40.一輪備考中計算向量數(shù)量積的六大方法一．基本原理1.定義法平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有().2.坐標(biāo)法設(shè)向量為向量的夾角.（1）數(shù)量積:.（2）模:.（3）夾角：（4）兩非零向量的充要條件:.3.基底法4.投影法向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為；當(dāng)時投影為；當(dāng)時投影為.5.極化恒等式人教版必修二第22頁練習(xí)3設(shè)置了這樣的問題：求證：.若我們將這個結(jié)論進(jìn)一步幾何化，就可以得到一把處理數(shù)量積范圍問題的利器：極化恒等式.下面我先給出這道習(xí)題的證明，再推出該恒等式.證明：由于，兩式相減可得：.特別，在中，設(shè)，點為中點，再由三角形中線向量公式可得：(極化恒等式).6.與外心有關(guān)的數(shù)量積計算結(jié)論：如圖1，，特別地，若點在線段的中垂線上時，.如圖1如圖2進(jìn)一步，外心性質(zhì)：如圖2，為的外心，可以證明：（1）.；，同理可得等.（2）.，同理可得等.（3）.，同理可得等.證明:二．典例分析★1.定義法計算例1．已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．解析：，，，.，因此，.故選：D.★2.基底法計算例2．已知平面向量滿足，，其中為不共線的單位向量，若對符合上述條件的任意向量，恒有，則夾角的最小值是（

）A． B． C． D．解析：因，則，依題意，恒成立，而，為不共線的單位向量，即有，于是得恒成立，則，即有，又，解得，所以夾角的最小值是.故選：B★3.坐標(biāo)法計算數(shù)量積例3．已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得,故選：C★4.投影法計算例4.（2020年新高考卷）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范用是（）A. B.C. D.解析：的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.（方法2）坐標(biāo)法如圖,取為坐標(biāo)原點,所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則,.設(shè),則,且.所以.答案:A★5.極化恒等式例5．（2017年2卷）已知是長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）A. B． C． D．解析：（方法1.幾何法）設(shè)點為中點，可得，再設(shè)中點為，這樣用極化恒等式可知：，在等邊三角形中，，故取最小值當(dāng)且僅當(dāng)取最小，即，故.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）（方法2.坐標(biāo)法）以中點為坐標(biāo)原點，由于，，．設(shè)，，，，故，則其最小值為，此時，．★6.外接圓性質(zhì)例6．已知點是的外心，，，，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8解析：如圖，點O在、上的射影是點、，它們分別為、的中點．由數(shù)量積的幾何意義，可得，．又，所以，又，所以，即．同理，即，解得．所以．故選：C.三.習(xí)題演練1．已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2解析：∵，又∵∴9，∴故選：C.2．已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得,故選：C3．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．解析因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．4．已知向量，滿足，，則_________解析：法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.5．已知向量，，，________．解析：由已知可得，因此，.故答案為：.6．若向量滿足，則_________解析:∵∴,∴.故答案為：.7.（2022北京卷）在中，，，．為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，解析：取中點，由向量的加法知，，從而.所以求的最值轉(zhuǎn)化為求線段中點到單位圓上動點的距離的最值.在中，.設(shè)直線與單位圓相交于，兩點，當(dāng)點位于點，處時，分別取得最小值和最大值，從而的取值范圍是.8.（2017年江蘇卷）在直角坐標(biāo)系中，，點P在圓上，若，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是解析：設(shè)中點為，則，故可知滿足題意的動點P又在圓上，聯(lián)立兩圓方程可得，P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：.9．在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．解析：由，可得為與在方向上的投影之積.正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過M作于，設(shè)以C為圓心的圓與垂直的，切線與圓切于點N與延長線交點為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，，則的取值范圍是.故選A.10．已知是的外心，，，則（

）A．10 B．9 C．8 D．6解析：如圖，O為的外心，設(shè)為的中點，則,故,故選：A注.關(guān)于極化恒等式的應(yīng)用，我將其總結(jié)為在處理數(shù)量積范圍問題時，若發(fā)現(xiàn)題干有“共起點，定底邊”的特征，我們就可嘗試使用該恒等式，做法就是把中線連出即可，下面我將再通過一個例題予以分析.11.（2021成都三診）已知等邊的三個頂點均在圓上，點，則的最小值為（）A． B． C． D．解析：（法1.極化恒等式）根據(jù)題干特征，共起點的數(shù)量積范圍問題，我們嘗試往恒等式方向走.記中點為，中點為.由于，而.由于為等邊三角形，則三點共線，且由于是外心，也是重心，故.則，顯然，由在圓外，且共線（中點為），則.綜上所述，.（法2.基底法），因為等邊的三個頂點均在圓上，因此，，因為等邊的三個頂點均在圓上，所以原點是等邊的重心，因此，所以有：，當(dāng)時，即同向時，有最小值，最小值為.12．在邊長為4的菱形中，，為中點，為平面內(nèi)一點，若，A．16 B．14 C．12 D．8解析：由可得：，故在中垂線上，由投影的定義可得：.再根據(jù)余弦定理可得：，故可得選B.13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，A是雙曲線C的左頂點，以為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．2解析：方法一：依題意，易得以為直徑的圓的方程為.又由雙曲線，易得雙曲線C的漸近線方程為.當(dāng)時，如圖，設(shè)，則.聯(lián)立，解得或，所以，.又因為，所以軸.所以，.所以，所以.因為，所以.同理，當(dāng)時，亦可得.故雙曲線C的離心率為.故選：C.方法二（極化恒等式）：易得坐標(biāo)原點O為線段PQ的中點，且，所以，所以，所以.故選：C.14．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點O是的外心，．（1）求角A；（2）若外