限時練習：90min完成時間：月日天氣：作業12空間向量與立體幾何（含空間距離與空間角）1．空間向量及其有關概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內任一點P都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．數量積及坐標運算(1)兩個空間向量的數量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)③設a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標運算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．空間位置關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行：α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R.(2)線線垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0；線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.兩條異面直線所成角的求法設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，eq\f(π,2)]，公式為cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直線與平面所成角的求法設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．空間兩點間的距離公式若，，則=.點到平面的距離（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.一、單選題1．已知直線的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，則，即可得到方程組，解得、的值，即可得解.【詳解】因為直線的方向向量為，平面的法向量為且，所以，則，即，所以，解得，所以.故選：B2．在四面體中，，D為的三等分點（靠近B點），E為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據空間向量的線性運算計算即可.【詳解】由題意，.故選：C.3．已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標，利用空間向量法計算可得.【詳解】四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，則，，設直線與所成角為，則，直線與所成角的余弦值為．故選：B4．如圖，在棱長均為2的正四棱錐中，為棱的中點，則下列判斷正確的是（

）A．平面，且到平面的距離為B．與平面不平行，且與平面所成角大于30°C．與平面不平行，且與平面所成角小于30°D．與平面不平行，且與平面所成角等于30°【答案】C【分析】連接，交點為，以為坐標原點，方向分別軸正方向建立空間坐標系，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，代入向量夾角公式，求出與平面夾角的正弦值，再由正弦函數的單調性，即可得到答案．【詳解】連接交點為，以為坐標原點，方向分別軸正方向建立空間直角坐標系，由正四棱錐的棱長均為，點為的中點，則,,,,,,，則，，，設是平面的一個法向量，則，取，得，設與平面所成的角為，線面角范圍為大于等于下雨等于，則，則，故與平面不平行，且與平面所成的角小于．故選：C．5．在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，底面，點在側棱上，且滿足，則異面直線和的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】如圖，以點為原點，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標系，則.所以，設為直線和的公垂線的方向向量，則有，可取，所以異面直線和的距離為.故選：A.二、多選題6．正方體的棱長為2，為的中點，則（

）A． B．與所成角余弦值為C．面與面所成角正弦值為 D．與面的距離為【答案】AD【分析】本題建立空間直角坐標系，利用空間向量可解決線線垂直、異面直線所成的角的相關問題、二面角的相關問題，以及解決空間一點到面的距離問題.【詳解】根據題意建立如圖所示的空間直角坐標系正方體的棱長為2，易求、、、、、、、、.選項A：因為，，所以所以，故A正確.選項B：因為，，所以，設異面直線和所成的角為，則：，故B不正確.選項C：易求平面的法向量.設平面的法向量為，易求,，由，令，則.設平面與平面所成角為，則,，即，故選項C不正確.選項D：因為平面的法向量為，，設到平面的距離為，向量與法向量的夾角為，則：,故選項D正確.故選：AD.7．如圖，是矩形所在平面外一點，，二面角為，為中點，為中點，為中點．則下列說法正確的是（

）A． B．是二面角的平面角C． D．與所成的角的余弦值【答案】BD【分析】利用二面角的平面角定義判斷B，選項；根據已知條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量逐一判斷A、C、D選項即可.【詳解】連接，過向平面引垂線，垂足為，連接；因為，為中點，所以；因為垂直于平面，平面，所以；平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以，所以二面角的平面角為；在中，，，所以，在中，，，所以，；因為為矩形，所以，又，，過點作交于，，所以四邊形為正方形；如圖所示，建立以為坐標原點，為軸，過且與垂直的方向為軸，為軸的空間直角坐標系；，，，，，，為中點，所以；，所以，故，A錯誤；為中點，為中點，為中位線，，又，所以，又因為，所以是二面角的平面角，B正確；因為為銳角，且，，所以，所以，所以，C錯誤；設與所成的角為，，，，D正確.故選：BD8．如圖，由正四棱錐和正方體組成的多面體的所有棱長均為．則（

）A．平面B．平面平面C．與平面所成角的余弦值為D．點到平面的距離為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標系，判斷與平面的一個法向量是否垂直即可判斷A；根據平面和平面的法向量是否垂直判斷出B；由線面夾角的正弦的公式及同角三角函數的平方關系即可判斷C；由點到平面的距離公式即可判斷D．【詳解】以為原點，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，連接，與交點為，連接，則平面，因為正四棱錐和正方體的所有棱長均為，所以，，點坐標為，所以，則，又，，，，，對于A：，，，設平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以與平面不平行，故A錯誤；對于B：由A得平面的一個法向量為，，，設平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，即，所以平面平面，故B正確；對于C：由A得平面的一個法向量為，，設與平面所成角為，則，所以，即與平面所成角的余弦值為，故C正確；對于D：由A得平面的一個法向量為，因為，所以點到平面的距離，故D正確；故選：BCD．三、填空題9．已知正四棱柱的底面邊長與側棱長之比為，則平面與平面夾角的余弦值為．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用面面角的向量法求解.【詳解】如圖，以點為原點，以為軸，建立空間直角坐標系，正四棱柱的底面邊長為，則，所以則，設平面與平面的法向量分別為，則，令，則，，令，則，設向量的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.故答案為：10．如圖，在四棱錐中，側面底面，側棱，，底面為直角梯形，其中，，，O為中點．線段上存在一點Q，使得二面角的余弦值為，則【答案】/【分析】根據題意，建立空間直角坐標系利用向量法求解.【詳解】在中，，O為中點，所以，又側面底面，平面平面，平面，所以平面.又，，，又在直角梯形中，連接，易得，所以以O為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系．則，，，，，設（），因為，，（），所以，則，，設平面的法向量為，則，取，得平面的一個法向量為，要使二面角的余弦值為，需使整理化簡得：，得或（舍去），所以存在點，且.故答案為：.四、解答題11．如圖，三棱臺中，，，，側棱平面，點D是的中點．(1)求證：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據題意先建立空間直角坐標系，求得的方向向量和平面的法向量平行即可；（2）分別求得平面的法向量為，平面的法向量為，則平面和平面夾角的余弦值，代入即可得解.【詳解】（1）由題意可知：平面，以A為原點，分別以、的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，點是的中點，則，，可得.設平面的法向量為，則，令，則，可得，又因為，即∥，所以平面.（2）由（1）可知：，設平面的法向量為，則，令，得，可得.設平面與平面的夾角為，則，所以平面和平面夾角的余弦值等于.12．如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，M，N分別是，的中點，點在線段上，且.(1)證明：；(2)當取何值時，直線與平面所成角最小?(3)是否存在點，使得平面與平面所成的二面角的正弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，點為上靠近的四等分點【分析】（1）建系標點，利用空間向量證明線線垂直；（2）求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角，結合二次函數分析求解；（3）假設存在，利用空間向量處理面面夾角，列式求解即可.【詳解】（1）因為，，則，即，如圖所示，以A為原點建立空間直角坐標系，則，可得，，即，，又因為，可得，所以無論取何值，.（2）由（1）可知：，設平面的一個法向量為，則，取，則，可得，可得，令，則，所以當，即時，取得最小值，此時.（3）假設存在，易知平面的一個法向量為因為，，設是平面的一個法向量，則，令，可得，可得，則，化簡得，解得或，因為，可得，所以存在點使平面與平面所成二面角正弦值為，點為上靠近的四等分點.1．平行四邊形中，，點為的中點，將沿折起到位置時，.(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據已知條件及余弦定理及勾股定理的逆定理，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質定理即可求解；（2）方法一，利用等腰三角形的三線合一及二面角的平面角的定義，再利用勾股定理及線面垂直的性質定理，結合銳角三角函數即可求解；方法二，根據（1）的結論及面面垂直的判定定理及面面垂直的性質定理，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結合向量的夾角與二面角的夾角的關系即可求解.【詳解】（1）如圖，連接，在中，由余弦定理可得,又,即，易得為正三角形所以與全等，，，又平面，平面，又平面，（2）（2）方法一：取的中點連接，如圖所示又為二面角的平面角在正中，，在等腰中，，.由（1）可知平面又平面所以,即，為平面與平面的夾角，在中，,故平面與平面的夾角的余弦值為.方法二：由（1）可知平面，又平面，故平面平面，又平面平面，取點是線段的中點可得，過作.則平面.分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示則，，，設平面的法向量為，由，則,即，令，則，故；由平面，得平面的法向量為，設平面與平面所成角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為.2．如圖，在四棱柱中，底面和側面均是邊長為2的正方形．

(1)證明：．(2)若，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用菱形的性質證得，再利用線面垂直的判定與性質定理證得，從而得證；（2）依題意建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，從而利用空間向量法求線面角即可得解.【詳解】（1）連接，因為底面和側面均為正方形，所以，則四邊形為菱形，則，由底面和側面均為正方形，得．因為平面，所以平面，又，所以．因為平面，所以平面，又平面，所以.

（2）因為平面ABCD和平面均為正方形，所以，又，，所以，又因為，則，所以為正三角形，取中點E，連接AE，則，以A為原點，AB，AD，AE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，由題意得，，，所以，設平面的法向量為，則，令，則法向量，設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值．3．如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的動點，是棱AB上的一點，且.(1)求證:;(2)若直線MN與平面MBC所成角的正弦值是，求點的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)是棱PD的中點.【分析】（1）首先利用垂直關系證明互相垂直，再以點為原點，建立空間直角坐標系，利用數量積證明線線垂直；（2）首先求平面的法向量，再利用線面角的向量公式，建立方程，即可求解.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以，因為四邊形是矩形，所以，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，所以，因為所以，即；（2）由（1），得設為平面的法向量，則，令，得，所以.設直線與平面所成角為，則，所以，因為，所以，即是棱PD的中點.4．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，是的中點．(1)求證：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用平面，得到，結合，可證明平面，由面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，設，求出所需點的坐標和向量坐標，然后利用待定系數法求出平面和平面的法向量，由向量夾角公式列式求解的值，然后利用線面角的計算公式求解即可.【詳解】（1）因為平面，平面，所以．因為，所以，所以，故．又，且兩直線在平面內，所以平面．因為平面，所以平面平面（2）如圖，以為原點，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系，設，則，則易知為平面的一個法向量設為平面的一個法向量，由，即，所以取，則．依題意，，解得．于是，則．所以直線與平面所成角的正弦值為5．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，且直線與平面所成角為．(1)求直四棱柱的高；(2)在棱上是否能找到一點，使得平面與平面的夾角為？若能，求出的值；若不能，說明理由．【答案】(1)(2)能，【分析】（1）設，以分別為軸正方向建立空間直角坐標系，設，用空間向量法結合直線與平面所成角為，列出方程求解即可；（2）假設能找到這樣的點，設，且，根據平面與平面的夾角為及空間向量，列方程解出，即可說明存在，計算出即可．【詳解】（1）設，因為棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故兩兩垂直，如圖，以分別為軸正方向建立空間直角坐標系，因為菱形中，，所以，設，則，，所以設平面的一個法向量為，則由,得，令得，，所以，因為直線與平面所成角為，所以，即，解得．（2）假設能找到這樣的點，設，且，則，設平面的一個法向量為，則由,得，令得，，則，由平面與平面的夾角為，可得，即，解得，所以能找到這樣的點，此時，，故．1．如圖，三棱錐中，，且平面平面，，為平面的重心，為平面的重心．(1)棱可能垂直于平面嗎？若不可能，說明理由；(2)求與夾角正弦值的最大值．【答案】(1)不可能垂直于平面；理由見解析(2)1.【分析】（1）以為原點建立空間直角坐標系，設，求平面的法向量，檢驗能否是法向量共線；（2）向量法求與夾角的余弦值，由余弦值的最小值，求正弦值的最大值.【詳解】（1）設中點為，連接，由于，因此，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．因為，，由勾股定理得：，以為原點，為軸，過點平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，由對稱性可知和情況相同，不妨設，則．所以，，．設平面的一個法向量為，則有，所以取，則，，則．假設垂直于平面，則有，則，無解，所以假設不成立，不可能垂直于平面；（2）由重心的性質，，同理，，所以，，則，所以，要想求與夾角正弦值最大值，只需求出與夾角余弦值的最小值，當，即時，，此時即為與夾角余弦值，設，令，則，．由函數和在上都單調遞減，所以在上是減函數，當時，，此時與夾角正弦值的最大值為1；當，即時，，此時即為與夾角余弦值，設，令，則，．由函數和在上都單調遞增，所以在上是增函數，故，此時不存在最值，綜上，與夾角正弦值的最大值為1．2．如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點，滿足.(1)若，求證：直線平面；(2)是否存在實數，使直線同時垂直于直線，直線？如果有請求出的值，否則請說明理由；(3)若，求直線與直線所成最大角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析(3)【分析】（1）根據三角形中位線定理，結合平行四邊形的判定定理和性質、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據線面垂直的判定定理和性質，結合線線的位置關系進行判斷即可；（3）根據異面直線所成的角的定義，結合余弦定理、換元法、配方法進行求解即可.【詳解】（1）取的中點，連接，因為，所以M是線段上的中點，因此有，因為是矩形，N是線段上的中點，所以，因此有，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而平面，平面，所以直線平面；（2）假設存在實數，使直線同時垂直于直線，直線，因為四邊形是矩形，所以，即，而平面，所以平面，因為是矩形，所以，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，因此，顯然不可能，所以假設不成立，因此不存在實數，使直線同時垂直于直線，直線；（3）當時，由（2）可知：，所以是直線與直線所成角，設，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，當時，有最小值，最小值為，此時有最大值.則直線與直線所成最大角的余弦值為.3．如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，M，N分別是，的中點，點在直線上，且.(1)證明：無論取何值，總有；(2)當取何值時，直線與平面所成角最大?并求該角取最大值時的正切值；(3)是否存在點，使得平面與平面所成的二面角的正弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)；(3)存在；點的位置在【分析】（1）以，，別為軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標及對應向量的坐標，易判斷，即；（2）設出平面的一個法向量，表達出，利用正弦函數的單調性及正切函數的單調性的關系，求出滿足條件的值，進而求出此時的正切值；（3）假設存在，利用平面與平面所成的二面角的余弦值為，則平面與平面法向量的夾角的余弦值為，代入向量夾角公式，可以構造一個關于的方程，解方程即可得到結論．【詳解】（1）證明：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，即，，∵，∴，所以無論取何值，.（2）∵是平面ABC的一個法向量.∴∴當時，取得最大值，此時，，.（3）假設存在，則，因為，設是平面的一個法向量.則，解得，令，得，，∴，∴，化簡得，解得，∴存在點使得平面與平面所成的二面角正弦值為，此時點的位置在.【點睛】方法點睛：在求二面角時可用分別求出兩個面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，進而求出角度.1．（2023·全國·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，再求出平面的一個法向量，根據二面角的向量公式以及同角三角函數關系即可解出．【詳解】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設，，．，，又，平面平面．以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，設平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因為，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、，由平面知識易得，再根據二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過點做平行線，所以可以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【詳解】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為由，得，取，設直線與平面所成角為，∴．3．（2022·全國·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設，點F在上，當的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（