正文目錄引言 4研究方法 6傳統方法 7JORION的方法 7ORTIZ的方法 7評估方法 9結果與討論 103.1數據 10樣本外夏普比率 10投資組合權重的標準差 1330個工業行業投資組合結果 13按規模和賬面市值排的25個股票投資組合的果 16按賬面市值比和盈能排序的25個股票投資組的結果總結 16按規模、賬面市值和營盈利能力形成的32個投資組合的結果 1740個單資產的結果 184結論 19風險提示： 19圖表目錄圖表1文章框架 4圖表2多變量均值估計的均方誤差示例 9圖表3樣本外夏普比率：30個等權重工業行業組合的風險溢價 10圖表4樣本外夏普比率：按規模和賬面市值比排序的組合 11圖表5樣本外夏普比率：按賬面市值比和經營盈利能力排序的組合 11圖表6樣本外夏普比率：按規模、賬面市值比和經營盈利能力形成的組合 12圖表7樣本外夏普比率：40個美國大盤股 圖表8使用傳統估計方法的投資組合權重標準差 圖表9使用ORTIZ規則的投資組合權重標準差 圖表10使用JORION規則的投資組合權重標準差 圖表投資組合權重的平均標準差 圖表12投資組合權重的均值標準差的均值 圖表13投資組合權重的標準差的平均值：規模、賬面市值比 圖表14估計均值的標準差的平均值：規模、賬面市值比 16圖表15投資組合權重的標準差的平均值：賬面市值比、盈利能力 17圖表16估計的均值的標準差的平均值：賬面市值比、盈利能力 17圖表17投資組合權重的平均標準差：規模、賬面市值比和經營盈利能力 17圖表18估計的均值的標準差的平均值：規模、賬面市值比和經營盈利能力 18圖表19投資組合權重的平均標準差：單資產 18圖表20估計的均值的標準差的平均值：單資產 18引言圖表1文章框架華安證券研究所整理華安證券研究所整理資料來源：現代投資組合理論（MPT）（Palczewski&Palczewski，2014）資料來源：而參數隨時間的變化可能使最舊的觀測值變得不可用。因此，投資組合經理必須結合這兩個方面來估計參數。MPTMPT（Sharpe，1964）。MPTBestGrauer（1991，1992）表間的差異。Ortiz等（2022）的觀點也是，將特征值轉移到隨機矩陣的特征值空間本文假設投資者每月根據現代投資組合理論重新平衡其投資組合，使用基于歷史回報的平均超額回報和協方差矩陣估計。在傳統的頻率學派方法中，參數估計通常依賴歷史數據作為主要輸入。在貝葉斯方法中，先驗知識和歷史數據都會被考慮。頻率學派的參數估計依賴于參數的漸近性質，即當觀測次數趨向無窮大時。然而，這在觀測次數少且有時類似于變量數量時并不適用。Stein（1956，1962）表明，將傳統均值向量估計和均值的均值（總體均值）稱為James–SteinJorion（1986）使用這種類型的估計器來估計平均回報向量并確定投資Jorion（1985）-注意的是，貝葉斯-斯坦因型估計器通常使用的方法是實現參數的最佳估計并將它ElmachtoubGrigas（2022）-優化方法。Ortiz等（2023）（Britten-Jones，1999）。由于這種等價性，他們指出投資組合優化的一個主要問題是金融資產回報之間的多重共線性過高。因此，Ortiz等（2023）Hoerl和Kennard（1970）ButlerKwon（2023）最優投資組合選擇問題是一個隨機優化問題。因此，參數估計過程是決策優化過程的一部分。正如Elmachtoub和Grigas（2022）指出的，隨機優化過程通常采用預測ElmachtoubGrigas（2022）Butler和Kwon（2023）我們的文章可以被視為預測和優化方法的一部分。然而，通過多元線性回歸和投資組合選擇問題的一階條件之間的等價性（Britten-Jones，1999），實現了同時估計和優化。這使我們能夠直接獲得參數的最佳收縮水平，以最小化決策變量的均方誤差。換句話說，滿足最優性條件的投資組合權重的均方誤差被最小化。需要注意的是，這種方法提高了模型的預測能力，并為決策變量提供了穩定性。在預測和優化的新方法中，使用均方誤差最小化方法的優勢值得注意。正如Cai等（2024）指出的，“考慮均方誤差的一個巨大優勢在于，它不僅捕捉了偏差-方差權衡，還允許簡單的分析和數值處理。”本文對三種方法的樣本外性能進行了實證評估：傳統方法、Jorion（1985）的方法），以及Ortiz（2023））合權重的標準差。Palczewski和Palczewski（2014，第403頁）指出，投資組合權重的穩定性至關重要。為此評估，使用了DeMiguel等（2009）和Ortiz等（2022）的方法。本文假設投資者僅有歷史數據，并依賴現代投資組合理論來選擇其投資組合。也就是說，沒有額外的信息，如投資組合經理的專家判斷或另一個理論模型（例如資產定價模型），可以提高參數估計的精度。本研究的主要發現是，使用通過最小化投資組合權重的均方誤差將均值向量收120提供比1/nJorion（1985）提出的方法和傳統方法，無論是在樣本外夏普比率還是投資組合權重的波動性方面。還觀察到，這種方法產生的平均估計均值比其他方法更穩定。最后，需要注意的是，在本文中，協方差矩陣是使用傳統方法估計的，即沒有像Ortiz等（2023）1/nPalczewskiPalczewski（2014）MPT研究方法假設投資者準備投資于風險資產和無風險資產。在現代投資組合理論（MPT）框架下，投資者旨在最大化其效用函數：其中，????是預期回報，γ是投資者的風險厭惡程度，????是投資組合的標準差。投資組合的預期回報????可以表示為：其中是險價投組合方可表為：其中，wn????n。為了最大化夏普比率，僅包含風險資產的投資組合的權重為：模型的參數是無風險利率????，風險溢價向量π，和協方差矩陣Σ。估計???僅包含風險資產的切線投資組合的權重，需要估計風險溢價向量和協方差矩陣。本文重點評估估計均值向量的方法。因此，協方差矩陣的估計采用傳統方法。傳統方法傳統方法使用無偏和最小方差估計。協方差矩陣的估計為：均值向量為：其中，R包含T個單個資產的歷史風險溢價值。Jorion的方法自Stein（1956）????Σn2的情況，Efron和is5???(??Stein的均值估計器表示為式（6）：其中，π是傳統的均值向量，??0是均值的平均值（樣本均值），1是維度為n的列向量，所有元素均為1，δ是收縮參數。Jorion（1985）使用均值收縮來減少投資組合優化中的參數估計風險。然而，他提出了以下表達式來確定收縮的最佳水平：式（7）將確定均值向量向其總體均值壓縮的程度。Ortiz的方法估計均值向量的第三種方法采用了Ortiz等（2023）開發的方法。該方法的論點總結如下。Britten-Jones（1999）表明，投資組合優化等價于一種特殊的多元線性回歸。在這種回歸中，解釋變量是常數，而因變量是風險資產的風險溢價回報。其中，????=1/??。的多元線性回歸系數的值最小化了解釋變量與大于零的風險溢價（等于1/T）的平方距離，且標準差為零。在這種情況下，回歸系數????是投資組合權重????。鑒于Markowitz規則的樣本外性能較低（DeMiguel等，2009報告）和投資組合權重的極端波動性（Jobson和Korkie，1981等報告），Ortiz等（2023）使用協假設維度為T×n的矩陣R存儲T個金融資產的風險溢價。在這種情況下，其中，y是維度為T的列向量，所有元素均為1/T。但：因此，我們可以使用以下作為均值向量的估計器：其中，π^0n然后，我們可以計算：β(δ)的方差及其與期望值的平均距離（最小二乘估計器（LSEs）的方差）可LSEs的方差的跡為：（15）δ010.01長分配δL(δ)隨δ249%Jorion的方法，像Ortiz的方法一樣，將均值向量收縮到其總體均值。然而，損失函數不同。前者最小化估計均值向量的均方誤差，而后者最小化投資組合權重圖表2多變量均值估計的均方誤差示例《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：說明：該圖顯示了隨著均值向量向其總體均值壓縮，估計投資組合權重的均方誤差如何變化。隨著收縮從零增加，均方誤差（ECM）減少直至達到最小值，然后再次增加。我們使用了來自30個行業投資組合的120個月度觀測值（1926年7月至1933年7月）。資料來源：評估方法使用兩個性能指標來評估三種估計均值向量方法的效果：樣本外夏普比率和投資組合權重的波動性。樣本外夏普比率表示獲得的平均風險溢價除以標準差，而投資組合權重的波動性表示權重隨時間的變化程度。較高的夏普比率對投資者來說是積極的，而權重的標準差較高則不受歡迎。我們使用類似于DeMiguel等（2009）和Ortiz等（2023）中使用的滾動樣本評估三種方法的實證性能。考慮一組T個觀測值，n個金融資產的風險溢價被視為大小為m的移動樣本。使用前m個觀測值計算投資組合權重。然后確定下一(T?m)(T?m)實現的超額回報計算如下：使用此實現超額回報，我們計算三種規則的樣本外夏普比率，首先計算：然后，實現的夏普比率為：獲得的(T?m)個投資組合權重用于計算每個投資組合權重的標準差：???是??結果與討論數據我們考慮了五個數據庫：30（1926720249月）。25（1926720249月）。25（196372024年9月）。32（19637月20249月。40（1980320239French樣本外夏普比率330來自French網站）10、20、...、250201301/??）給Ortiz（圖表3樣本外夏普比率：30個等權重工業行業組合的風險溢價《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：42510、20、、250資料來源：30到50個月度觀測值的移動樣本大小，1/??投資規則（紅線）給出了更高的樣本外夏普比率。對于更大的樣本大小，Ortiz方法（藍線）占據優勢。圖表4樣本外夏普比率：按規模和賬面市值比排序的組合《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：52510、20、250301/??）Ortiz（）資料來源：圖表5樣本外夏普比率：按賬面市值比和經營盈利能力排序的組合《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：62510、20、25030401/??）Ortiz（）資料來源：圖表6樣本外夏普比率：按規模、賬面市值比和經營盈利能力形成的組合《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：740180資料來源：個樣本觀測值的移動樣本大小，1/??規則的樣本外夏普比率更高。對于大于180Ortiz1/??190Jorion1/??1/??圖表7樣本外夏普比率：40個美國大盤股《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：從上述結果可以看出，用于選擇投資組合的均值向量估計方法至關重要。傳統方法的表現不如James–Stein型方法。在分析的兩種收縮方法中，通過最小化投資組合權重的均方誤差來確定收縮水平的方法表現更好。資料來源：最小化投資組合權重均方誤差的方法表現更優，原因在于該方法同時進行估計與優化，而其他方法先估計后優化。資料來源：投資組合權重的標準差資料來源：50100、150150200250以下是投資組合權重的平均波動率。然而，僅提供30個工業行業投資組合數據集的單個投資組合權重的分解。對于其他數據集，提供了所有投資組合權重的標準差及其使用每種方法估計的均值的標準差的總結。這些數據集的結果分解見附錄 A、B、C 和 D（https:///science/article/pii/S1057521925002236#appA）。30個工業行業投資組合的結果傳統方法83015012.51圖表8使用傳統估計方法的投資組合權重標準差《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所Ortiz的方法930Ortiz50投資組合權重的波動性也顯著低于傳統方法。隨著移動樣本大小的增加，投資組合權重的波動性降低。對于等于150個月度觀測值的樣本大小，投資組合權重的平均27%16%。《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表9使用Ortiz《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：Jorion的方法資料來源：1030Jorion樣本大小的增加，投資組合權重的波動性降低。對于等于150個月度觀測值的樣125%73%。圖表10使用Jorion規則的投資組合權重標準差《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：30個工業行業投資組合的結果總結資料來源：30150Ortiz29.8倍，比Jorion4.6《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：圖表11《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：12OrtizJorionOrtizOrtiz26%Jorion方法9%。《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表12《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：按規模和賬面市值比排序的25個股票投資組合的結果資料來源：1325150Ortiz26Jorion3.1《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表13《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：圖表14OrtizOrtiz12%Jorion5%。資料來源：《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表14《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：按賬面市值比和盈利能力排序的25個股票投資組合的結果總結資料來源：圖表15總結了每種均值向量估計方法的25個股票投資組合權重的標準差的平150Ortiz26Jorion3.9《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表15《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：圖表16OrtizOrtiz36%Jorion18%。資料來源：《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表16《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：按規模、賬面市值比和經營盈利能力形成的32個投資組合的結果資料來源：圖表17總結了投資組合權重標準差的結果。它顯示了每種均值向量估計方法32150Ortiz2.8Jorion1.9倍。隨《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表17《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：18OrtizJorionOrtizOrtiz29%Jorion方法14%。資料來源：《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表18《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：40個單資產的結果資料來源：圖表19總結了投資組合權重的標準差的結果。對于等于150個月度觀測值的樣本大小，Ortiz方法的投資組合權重平均波動性比傳統方法小2.2倍，比Jorion方法小1.3倍。隨著滾動樣本大小的增加，這些差異會減小。《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表19《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：20估計的均值OrtizJorionOrtiz資料來源：Ortiz44%，比Jorion方法低11%。《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表20《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：總之，Ortiz方法在估計均值向量時比其他方法提供了更高的夏普比率，投資組合權重的波動性更低，且均值向量的估計更準確。這可能表明均值的假設基本價資料來源：