第16頁（共16頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷?？碱}之一元一次不等式與一元一次不等式組一．選擇題（共7小題）1．（2024秋?醴陵市期末）解不等式1-A．6﹣x﹣2＜2（2x﹣1） B．1﹣x+2＜2（2x﹣1） C．6﹣x+2＜2（2x﹣1） D．6﹣x+2＜2x﹣12．（2024秋?鐵鋒區期末）某種羽絨服的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該羽絨服積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則最多可打（）A．6折 B．7折 C．7.5折 D．8折3．（2025?永春縣模擬）不等式組x-A． B． C． D．4．（2025春?海淀區校級期中）若點G（a，3﹣a）在第四象限內，則a的取值范圍是（）A．a＜0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜0或a＞35．（2025春?海淀區校級期中）若關于x的不等式組x≥m2(A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤16．（2025春?海淀區校級期中）已知x＜y，則下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y7．（2025春?港北區期中）定義新運算“?”，規定；a?b＝a﹣2b．若關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2二．填空題（共5小題）8．（2025春?畢節市期中）對于實數m，n定義一種新運算“※”為m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※(x+13)＜2，則9．（2025?茂名一模）請寫出一個不等式x＞3的整數解：．10．（2024秋?醴陵市期末）“a的一半與3的和小于2”用不等式表示為．11．（2025春?青島期中）已知一次函數y＝ax+b的兩個變量x與y的部分對應值如下表所示：x…﹣2﹣10123…y…43210﹣1…則關于x的不等式ax+b＜0的解集是．12．（2025春?海淀區校級期中）有人問一位教師所教班級有多少人，教師說：“一半學生在學數學，四分之一學生在學音樂，七分之一學生在讀外語，還剩下不足六位學生在操場踢足球”，則這個班有名學生．三．解答題（共3小題）13．（2025春?青島期中）（1）解不等式：﹣x+1＞2x﹣5，并把它的解集表示在數軸上；（2）解不等式組：3(x（3）解不等式組：5x14．（2025?紅橋區二模）解不等式組2x請結合題意填空，完成本題的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；（Ⅳ）原不等式組的解集為．15．（2025?登封市二模）體育已經作為中考重點考查項目，分過程性評價和終結性評價，其中足球、籃球也是主要考查對象．為了增強學生體育素養，某校準備花費15000元購買這兩種球，第一種方案恰好可以購買籃球100個，足球100個；第二種方案恰好可以購買籃球120個，足球60個．（1）求足球、籃球的單價；（2）因學生參與積極性高，參加人數多，現決定再以同樣的單價購買足球和籃球共100個，其中足球數量不超過籃球數量的14

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷?？碱}之一元一次不等式與一元一次不等式組參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案CBCBCCB一．選擇題（共7小題）1．（2024秋?醴陵市期末）解不等式1-A．6﹣x﹣2＜2（2x﹣1） B．1﹣x+2＜2（2x﹣1） C．6﹣x+2＜2（2x﹣1） D．6﹣x+2＜2x﹣1【考點】解一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】C【分析】此題可根據一元一次不等式的解法進行求解即可．【解答】解：去分母得：6﹣x+2＜2（2x﹣1），故選：C．【點評】本題主要考查的是解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關鍵．2．（2024秋?鐵鋒區期末）某種羽絨服的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該羽絨服積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則最多可打（）A．6折 B．7折 C．7.5折 D．8折【考點】一元一次不等式的應用．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力；應用意識．【答案】B【分析】設可打x折，根據售價＝標價×打折率和利潤＝售價﹣進價＝進價×利潤率，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：設可打x折，由題意得：1200×0.1x﹣800≥800×5%，解得：x≥7，即最多可打7折．故選：B．【點評】本題考查的是一元一次不等式的應用，找出數量關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．3．（2025?永春縣模擬）不等式組x-A． B． C． D．【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集．【專題】方程與不等式．【答案】C【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數軸上表示出來即可．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1；解不等式﹣3x+6≥0，得：x≤2，所以不等式組的解集為：1＜x≤2，數軸上表示為：，故選：C．【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，能根據不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關鍵．4．（2025春?海淀區校級期中）若點G（a，3﹣a）在第四象限內，則a的取值范圍是（）A．a＜0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜0或a＞3【考點】解一元一次不等式組；點的坐標．【專題】一元一次不等式（組）及應用；平面直角坐標系；運算能力．【答案】B【分析】根據點G（a，3﹣a）在第四象限，可知a＞【解答】解：∵點G（a，3﹣a）在第四象限，∴a＞解得a＞3，故選：B．【點評】本題考查解一元一次不等式組、點的坐標，解答本題的關鍵是明確第四象限內的點的坐標特征，列出相應的不等式組．5．（2025春?海淀區校級期中）若關于x的不等式組x≥m2(A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1【考點】解一元一次不等式組；不等式的解集．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】C【分析】解第二個不等式求得其解集，再根據原不等式組無解確定m的取值范圍即可．【解答】解：解第二個不等式得：x＜1，∵原不等式組無解，∴m≥1，故選：C．【點評】本題考查解一元一次不等式組，不等式組的解集，熟練掌握解不等式組的方法是解題的關鍵．6．（2025春?海淀區校級期中）已知x＜y，則下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y【考點】不等式的性質．【專題】計算題；一元一次不等式（組）及應用；數感；符號意識；運算能力．【答案】C【分析】根據不等式的性質解答即可．【解答】解：A、在不等式x＜y的兩邊同時減去2，不等式仍成立，即x﹣2＜y﹣2，原變形錯誤，故本選項不符合題意；B、在不等式x＜y的兩邊同時乘以2，不等式仍成立，即2x＜2y，原變形錯誤，故本選不項符合題意；C、在不等式x＜y的兩邊同時乘以﹣2，不等式的符號方向改變，即﹣2x＞﹣2y，在不等式﹣2x＞﹣2y的兩邊同時加上3，不等式仍成立，即﹣2x+3＞﹣2y+3，原變形正確，故本選項符合題意；D、在不等式x＜y的兩邊同時乘以﹣2，不等式的符號方向改變，即﹣2x＞﹣2y，原變形錯誤，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握不等式的性質．7．（2025春?港北區期中）定義新運算“?”，規定；a?b＝a﹣2b．若關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考點】解一元一次不等式．【專題】運算能力；創新意識．【答案】B【分析】根據定義新運算的法則得出不等式，解不等式；根據解集列方程即可．【解答】解：∵a?b＝a﹣2b，∴x?m＝x﹣2m．∵x?m＞3，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，∴2m+3＝﹣1，∴m＝﹣2．故選：B．【點評】本題考查了新定義計算在不等式中的運用，讀懂新定義并熟練的解不等式是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025春?畢節市期中）對于實數m，n定義一種新運算“※”為m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※(x+13)＜2，則【考點】解一元一次不等式；實數的運算．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】-3【分析】由新定義運算得出x※(x+13)=-2x-1【解答】解：由題意可得：x※由條件可得﹣3≤﹣2x﹣1＜2，解得：-3故答案為：-3【點評】本題考查了新定義運算、解一元一次不等式組，熟練掌握以上知識點是關鍵．9．（2025?茂名一模）請寫出一個不等式x＞3的整數解：x＝4（答案不唯一）．【考點】一元一次不等式的整數解．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】x＝4（答案不唯一）．【分析】在x＞3的范圍內找一個整數即可．【解答】解：不等式x＞3的一個整數解為x＝4，故答案為：x＝4（答案不唯一）．【點評】本題主要考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是掌握不等式解及解集的概念．10．（2024秋?醴陵市期末）“a的一半與3的和小于2”用不等式表示為12a+3＜2【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應用．【答案】見試題解答內容【分析】根據題意，可以用含a的不等式表示“a的一半與3的和小于2”．【解答】解：“a的一半與3的和小于2”用不等式表示為：12a+3＜2故答案為：12a+3＜2【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的不等式．11．（2025春?青島期中）已知一次函數y＝ax+b的兩個變量x與y的部分對應值如下表所示：x…﹣2﹣10123…y…43210﹣1…則關于x的不等式ax+b＜0的解集是x＞2．【考點】一次函數與一元一次不等式．【專題】用函數的觀點看方程（組）或不等式；運算能力．【答案】x＞2．【分析】通過一次函數與一元一次不等式的關系可知，kx+b＜0，即為y＜0．即可得到對應的x的取值范圍．【解答】解：當x＝2時y＝0，根據表中數據可知函數值y隨x的增大而減小，∴不等式kx+b＜的解等是x＞2．故答案為：x＞2．【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次不等式的關系，關鍵在于通過不等式與一次函數的增減性得到x的取值范圍．12．（2025春?海淀區校級期中）有人問一位教師所教班級有多少人，教師說：“一半學生在學數學，四分之一學生在學音樂，七分之一學生在讀外語，還剩下不足六位學生在操場踢足球”，則這個班有28名學生．【考點】一元一次不等式的應用．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】28．【分析】根據題意可以列出相應的不等式，又根據一半學生在學數學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生在讀外語，可知該班學生一定是2、4、7的倍數，從而可以解答本題．【解答】解：設這個班有x人，由題意可得：x-整理得，2528x＜6解得x＜56，又∵一半學生在學數學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生在讀外語，∴該班學生一定是2、4、7的倍數，∴x＝28，所以這個班有28名學生，故答案為：28．【點評】本題考查一元一次不等式的應用，解答此類問題的關鍵是列出相應的不等式，注意要聯系實際情況和題目中的要求．三．解答題（共3小題）13．（2025春?青島期中）（1）解不等式：﹣x+1＞2x﹣5，并把它的解集表示在數軸上；（2）解不等式組：3(x（3）解不等式組：5x【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】（1）x＜2，數軸見解答；（2）12＜x＜（3）x≥4．【分析】（1）移項，合并同類項，系數化為1即可得到答案；（2）根據不等式的性質求出不等式的解集，根據找不等式組解集的規律找出即可；（3）先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：（1）﹣x+1＞2x﹣5，移項得：﹣2x﹣x＞﹣5﹣1，合并同類項得：﹣3x＞﹣6．系數化為1得：x＜2，數軸表示為：；（2）3(x解不等式①得x＜3，解不等式②得x＞1∴原不等式組的解集為12＜x＜（3）5x解不等式①得x＞2，解不等式②得x≥4，∴原不等式組的解集為x≥4．【點評】本題主要考查對解一元一次不等式（組），不等式的性質，能正確解不等式和能根據不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關鍵．14．（2025?紅橋區二模）解不等式組2x請結合題意填空，完成本題的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；（Ⅳ）原不等式組的解集為﹣2≤x≤3．．【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集．【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】（Ⅰ）x≥﹣2；（Ⅱ）x≤3；（Ⅲ）數軸表示見解答；（Ⅳ）﹣2≤x≤3；【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數軸上表示如圖所示：（Ⅳ）原不等式組的解集為﹣2≤x≤3；故答案為：（Ⅰ）x≥﹣2；（Ⅱ）x≤3；（Ⅳ）﹣2≤x≤3．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．15．（2025?登封市二模）體育已經作為中考重點考查項目，分過程性評價和終結性評價，其中足球、籃球也是主要考查對象．為了增強學生體育素養，某校準備花費15000元購買這兩種球，第一種方案恰好可以購買籃球100個，足球100個；第二種方案恰好可以購買籃球120個，足球60個．（1）求足球、籃球的單價；（2）因學生參與積極性高，參加人數多，現決定再以同樣的單價購買足球和籃球共100個，其中足球數量不超過籃球數量的14【考點】一元一次不等式的應用；一次函數的應用；二元一次方程組的應用．【專題】一次方程（組）及應用；一元一次不等式（組）及應用；一次函數及其應用；應用意識．【答案】（1）籃球的單價是100元，足球的單價是50元；（2）購買80個籃球、20個足球，才能使花費最少．【分析】（1）設籃球的單價是x元，足球的單價是y元，利用總價＝單價×數量，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買m個籃球，則購買（100﹣m）個足球，根據購買足球數量不超過籃球數量的14，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設再次購買籃球、足球的總費用為w元，利用總價＝單價×數量，可找出w關于m【解答】解：（1）設籃球的單價是x元，足球的單價是y元，根據題意得：100x解得：x=100答：籃球的單價是100元，足球的單價是50元；（2）設購買m個籃球，則購買（100﹣m）個足球，根據題意得：100﹣m≤14解得：m≥80，設再次購買籃球、足球的總費用為w元，則w＝100m+50（100﹣m），即w＝50m+5000，∵50＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m＝80時，w取得最小值，此時100﹣m＝100﹣80＝20（個）．答：購買80個籃球、20個足球，才能使花費最少．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．

考點卡片1．實數的運算（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．【規律方法】實數運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．2．二元一次方程組的應用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設元的方法：直接設元與間接設元．當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數，就要列幾個方程．3．不等式的性質（1）不等式的基本性質①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數，具體體現為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數，要注意只有乘、除負數時，不等號方向才改變．【規律方法】1．應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．4．不等式的解集（1）不等式的解的定義：使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（3）解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的區別和聯系不等式的解是一些具體的值，有無數個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內．5．在數軸上表示不等式的解集用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規律方法】不等式解集的驗證方法某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內取一個數代入原不等式，則原不等式成立．6．解一元一次不等式根據不等式的性質解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．7．一元一次不等式的整數解解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式的整數解．可以借助數軸進行數形結合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．8．由實際問題抽象出一元一次不等式用不等式表示不等關系時，要抓住題目中的關鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數（負數）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．因此建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關系．9．一元一次不等式的應用（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數量關系，用字母表示未知數．②根據題中的不等關系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．10．解一元一次不等