高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以，所以．故選：B．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得．故選：A．3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得．又，則，所以，所以．故選：C．4.已知分別為橢圓的左、右焦點，點為上一點，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，，所以，由橢圓的定義可知，，又，所以，，所以．故選：D5.已知向量滿足，，且，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】因為，，所以.由，得，即，整理得，解得，或（舍去）．故選：C．6.已知，若，則展開式中含項的系數(shù)為（）A. B. C.90 D.270【答案】B【解析】令，，得，解得．又的展開式的通項為，所以，解得，所以展開式中含項的系數(shù)為．故選：B．7.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即．因為，，所以，即，所以，且．因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，故，所以A正確，B，C，D錯誤．故選：A．8.已知10個樣本數(shù)據(jù)的平均值為10，方差為6，則這10個數(shù)據(jù)的分位數(shù)的最大值為（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】設(shè)這10個樣本數(shù)據(jù)分別為，且．因為，所以這10個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．設(shè)的平均值為，方差為，的平均值為，方差為，由題意知，則；，所以，整理得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，時，取到最大值13.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知圓錐的頂點為，為底面直徑，是面積為1的直角三角形，則（）A.該圓錐的母線長為 B.該圓錐的體積為C.該圓錐的側(cè)面積為 D.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為【答案】ABD【解析】設(shè)該圓錐的母線長為，如下圖所示：因為軸截面是面積為1的直角三角形，即為直角；所以，解得，A正確；設(shè)該圓錐的底面圓心為，在中，，所以，則圓錐的高，所以該圓錐的體積，側(cè)面積為，B正確、C錯誤；設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，所以，D正確．故選：ABD．10.已知直線（不同時為0，），，拋物線的焦點為，則（）A.直線與恒有兩個交點B.直線被截得的最短弦長為C.與拋物線交于兩點，則D.當(dāng)時，直線與拋物線交于兩點，則【答案】AB【解析】對于A，由直線，知直線恒過定點．又點在內(nèi)，所以直線與恒有兩個交點，A正確；對于B，易知當(dāng)時，直線被截得的弦最短，此時，最短弦長為，B正確；對于C，聯(lián)立得，解得，如下圖所示：結(jié)合圖形知，代入得，，所以，C錯誤；對于D，易知直線經(jīng)過拋物線的焦點，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則．由拋物線的定義知，，所以，D錯誤．故選：AB．11.設(shè)均是定義在上的函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A.若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱B.若是最小正周期為1的函數(shù)，則是最小正周期為3的函數(shù)C.若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱D.若是奇函數(shù)，則【答案】BCD【解析】對于A，因為是偶函數(shù)，所以，所以，即的圖象關(guān)于直線對稱，故A錯誤；對于B，因為是最小正周期為1的函數(shù)，所以是最小正周期為1的函數(shù)，設(shè)的最小正周期為，由，得，故B正確；對于C，由，得，又是偶函數(shù)，所以，所以，則的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，由C項可知，，因為是奇函數(shù)，所以，即，則，所以，因此的圖象關(guān)于點對稱，且，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.有6張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字，現(xiàn)從這6張卡片中隨機抽出2張，則抽出的2張卡片上的數(shù)字之和等于5的概率為______．【答案】【解析】從6張卡片中隨機抽出2張，則樣本空間中總的樣本點數(shù)為，其中抽出的2張卡片上的數(shù)字之和等于5的組合有1，4或2，3共2種，所以抽出的2張卡片上的數(shù)字之和等于5的概率為．故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】令，得．又，則．令，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，所以的圖象與直線在上有且僅有4個交點，如下圖所示：由圖可知，解得，即的取值范圍是．故答案為：14.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由，得上恒成立，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，則，所以在上恒成立．當(dāng)時，恒成立，則；當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，得．設(shè)，則，當(dāng)或時，，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則在上最大值為，在上的最小值為．綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，，求；（3）若，，求．（1）證明：由三角形內(nèi)角和及二倍角的余弦公式，可得，即，則．又，，所以，或，因為，所以，故；（2）解：由（1）知，，又，所以，，由正弦定理，得，所以；（3）解：由正弦定理，得，所以，所以，由余弦定理，得，解得．16.如圖，在等腰梯形中，過分別作底邊上的高，垂足分別為，，，將，分別沿折起，使點分別到達點的位置，使得，點分別為的中點，且．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求平面與平面所成的二面角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接．在正方形中，因為點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．在中，因為點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）證明：因為，所以．因為，，且為等腰梯形，所以．又點分別為的中點，所以，則，因為，所以，則．又，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（3）解：由（2）可知，兩兩垂直，以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，由取，得，，故．設(shè)平面的一個法向量，由取，得，，故，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以，故平面與平面所成的二面角的正弦值為．17.已知函數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與曲線只有一個交點，求實數(shù)的值；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，，則，又，所以曲線在點處的切線方程為，即．因為曲線在點處的切線與曲線只有一個交點，所以方程只有一個解，即只有一個解，當(dāng)時，方程只有一個解，符合題意；當(dāng)時，，即，因為方程的，所以方程無解，綜上所述，實數(shù)的值為0．（2）由，可得．因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，則，，故實數(shù)的取值范圍為．18.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，過的直線與交于兩點，當(dāng)軸時，．（1）求雙曲線的離心率；（2）若經(jīng)過點，為的左支上一動點．（ⅰ）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，求的面積的最小值；（ⅱ）設(shè)，為的右支上一動點，若三點不共線，且平分，證明：直線恒過定點．解：（1）當(dāng)軸時，，解得．由，得，所以，整理得，解得（舍去），故雙曲線離心率為．（2）由（1）知，，又，所以，所以的方程為．將代入，得，故的方程為．（ⅰ）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，其直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，則，，所以．設(shè)過點與直線平行的直線的方程為，當(dāng)直線與的左支相切時，直線與直線之間的距離最小，此時的面積最小．聯(lián)立得，則，解得，當(dāng)時，直線與的左支相切，符合題意；當(dāng)時，直線與的右支相切，不符合題意，所以直線與直線之間距離，故的面積的最小值為．（ⅱ）證明：由上可知，，所以直線的方程為．因為平分，所以直線與關(guān)于直線對稱，所以直線與的斜率之積為1，顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，則，且，，，，整理得，所以，即，解得，或．當(dāng)時，直線的方程為，即直線恒過定點，三點共線，舍去；當(dāng)，且時，此時直線恒過定點．綜上可知，直線恒過定點．19.設(shè)是項數(shù)為且各項均不相等的正項數(shù)列，滿足下列條件的數(shù)列稱為的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”：①數(shù)列的項數(shù)為；②中任意兩項乘積都是中的項；③是公比大于1的等比數(shù)列．（1）已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，，，求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且的前3項成等比數(shù)列的概率為，求的值；（3）證明：不存在“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”．（1）解：因為，，，由定義可知，，故數(shù)列的通項公式為；（2）解：因為中4項均不相同，所以有種，有項，假設(shè)，則，，，．設(shè)的公比為，則，又數(shù)列的第三項，第四項，或第三項，第四項，所以，且，得，且，或，且，得，且，這兩種情況，不能同時成立，使得的前3項為等比數(shù)列有4種情況，故．（3）證明：當(dāng)時，假設(shè)的各項從小到大排列，此時數(shù)列有項，則，，，，因為是等比數(shù)列，所以，即，所以．設(shè)的公比為，則，所以，所以，，剩余四項為，，，，又公比，所以，，是連續(xù)三項，因此是第4項或第7項，當(dāng)時，，所以，即，不符合題意；當(dāng)時，，所以，即，不符合題意；因此當(dāng)時，不存在“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”．山西省晉城市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，所以，所以．故選：B．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得．故選：A．3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得．又，則，所以，所以．故選：C．4.已知分別為橢圓的左、右焦點，點為上一點，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，，所以，由橢圓的定義可知，，又，所以，，所以．故選：D5.已知向量滿足，，且，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】因為，，所以.由，得，即，整理得，解得，或（舍去）．故選：C．6.已知，若，則展開式中含項的系數(shù)為（）A. B. C.90 D.270【答案】B【解析】令，，得，解得．又的展開式的通項為，所以，解得，所以展開式中含項的系數(shù)為．故選：B．7.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即．因為，，所以，即，所以，且．因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，故，所以A正確，B，C，D錯誤．故選：A．8.已知10個樣本數(shù)據(jù)的平均值為10，方差為6，則這10個數(shù)據(jù)的分位數(shù)的最大值為（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】設(shè)這10個樣本數(shù)據(jù)分別為，且．因為，所以這10個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．設(shè)的平均值為，方差為，的平均值為，方差為，由題意知，則；，所以，整理得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，時，取到最大值13.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知圓錐的頂點為，為底面直徑，是面積為1的直角三角形，則（）A.該圓錐的母線長為 B.該圓錐的體積為C.該圓錐的側(cè)面積為 D.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為【答案】ABD【解析】設(shè)該圓錐的母線長為，如下圖所示：因為軸截面是面積為1的直角三角形，即為直角；所以，解得，A正確；設(shè)該圓錐的底面圓心為，在中，，所以，則圓錐的高，所以該圓錐的體積，側(cè)面積為，B正確、C錯誤；設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，所以，D正確．故選：ABD．10.已知直線（不同時為0，），，拋物線的焦點為，則（）A.直線與恒有兩個交點B.直線被截得的最短弦長為C.與拋物線交于兩點，則D.當(dāng)時，直線與拋物線交于兩點，則【答案】AB【解析】對于A，由直線，知直線恒過定點．又點在內(nèi)，所以直線與恒有兩個交點，A正確；對于B，易知當(dāng)時，直線被截得的弦最短，此時，最短弦長為，B正確；對于C，聯(lián)立得，解得，如下圖所示：結(jié)合圖形知，代入得，，所以，C錯誤；對于D，易知直線經(jīng)過拋物線的焦點，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則．由拋物線的定義知，，所以，D錯誤．故選：AB．11.設(shè)均是定義在上的函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A.若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱B.若是最小正周期為1的函數(shù)，則是最小正周期為3的函數(shù)C.若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱D.若是奇函數(shù)，則【答案】BCD【解析】對于A，因為是偶函數(shù)，所以，所以，即的圖象關(guān)于直線對稱，故A錯誤；對于B，因為是最小正周期為1的函數(shù)，所以是最小正周期為1的函數(shù)，設(shè)的最小正周期為，由，得，故B正確；對于C，由，得，又是偶函數(shù)，所以，所以，則的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，由C項可知，，因為是奇函數(shù)，所以，即，則，所以，因此的圖象關(guān)于點對稱，且，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.有6張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字，現(xiàn)從這6張卡片中隨機抽出2張，則抽出的2張卡片上的數(shù)字之和等于5的概率為______．【答案】【解析】從6張卡片中隨機抽出2張，則樣本空間中總的樣本點數(shù)為，其中抽出的2張卡片上的數(shù)字之和等于5的組合有1，4或2，3共2種，所以抽出的2張卡片上的數(shù)字之和等于5的概率為．故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】令，得．又，則．令，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，所以的圖象與直線在上有且僅有4個交點，如下圖所示：由圖可知，解得，即的取值范圍是．故答案為：14.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由，得上恒成立，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，則，所以在上恒成立．當(dāng)時，恒成立，則；當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，得．設(shè)，則，當(dāng)或時，，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則在上最大值為，在上的最小值為．綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，，求；（3）若，，求．（1）證明：由三角形內(nèi)角和及二倍角的余弦公式，可得，即，則．又，，所以，或，因為，所以，故；（2）解：由（1）知，，又，所以，，由正弦定理，得，所以；（3）解：由正弦定理，得，所以，所以，由余弦定理，得，解得．16.如圖，在等腰梯形中，過分別作底邊上的高，垂足分別為，，，將，分別沿折起，使點分別到達點的位置，使得，點分別為的中點，且．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求平面與平面所成的二面角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接．在正方形中，因為點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．在中，因為點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）證明：因為，所以．因為，，且為等腰梯形，所以．又點分別為的中點，所以，則，因為，所以，則．又，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（3）解：由（2）可知，兩兩垂直，以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，由取，得，，故．設(shè)平面的一個法向量，由取，得，，故，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以，故平面與平面所成的二面角的正弦值為．17.已知函數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與曲線只有一個交點，求實數(shù)的值；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，，則，又，所以曲線在點處的切線方程為，即．因為曲線在點處的切線與曲線只有一個交點，所以方程只有一個解，即只有一個解，當(dāng)時，方程只有一個解，符合題意；當(dāng)時，，即，因為方程的，所以方程無解，綜上所述，實數(shù)的值為0．（2）由，可得．因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，則，，故實數(shù)的取值范圍為．18.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，過的直線與交于兩點，當(dāng)軸時，．（1）求雙曲線的離心率；（2）若經(jīng)過點，為的左支上一動點．（ⅰ）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，求的面積的最小值；（ⅱ）設(shè)，為的右支上一動點，若三點不共線，且平分，證明：直線恒過定點．解：（1）當(dāng)軸時，，解得．由，得，所以，整理得，解得（舍去），故雙曲線離心