高三數學第一輪總復習考點教學設計數列歸納法高考命題分析數學歸納法在高考試題中常以解答題出現，主要有證明不等式、證明恒等式和整除三個方面的應用，考題又以數列問題為背景。值得注意的是將數學歸納法與探索性的問題綜合起來出現一些非常新穎的題型。考點回顧：1.數學歸納法的內容：數學歸納法是證明與自然數有關的命題的一種重要方法，它的內容是：（1）驗證當n取第一個值時結論正確，這一步驟稱為奠基步驟，是歸納的基礎。（2）假設當時結論成立，并以此推出當時結論成立，這一步驟稱為遞推步驟。2.數學歸納法的應用：在應用數學歸納法時要重點掌握以下幾種類型：（1）等式問題（2）不等式問題（3）數列問題（4）整除問題考點訓練EG1、自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響.用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c.（1）求xn+1與xn的關系式；（2）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（3）設a＝2，b＝1，c=1,為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論.解（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為（2）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得因為x1>0，所以a>b.猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.（3）若b的值使得xn>0，n∈N*由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知0<xn<3－b,n∈N*,特別地，有0<x1<3－b.即0<b<3－x1.而x1∈(0,2)，所以由此猜測b的最大允許值是1.下證當x1∈(0,2)，b=1時，都有xn∈(0,2),n∈N*①當n=1時，結論顯然成立.②假設當n=k時結論成立，即xk∈(0,2),則當n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0.又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故當n=k+1時結論也成立.由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).綜上所述，為保證對任意x1∈(0,2),都有xn>0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1.EG2、已知數列（1）證明（2）求數列的通項公式an.解：（1）方法一用數學歸納法證明：1°當n=1時，∴，命題正確.2°假設n=k時有則而又∴時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有方法二：用數學歸納法證明： 1°當n=1時，∴；2°假設n=k時有成立，令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設有：即也即當n=k+1時成立，所以對一切（2）下面來求數列的通項：所以,又b0=－1，所以EG3、已知函數設數列}滿足，數列}滿足（Ⅰ）用數學歸納法證明；（Ⅱ）證明本小題主要考查數列、等比數列、不等式等基本知識，考查運用數學歸納法解決有關問題的能力，滿分12分。（Ⅰ）證明：當因為a1=1，所以………………2分下面用數學歸納法證明不等式（1）當n=1時，b1=，不等式成立，（2）假設當n=k時，不等式成立，即那么………………6分所以，當n=k+1時，不等也成立。根據（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。…………8分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，所以實戰訓練1、已知某個命題與正整數有關,如果當時該命題成立,那么可以推得時該命題也成立.現已知時該命題不成立,則(C)A時該命題成立B時該命題不成立C時該命題不成立D時該命題成立2、用數學歸納法證明:時,在證明過程的第二步從n=k到n=k+1成立時,左邊增加的項數是.()3、設平面內有n條直線（n≥3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三直線不過同一點.若用表示這n條直線交點的個數，=；當n>4時，=.（用n表示）14．5，4、已知不等式為大于2的整數，表示不超過的最大整數.設數列的各項為正，且滿足（Ⅰ）證明（Ⅱ）猜測數列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（Ⅲ）試確定一個正整數N，使得當時，對任意b>0，都有本小題主要考查數列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想.（Ⅰ）證法1：∵當即于是有所有不等式兩邊相加可得由已知不等式知，當n≥3時有，∵證法2：設，首先利用數學歸納法證不等式（i）當n=3時，由知