《基本不等式：SKIPIF1<0》教案《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》必修5（人教A版）第三章3.4節(jié)一．教學(xué)目標(biāo)①知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解基本不等式的幾何意義，并掌握式子中取等號(hào)的條件，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。②過程方法與能力目標(biāo)：通過類比、直覺、發(fā)散等探索性思維的培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，創(chuàng)新能力，勇于探索的精神。③情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活并用于生活，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。讓學(xué)生享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來的情感體驗(yàn)和成功喜悅。二．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式SKIPIF1<0。教學(xué)難點(diǎn)：理解“當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。三、教學(xué)方法與手段本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合，自主探究的互動(dòng)式教學(xué)方法。以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)際問題出發(fā)，讓學(xué)生探究思索。以多媒體作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)設(shè)置情景，導(dǎo)入新課1．圖中的面積有哪些相等和不等的關(guān)系？2．正方形SKIPIF1<0的面積肯定大于SKIPIF1<0個(gè)直角三角形的面積和嗎？有沒有相等的情況呢？SKIPIF1<01．讓學(xué)生觀察常見的圖形，目的是調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。2．借助《幾何畫板》動(dòng)態(tài)演示和數(shù)據(jù)驗(yàn)算讓學(xué)生更容易理解“當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“=”號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，突破一個(gè)難點(diǎn)。教師利用多媒體展示問題情景：1．（投影出）在北京召開的第SKIPIF1<0屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)——風(fēng)車。2．讓學(xué)生直觀觀察（多媒體動(dòng)畫演示,“當(dāng)正方形SKIPIF1<0縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，它們的面積相等”。）自主探究，從而歸納出：“正方形SKIPIF1<0的面積不小于SKIPIF1<0個(gè)直角三角形的面積和”。教學(xué)環(huán)節(jié)問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)探索求知，得出結(jié)論3．如圖,正方形ABCD和直角三角形的面積各是什么?4．根據(jù)前面得到的面積關(guān)系的結(jié)論，可得出什么關(guān)系式？5．結(jié)論中等號(hào)何時(shí)成立？是否僅僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)才成立？6．你能用代數(shù)的方法對(duì)不等式SKIPIF1<0進(jìn)行證明嗎”。1．通過面積的直觀比較，利用數(shù)形結(jié)合抽象出不等式SKIPIF1<0。2、發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性，讓學(xué)生在證明過程中體會(huì)式子SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可取任意數(shù)，并再次理解“當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。突破了一個(gè)難點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，學(xué)生動(dòng)手分別求正方形SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0個(gè)直角三角形的面積和。學(xué)生自己總結(jié)得出結(jié)論：SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）教師板書：“SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）”學(xué)生自己用代數(shù)的方法對(duì)不等式SKIPIF1<0進(jìn)行證明。認(rèn)識(shí)基本不等式7．如果用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0去替換不等式SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,前提是什么？能得到什么結(jié)論?8．你能用代數(shù)的方法完成基本不等式的證明？9．請(qǐng)用語言文字表述基本不等式？從數(shù)列的角度又如何描述呢？SKIPIF1<010．你們能利用這個(gè)圖形說說基本不等式的幾何意義嗎？SKIPIF1<01、讓學(xué)生先體會(huì)分析法的證明思想，為以后學(xué)習(xí)不等式的證明作準(zhǔn)備；2、從代數(shù)、幾何的不同角度理解不等式，開拓了學(xué)生的思維空間3．利用多媒體作為輔助手段，目的是讓學(xué)生從直觀、動(dòng)態(tài)的角度加深基本不等式的認(rèn)識(shí)和理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，多方面思考問題的能力。學(xué)生歸納得出基本不等式：SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）教師板書基本不等式：SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）學(xué)生自己填空教材第98頁基本不等式的證明。教師指明：“SKIPIF1<0”稱為兩個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的算術(shù)平均數(shù)，“SKIPIF1<0”稱為兩個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的幾何平均數(shù)。教師多媒體動(dòng)畫演示教材第98頁的“探究”中左圖的變化過程，學(xué)生觀察SKIPIF1<0與半徑SKIPIF1<0的關(guān)系。并計(jì)算SKIPIF1<0的長(zhǎng)度與半徑SKIPIF1<0？思考等號(hào)何時(shí)成立？剖析基本不等式11．公式兩邊具有何種運(yùn)算結(jié)構(gòu)？12．回憶一下你所學(xué)的知識(shí)中，有哪些地方出現(xiàn)過“和”與“積”的結(jié)構(gòu)？基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用是這一節(jié)課的又一個(gè)難點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，師生先一起分析基本不等式的特征，以便學(xué)生記憶和應(yīng)用，師生一起分析基本不等式的特征SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）教學(xué)環(huán)節(jié)問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)例題講解，強(qiáng)化應(yīng)用練習(xí)：=1\*GB3①試判斷SKIPIF1<0與2的大小關(guān)系？若將條件SKIPIF1<0去掉,上述結(jié)論是否仍然成立②已知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0=時(shí)，SKIPIF1<0的值最小？最小值是。=3\*GB3③已知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0的值最大？最大值是。2．講解例題例1：（1）用籬笆圍一個(gè)面積為SKIPIF1<0的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為SKIPIF1<0的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？①在講解例題前先設(shè)計(jì)了三小題練習(xí)，直接用公式就可以求解。目的是先讓學(xué)生初步體會(huì)“積是定值，可以求和的最小值；和是定值，可以求積的最大值”。為講解教材的例題作準(zhǔn)備。=2\*GB3②利用多媒體顯示解答過程，對(duì)學(xué)生規(guī)范表達(dá)起個(gè)示范作用。同時(shí)也有利于增加課堂容量，提高課堂效率。=3\*GB3③通過例題讓學(xué)生明確基本不等式的應(yīng)用。教師引導(dǎo)學(xué)生分析：練習(xí)（1）（2）用SKIPIF1<0，練習(xí)（3）直接用SKIPIF1<0。例1第（1）小題實(shí)際上是已知SKIPIF1<0，求當(dāng)SKIPIF1<0=；SKIPIF1<0=時(shí)，SKIPIF1<0的值最小？第（2）小題實(shí)際上是已知SKIPIF1<0，求當(dāng)SKIPIF1<0=；SKIPIF1<0=時(shí)，SKIPIF1<0的值最大？最大值是?教師利用多媒體顯示解答過程；教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，將求解思路一般化：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）如果積SKIPIF1<0是定值SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，和SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0；（2）如果和SKIPIF1<0是定值SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，積SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0。（3）注意“一正二定三相等”的條件。鞏固練習(xí)，加深理解（1）已知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),函數(shù)SKIPIF1<0的值最小？最小值是。（2）已知直角三角形的面積等于SKIPIF1<0，兩條直角邊各為多少時(shí)，兩條直角邊的和最小，最小值是多少？（3）用SKIPIF1<0長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？例題處理后，設(shè)計(jì)的這一組練習(xí)是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵，也是作為對(duì)知識(shí)應(yīng)用的實(shí)時(shí)檢測(cè)，給學(xué)生提供進(jìn)一步比較、類比、歸納的機(jī)會(huì)，為熟練使用新知解決問題打下基礎(chǔ)。學(xué)生練習(xí)，教師邊巡視學(xué)生邊個(gè)別輔導(dǎo)，對(duì)學(xué)生解答中的亮點(diǎn)進(jìn)行表揚(yáng)，不足之處，指出后及時(shí)鼓勵(lì)，使學(xué)生愛數(shù)學(xué)，愿意學(xué)數(shù)學(xué)。教師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)，指出要注意“一正二定三相等”的條件教學(xué)環(huán)節(jié)問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)回顧整理，歸納小結(jié)（1）你學(xué)到了什么知識(shí)？（2）你知道了哪些方法？知識(shí)性內(nèi)容的總結(jié)，可以把課堂教學(xué)傳授的知識(shí)盡快地轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生概括歸納的能力；讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，有哪些收獲，教師對(duì)學(xué)生作出肯定，并對(duì)知識(shí)方法進(jìn)一步完善。任務(wù)后延，布置作業(yè)作業(yè)：課本第100頁第1、2題。課后思考：=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0嗎？=2\*GB3②求函數(shù)SKIPIF1<0的值域？=3\*GB3③已知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取什么值時(shí),SKIPIF1<0的值最小？最小值是多少？在布置作業(yè)時(shí)設(shè)計(jì)了課后探究題，為下一個(gè)課時(shí)作準(zhǔn)備。同時(shí)也照顧了程度不同的學(xué)生。五、板書設(shè)計(jì)板書設(shè)計(jì)方面主要板書兩個(gè)不等式和應(yīng)用不等式求最值的問題，例題及練習(xí)則利用多媒體課件展現(xiàn)，這樣有利增加課堂容量，提高課堂效率。課題：§3.4基本不等式1．重要不等式SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）2．基本不等式SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”號(hào)）文字表述：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)。數(shù)列解釋：兩個(gè)正數(shù)的正的等比中項(xiàng)不大于它們的等差中項(xiàng)。幾何解釋：同圓的半弦不大于半徑。應(yīng)用基本不等式求最值問題：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0