高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市2025屆高三下學期5月第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以，故選：A.2.若復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A.3.已知實數滿足，則（）A.11 B.12 C.16 D.17【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.4.已知為正項等差數列，若，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】，解得，由于為正項等差數列，則，解得，，等號成立當且僅當，所以的最大值為8.故選：C.5.將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象．若的圖象關于軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意是偶函數，從而，解得.故選：B.6.已知隨機變量，為使在內的概率不小于（若，則)，則的最小值為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】若隨機變量，則，，為使在內的概率不小于，則，解得，即的最小值為32.故選：C.7.已知，若向量與向量互相垂直，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】因為，，顯然、、、均不為，所以，即，所以，所以，因為向量與向量互相垂直，所以則，又，解得.故選：C8.已知分別為雙曲線的左、右焦點，為左支上一點，滿足，與的右支交于點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以的三個內角都是，從而，結合雙曲線定義得，故，又，故，結合，故由余弦定理得，化簡得，解得.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A，，因為，所以，即，所以，故A正確；對于B，取，此時，故B錯誤；對于C，取，則，故C錯誤，對于D，若，則顯然成立，若，則成立，若，則成立，綜上所述，只要，就一定有，故D正確.故選：AD.10設函數，則（）A.有3個零點B.過原點作曲線的切線，有且僅有一條C.與交點的橫坐標之和為0D.在區間上的取值范圍是【答案】BC【解析】，00單調增單調減單調增，所以有2個零點，A不正確；對于選項B：設切點，則切線方程為，代入原點，得，故切線有且僅有一條，正確；對于選項C：或，若，根據對稱性知，根之和0，若，方程只有一個根為0，故正確；對于選項D：，又，故在區間上的取值范圍是，錯誤.故選：BC.11.三棱錐中，，則（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐外接球的表面積為C.過中點的平面截三棱錐外接球所得最小截面的半徑為1D.當時，的最小值為【答案】ACD【解析】由題設給定的三棱錐，，所以，即，又平面，所以平面，故可將其補全為一個正方體，其中為三條棱，為體對角線，如下圖示，由，則，A對；由圖，易知三棱錐的外接球，即為正方體的外接球，且球心為的中點，所以外接球的半徑，故其表面積為，B錯；要使過中點的平面截三棱錐外接球所得截面半徑最小，連接，只需截面與垂直即可，此時最小半徑為，而，所以，C對；構建如圖示的空間直角坐標系，又，設，則，所以，當時，，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若樣本數據的均值為10，則樣本數據的均值為__________．【答案】19【解析】若樣本數據的均值為10，則樣本數據的均值為.故答案為：19.13.已知分別為橢圓的左、右焦點，的離心率為，過與長軸垂直的直線交于兩點，交軸于點，若，則的周長為__________．【答案】【解析】因為離心率，且在橢圓中可得，，建立如何所示的平面直角坐標系，，，因為垂直于軸，垂足為，故，代入橢圓方程可得，，又為與軸交點，可得，因為，由兩點之間的距離公式可得，又，，解得，，則則的周長為，故答案為：.14.已知正整數，歐拉函數表示、、、中與互質的整數的個數，例如，，，且、互質時，．若從、、、中隨機取一個數，則滿足的概率為__________．【答案】【解析】當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時.所以，從、、、中隨機取一個數，則滿足的數的取值集合為，故所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，為等邊三角形，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為底面為矩形，所以，又因為，所以，又因為平面，，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：取中點連接，因為為等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖所示，以點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，從而，設平面的法向量分別為，從而，，令，解得，故可取，設平面與平面夾角為，則，故所求為.16.體育是培養學生高尚人格的重要途徑之一．足球作為一項團隊運動項目，深受學生喜愛，為了解學生喜愛足球運動是否與性別有關，隨機抽取了100名學生作為樣本，統計得到如下的列聯表：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男生40女生25合計100已知從這100名學生樣本中隨機抽取1個，抽到喜愛足球運動的學生的概率為．（1）求；（2）根據小概率值的獨立性檢驗，判斷學生喜愛足球運動是否與性別有關？（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，現在從喜愛足球運動的學生中隨機抽取30名，記其中男生的人數為，求使事件“”概率最大的的值．附：，解：（1）因為從這100名學生樣本中隨機抽取1個，抽到喜愛足球運動的學生的概率為，所以；（2）零假設：喜愛足球運動與性別無關．作出列聯表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男生401555女生202545合計6040100由題，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷成立，也就是說沒有的把握認為喜愛足球運動與性別有關．（3）現在從喜愛足球運動的學生中隨機抽取1名學生，該學生是男生的概率是，從而從喜愛足球運動的學生中隨機抽取30名時，記其中男生的人數為，則，所以，令，解得，故使事件“”概率最大的的值為20．17.已知函數．（1）當時，討論的單調性；（2）設函數，已知有兩個極值點．①求的取值范圍；②求證：．解：（1）對函數求導得，，若，則，若，，此時在定義域上單調遞增，若，則，當或時，，當時，，此時在上單調遞增，在上單調遞減，若，則，當或時，，當時，，此時在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，若，則在定義域上單調遞增；若，則在上單調遞增，在上單調遞減；若，則在上單調遞增，在上單調遞減.（2）①，求導得，因為有兩個極值點，所以有兩個“變號”零點，即有兩個零點，令，是一一對應的，從而有兩個零點，設，該二次函數開口向下，對稱軸是，注意到，所以，即的取值范圍是；②由（2）①不妨設，即，等價于，由韋達定理有，，，令，，所以單調遞增，從而.18.對集合，定義集合，記為有限集合元素個數．（1）若，求；（2）給定集合的子集，求集合的元素個數；（3）設為有限集合，證明：．（1）解：因為中的元素是要么只屬于，要么只屬于，所以；（2）解：設，則，因為，故符合條件的的個數為.（3）證明：對任意元素，因為恰屬于集合之一，不妨設且．若，則；若，則．故，從而．因此，結論成立．19.已知拋物線的焦點為，為圓上的動點，的最大值為．（1）求的方程；（2）已知點，按照如下方式構造點，設直線為在點處的切線，過點作的垂線交于另一點，記的坐標為．①證明：當時，；②設的面積為，證明：．解：（1）拋物線的準線方程為，由題意可知，所以，解得，所以的方程為；（2）①設，因為，所以點處的切線斜率為，所以直線斜率為，所以直線，與聯立可得，，可得，即橫坐標為，所以，當時，有，又，故，所以；②直線的方程為，點到直線的距離為，所以，所以，由（1）知，即，所以當時，，所以當時，，所以，當時，，當時，，所以，.山東省臨沂市2025屆高三下學期5月第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以，故選：A.2.若復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A.3.已知實數滿足，則（）A.11 B.12 C.16 D.17【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.4.已知為正項等差數列，若，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】，解得，由于為正項等差數列，則，解得，，等號成立當且僅當，所以的最大值為8.故選：C.5.將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象．若的圖象關于軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意是偶函數，從而，解得.故選：B.6.已知隨機變量，為使在內的概率不小于（若，則)，則的最小值為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】若隨機變量，則，，為使在內的概率不小于，則，解得，即的最小值為32.故選：C.7.已知，若向量與向量互相垂直，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】因為，，顯然、、、均不為，所以，即，所以，所以，因為向量與向量互相垂直，所以則，又，解得.故選：C8.已知分別為雙曲線的左、右焦點，為左支上一點，滿足，與的右支交于點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以的三個內角都是，從而，結合雙曲線定義得，故，又，故，結合，故由余弦定理得，化簡得，解得.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A，，因為，所以，即，所以，故A正確；對于B，取，此時，故B錯誤；對于C，取，則，故C錯誤，對于D，若，則顯然成立，若，則成立，若，則成立，綜上所述，只要，就一定有，故D正確.故選：AD.10設函數，則（）A.有3個零點B.過原點作曲線的切線，有且僅有一條C.與交點的橫坐標之和為0D.在區間上的取值范圍是【答案】BC【解析】，00單調增單調減單調增，所以有2個零點，A不正確；對于選項B：設切點，則切線方程為，代入原點，得，故切線有且僅有一條，正確；對于選項C：或，若，根據對稱性知，根之和0，若，方程只有一個根為0，故正確；對于選項D：，又，故在區間上的取值范圍是，錯誤.故選：BC.11.三棱錐中，，則（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐外接球的表面積為C.過中點的平面截三棱錐外接球所得最小截面的半徑為1D.當時，的最小值為【答案】ACD【解析】由題設給定的三棱錐，，所以，即，又平面，所以平面，故可將其補全為一個正方體，其中為三條棱，為體對角線，如下圖示，由，則，A對；由圖，易知三棱錐的外接球，即為正方體的外接球，且球心為的中點，所以外接球的半徑，故其表面積為，B錯；要使過中點的平面截三棱錐外接球所得截面半徑最小，連接，只需截面與垂直即可，此時最小半徑為，而，所以，C對；構建如圖示的空間直角坐標系，又，設，則，所以，當時，，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若樣本數據的均值為10，則樣本數據的均值為__________．【答案】19【解析】若樣本數據的均值為10，則樣本數據的均值為.故答案為：19.13.已知分別為橢圓的左、右焦點，的離心率為，過與長軸垂直的直線交于兩點，交軸于點，若，則的周長為__________．【答案】【解析】因為離心率，且在橢圓中可得，，建立如何所示的平面直角坐標系，，，因為垂直于軸，垂足為，故，代入橢圓方程可得，，又為與軸交點，可得，因為，由兩點之間的距離公式可得，又，，解得，，則則的周長為，故答案為：.14.已知正整數，歐拉函數表示、、、中與互質的整數的個數，例如，，，且、互質時，．若從、、、中隨機取一個數，則滿足的概率為__________．【答案】【解析】當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時；當時，，，此時.所以，從、、、中隨機取一個數，則滿足的數的取值集合為，故所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，為等邊三角形，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為底面為矩形，所以，又因為，所以，又因為平面，，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：取中點連接，因為為等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖所示，以點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，從而，設平面的法向量分別為，從而，，令，解得，故可取，設平面與平面夾角為，則，故所求為.16.體育是培養學生高尚人格的重要途徑之一．足球作為一項團隊運動項目，深受學生喜愛，為了解學生喜愛足球運動是否與性別有關，隨機抽取了100名學生作為樣本，統計得到如下的列聯表：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男生40女生25合計100已知從這100名學生樣本中隨機抽取1個，抽到喜愛足球運動的學生的概率為．（1）求；（2）根據小概率值的獨立性檢驗，判斷學生喜愛足球運動是否與性別有關？（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，現在從喜愛足球運動的學生中隨機抽取30名，記其中男生的人數為，求使事件“”概率最大的的值．附：，解：（1）因為從這100名學生樣本中隨機抽取1個，抽到喜愛足球運動的學生的概率為，所以；（2）零假設：喜愛足球運動與性別無關．作出列聯表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男生401555女生202545合計6040100由題，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷成立，也就是說沒有的把握認為喜愛足球運動與性別有關．（3）現在從喜愛足球運動的學生中隨機抽取1名學生，該學生是男生的概率是，從而從喜愛足球運動的學生中隨機抽取30名時，記其中男生的人數為，則，所以，令，解得，故使事件“”概率最大的的值為20．17.已知函數．（1）當時，討論的單調性；（2）設函數，已知有兩個極值點．①求的取值