48不等式的性質(zhì)教材分析這節(jié)的主要內(nèi)容是不等式的概念、不等式與實(shí)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系和不等式的性質(zhì)．這部分內(nèi)容是不等式變形、化簡(jiǎn)、證明的理論依據(jù)及基礎(chǔ)．教材通過(guò)具體實(shí)例，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的不等關(guān)系．在不等式與實(shí)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納和論證了不等式的一系列性質(zhì)．教學(xué)重點(diǎn)是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法和不等式的性質(zhì)，教學(xué)難點(diǎn)是不等式性質(zhì)的證明及其應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)具體情境，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等關(guān)系與不等式的聯(lián)系，會(huì)用不等式表示不等關(guān)系．2.理解并掌握比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法．3.引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)不等式的性質(zhì)，并利用比較實(shí)數(shù)大小的方法論證這些性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和邏輯論證能力．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境教師通過(guò)下列三個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)不等式的情境，并引導(dǎo)學(xué)生思考．1.公路上限速40km／h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方行駛時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40km／h，用不等式表達(dá)即為v≤40km／h．2.某種雜志以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售量就可能相應(yīng)減少2000本．若把提價(jià)后雜志的定價(jià)改為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售的總收入的不低于20萬(wàn)元？x·［80000－2000（x－25）］≥200000．3.某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm的3倍，試寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．設(shè)600mm鋼管的數(shù)量為x，500mm的數(shù)量為y，則通過(guò)上述實(shí)例，說(shuō)明現(xiàn)實(shí)世界中，不等關(guān)系是十分豐富的，為了解決這些問(wèn)題，須要我們學(xué)習(xí)不等式及基本性質(zhì)．二、建立模型1.教師精講，分析我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大，用不等式表示為ａ＞ｂ，即ａ減去ｂ所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)．一般地，設(shè)ａ，ｂ∈R，則ａ＞ｂａ－ｂ＞0，ａ＝ｂａ－ｂ＝0，ａ＜ｂａ－ｂ＜0．由此可見(jiàn)，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考查它們的差就可以了．例如，比較（ａ＋3）（ａ－5）與（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差變形，然后判斷符號(hào)．2.通過(guò)問(wèn)題或復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)不等式的性質(zhì)（1）對(duì)于“甲的年齡大于乙的年齡”，你能換一種不同的敘述方式嗎？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲與丙哪個(gè)高嗎？（3）回憶初中已學(xué)過(guò)的不等式的性質(zhì)，試用字母把它們表示出來(lái)．用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出上面的問(wèn)題，便可得出不等式的一些性質(zhì)：定理1如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．定理2如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．定理3如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．定理4如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．3.定理1～4的證明關(guān)于定理1～4的證明要注意：（1）定理為什么要證明？（2）證明定理的主要依據(jù)或出發(fā)點(diǎn)是什么？（3）定理的證明要規(guī)范，每步推理要有根據(jù)．（4）關(guān)于定理3的推論，定理4的推論1，可由學(xué)生獨(dú)立完成證明．4.考慮定理4的推論2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命題，得出定理5定理5如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．由于直接證明定理5較困難，故可考慮運(yùn)用反證法．三、解釋?xiě)?yīng)用［例題］1.已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求證：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．證法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．證法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．［練習(xí)］1.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．四、拓展延伸1.如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范圍．2.如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn嗎？為什么？3.如果ａ＞ｂ＞0，那么嗎？（其中為正有理數(shù)）49一元二次不等式教材分析一元二次不等式的解法是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，同時(shí)是解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的重要方法之一．這節(jié)課通過(guò)具體例子，借助二次函數(shù)的圖像求解不等式，進(jìn)而歸納、總結(jié)出一元二次不等式，一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，得到利用二次函數(shù)圖像求解一元二次不等式的方法．最后，說(shuō)明一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，由此又引出了簡(jiǎn)單分式不等式的解法．這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是一元二次不等式的解法，難點(diǎn)是弄清一元二次不等式、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程．2.通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，熟練掌握應(yīng)用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式的方法．3.通過(guò)一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組的解法，讓學(xué)生體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境1.出示問(wèn)題（1）某產(chǎn)品的總成本ｃ（萬(wàn)元）與產(chǎn)量ｘ（臺(tái)）之間滿足關(guān)系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)25萬(wàn)元，試求生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量ｘ．引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次不等式模型：由題意，得銷(xiāo)售收入為25ｘ（萬(wàn)元），要使生產(chǎn)者不虧本，必須使3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．（2）國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)某特種商品生產(chǎn)的宏觀管理，實(shí)行征收附加稅政策．現(xiàn)知每件產(chǎn)品70元，不加收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷(xiāo)100萬(wàn)件，若政府征收附加稅，每銷(xiāo)售100元要征稅R元（即稅率為R％），則每年的產(chǎn)銷(xiāo)量要減少10R萬(wàn)件．要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅稅金不少于112萬(wàn)元，問(wèn)R應(yīng)怎樣確定．2.引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次不等式模型設(shè)產(chǎn)銷(xiāo)量為每年x（萬(wàn)件），則銷(xiāo)售收入為每年70x（萬(wàn)元），從中征收的稅金為70x·R％（萬(wàn)元），并且ｘ＝100－10R．由題意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．如何求解以上兩個(gè)一元二次不等式呢？二、建立模型1.對(duì)于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函數(shù)的圖像來(lái)解決設(shè)二次函數(shù)f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，拋物線開(kāi)口向上，與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此時(shí)ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如圖，所謂解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相當(dāng)于求使函數(shù)f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考慮圖像在ｘ軸及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相應(yīng)的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．結(jié)合實(shí)際，可知生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量為150臺(tái)．運(yùn)用完全類(lèi)似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集為｛R｜2≤R≤8｝．2.教師明晰設(shè)ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，設(shè)ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）計(jì)算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判斷拋物線ｙ＝ｆ（ｘ）與ｘ軸交點(diǎn)的情況．（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得兩根為ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．（3）結(jié)合（1）（2）畫(huà)出ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像．（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相當(dāng)于使ｆ（ｘ）＞0．考慮圖像在ｘ軸上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相應(yīng)的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相當(dāng)于使ｆ（ｘ）＜0．考慮圖像在ｘ軸下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相應(yīng)的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．根據(jù)上述內(nèi)容，結(jié)合圖像寫(xiě)出不等式的解集．思考：對(duì)于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)ａ，如果ａ＜0，上述結(jié)論如何？三、解釋?xiě)?yīng)用［例題］1.解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的兩根為ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集為｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝．2.解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．3.已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集為R，求ｍ的取值范圍．解：（1）當(dāng)ｍ＝0時(shí)，原不等式可化為2ｘ＞0，解集不是R．（2）當(dāng)ｍ＜0時(shí)，拋物線ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ開(kāi)口向下，解集也不是R．（3）當(dāng)ｍ＞0時(shí)，須滿足［練習(xí)］1.解下列不等式．（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．4.以每秒ａ（ｍ）的速度從地面垂直向上發(fā)射子彈，t（ｓ）后，子彈上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2確定．已知發(fā)射后5ｓ，子彈上升的高度為245ｍ，問(wèn)：子彈保持在245ｍ以上高度有多少秒？四、拓展延伸一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．注意到不等式左邊是兩個(gè)ｘ的一次式的積，右邊是0，那么它可以根據(jù)積的符號(hào)法則化為一次不等式組：50基本不等式：教材分析“”的證明學(xué)生比較容易理解，學(xué)生難理解的是“當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)取‘＝’號(hào)”的真正數(shù)學(xué)內(nèi)涵，所謂“當(dāng)且僅當(dāng)”就是“充分必要”．教學(xué)重點(diǎn)是定理及其應(yīng)用，難點(diǎn)是利用定理求函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而解決一些實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)目標(biāo)1.理解兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們積的2倍這一重要不等式的證明，并能從幾何意義的角度去解釋?zhuān)纬蓴?shù)形結(jié)合的完美統(tǒng)一．2.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明，及其幾何意義，會(huì)用這兩個(gè)重要不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用題．3.通過(guò)定理的證明培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過(guò)定理的應(yīng)用揭示數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境教師出示問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析、思考：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800ｍ3，深為3ｍ．如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少元？二、建立模型1.通過(guò)比較ａ2＋ｂ2與2ａｂ的大小，引入重要不等式．∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴當(dāng)ａ≠ｂ時(shí)，（ａ－ｂ）2＞0；當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)，（ａ－ｂ）2＝0．即（ａ－ｂ）2≥0，從而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．2.結(jié)論明晰定理1如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)，取“＝”號(hào)）．思考：對(duì)于定理1和定理2，當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝ｂ時(shí)取“＝”號(hào)的具體含義是什么？三、解釋?xiě)?yīng)用［例題］1.已知ｘ，ｙ都是正數(shù)，求證：小結(jié)；上述結(jié)論是我們用定理求最值的依據(jù)，可簡(jiǎn)述為和為定值積最大，積為定值和最小．2.設(shè)法解決本節(jié)課開(kāi)始提出的問(wèn)題．因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40ｍ的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為297600元．3.0求證：在直徑為ｄ的圓內(nèi)接矩形中，面積最大的是正方形，并且