所對的邊分別為，，.已知.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.解：（1）解法1：在中，由及正弦定理得，，再由余弦定理，得，則，又因為，所以，因為，所以.解法2：因為，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，因，所以.（2）因為，所以，，所以，因為，所以，所以，所以.16.如圖，已知斜三棱柱，平面平面，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值.（1）證法1：因在斜三棱柱中，，且，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，因為平面，所以，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.證法2：因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，，因為平面平面，所以為二面角的平面角，因為在斜三棱柱中，，且，所以，所以二面角為直二面角，即平面和平面所成的角為，所以平面平面.證法3：如圖1，取的中點，取的中點，連接，，由為的中位線，知.又因為，所以.因為，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，則，，，，，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，由，，得，取，則，由，，得，取，則，則，所以，即平面平面.（2）解法1：如圖2，取的中點，取的中點，連接，，由為的中位線，知.又因為，所以.因為，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以，，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則，，，，所以，，，由（1）知，平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，平面與平面所成角記為，由，，得，取，得，，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.解法2：因為平面平面，平面平面，所以過點作平面的垂線必在平面內(nèi).又因為，所以可以以為坐標(biāo)原點，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，，，所以，，，由（1）知，平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，平面與平面所成角記為，由，，得，取，得，，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知直線是曲線的切線，且對恒成立，求的最大值.解：（1），令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，.當(dāng)時，直線是曲線的切線，且對恒成立，滿足題意；當(dāng)時，設(shè)直線與曲線相切于點，，因為，所以，又，因此，又因為，所以，，取，則，，因此存在，使得，不滿足題意.綜上，的最大值為.18.如圖，某興趣小組在坐標(biāo)紙網(wǎng)格中設(shè)計了一款跳棋游戲.規(guī)則如下：游戲參與者以為出發(fā)點，每擲一次均勻硬幣，若擲出正面，則沿小正方形的對角線向右上方移動一格；若擲出反面，則沿小正方形的對角線向右下方移動一格.（1）求甲走完第3步后，到達(dá)點的概率；（2）若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，當(dāng)他走完第4步后，得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）甲和乙都從出發(fā)，走到點的位置，設(shè)走完第步后，甲位于點，乙位于點，其中且.若對任意且都有，則認(rèn)為甲獲勝，求甲獲勝的概率.解：（1）根據(jù)題意，甲向上走了一步，向下走了兩步，.（2）設(shè)甲向上走了步，可取0，1，2，3，4，則，，，，，，.則的分布列為：05101520所以.（3）解法1：甲一共需要走5步，其中向右下方走2步，向右上方走3步.從5步中選2步是向右下方走的組合數(shù)為.同理，乙也有種走法；游戲參與者在第，步向右下方走記為，①，當(dāng)甲為時，乙有1種情