限時練習：90min完成時間：月日天氣：作業02數列通項公式的構造及其數列求和（分組求和、裂項相消、錯位相減、奇偶并項、周期與類周期綜合）公式法求通項公式2．裂項相消法求和把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．常見的裂項技巧：；；指數型；對數型.等3．錯位相減法求和主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣．萬能公式：形如的數列求和為，其中，，4．并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．一、單選題1．已知數列中，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】采用倒數法可證得數列為等差數列，根據等差數列通項公式可推導得到，得解.【詳解】由得：，又，數列是以1為首項，為公差的等差數列，，，，，故選：D．2．記數列的前項和為，若，則（

）A．590 B．602 C．630 D．650【答案】A【分析】根據作差得到，再計算出，即可得到，再利用并項求和法計算可得.【詳解】因為，所以，兩式相減可得.由，，解得，所以，滿足上式，故，所以.故選：A3．已知數列滿足，且，若，則（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【答案】B【分析】將式子變形為,可得為常數列，即可求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，故為常數列，所以.由，解得.故選：B4．已知數列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數列遞推式考慮賦值作差，即可求出，需要檢測首項是否符合.【詳解】由①知，當時，；當時，②，由①②：，即得，當時，符合題意，故.故選：A.5．已知數列滿足，若為數列的前項和，則（

）A．226 B．228 C．230 D．232【答案】A【分析】將數列分成偶數列和奇數列兩列數列處理即可.【詳解】由題可知數列的奇數列是公差為2，首項為1的等差數列，此時，數列的偶數列是1，交替出現的波動數列，此時，所以.故選：A.二、多選題6．已知數列的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A． B．使取最大值的n值有2個C．使得成立的n的最大值為23 D．【答案】ABD【分析】根據給定的前n項和求出數列通項，再逐項分析、計算判斷得解.【詳解】對于A，數列的前n項和為，當時，，當時，，滿足，所以數列的通項公式為，A正確；對于B，，當或時，且最大，B正確；對于C，由，得，解得，而，，C錯誤；對于D，由，得，則，D正確.故選：ABD7．已知分別是數列的前項和，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據與的關系推得，從第2項開始，是等比數列，結合的值求得，即可得出的通項公式，進而判斷A、B；代入已知得出的通項公式，裂項求和判斷C項；放縮法，即可得出D項.【詳解】對于A項，因為，則，所以.故A正確.對于B項，當時，有，，兩式作差可得，，所以，.所以，從第2項開始，是以2為公比的等比數列，所以，.檢驗，時，，所以，.故B錯誤；對于C項，因為，所以，所以，.故C正確；對于D項，因為，當時恒成立，所以，，當時恒成立.又時，滿足，所以，.故D正確.故選：ACD.8．已知數列滿足，記數列的前項和為，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據給定條件，計算數的前幾項確定周期，再逐項分析計算得解.【詳解】數列中，，則，，因此數列是以3為周期的周期數列，對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，因此，C正確；對于D，，D正確.故選：AB三、填空題9．已知數列的前項和，當取最小值時，．【答案】5【分析】求出數列的通項公式，代入并利用基本不等式求出最小值即得.【詳解】數列的前項和，，則當時，，，當且僅當，即時取等號，又所以當取最小值時，.故答案為：510．已知數列的通項公式，設，數列的前項和的取值范圍為.【答案】【分析】首先利用等差數列的前項和公式求，再利用裂項相消法求和.【詳解】，，，，數列單調遞減，當時，取得最大值，當時，，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題11．已知數列的前項和.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與之間的關系即可求解；（2）先寫出數列的前項和，進而利用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）中，令得，解得，則.檢驗：當時，滿足上式，故.（2），故①，則②①-②得故.12．已知數列的前項和為，，，且.(1)證明：數列是等差數列.(2)求的通項公式.(3)若，數列的前項和為，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據條件，利用等差數列的定義證明所給數列是等差數列.（2）根據（1）的結論，轉化成由與的關系求通項公式.（3）利用裂項求和法求，再比較與的大小.【詳解】（1）證明：將兩邊同時除以，得．當時，，所以是以1為首項，為公差的等差數列．（2）由（1）得，則．①當時，．②①-②，得，整理得，則，也符合，所以．（3）證明：由（2）得，所以因為，所以1．已知數列的首項為，且滿足，則．【答案】【分析】借助所給條件可構造，即可得數列為等比數列，即可得.【詳解】由，即，則，又，故數列是以為公比、為首項的等比數列，即，則.故答案為：.2．若數列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由與的關系求得，從而為常數列，得到，即可求的值.【詳解】由及得，即，即，所以，即為常數列，又，所以，即，所以，所以.故選：B3．已知等比數列的前項和為，，數列滿足．(1)求數列，的通項公式；(2)令，求的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等比數列前n項求和公式建立方程組，解得，結合等比數列的通項公式即可求出；根據數列和與項的遞推關系即可求出；（2）由（1）可得，結合錯位相減法計算即可求解.【詳解】（1）因為，所以公比，由，即，解得，所以；由，得，兩式相減，得，所以，當時，滿足上式，故.（2）由（1）知，，，所以，，，兩式加減，得，所以.4．已知數列中，，，（）.(1)求證：數列是等比數列.(2)求數列的通項.(3)若數列的前n項和為，試比較與的大小.【答案】(1)證明見解析.(2)（）.(3).【詳解】（1）∵，（），∴，由，令，此時，則當時，,又因為，故數列是首項為2，公比為2的等比數列.（2）由（1）得，即則,，，…….累加法得：.則.故數列的通項公式為（）.（3）因為.所以..當時，.5．記數列的前項和為，已知且．(1)證明：是等差數列；(2)記，求數列的前2n項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助與的關系計算可得，結合等差數列定義即可得；（2）計算出通項公式后，可得，結合分組求和法，借助等差數列求和公式與等比數列求和公式計算即可得.【詳解】（1）當時，，則．因為，所以當時，，兩式相減得，即，因為，所以，即，故是以1為首項，1為公差的等差數列；（2）由（1）知，，所以，故.1．（多選）數列的前項和為，且，，則下列選項正確的有（

）A．數列的通項公式為B．數列是等比數列C．數列的最大項為D．數列的前11項和為20481【答案】BCD【分析】由和，作差得，整理得，即可判斷數列為等比,判斷B；再求出，通過構造得到數列為等差，求出的通項，進而求出的通項，判斷A；令，由，可得最大值，判斷C;利用錯位相減求和即可判斷D.【詳解】當時，，即，因為，所以，當時，因為，所以，兩式作差得：，所以，所以數列是首項為，公比為的等比數列，故B正確；所以，即，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，即，故A錯誤；又，令，則，則，則當時，取得最大值，C正確；由，數列的前11項和為，所以，所以，兩式相減得：，即，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）對于等差等比數列，利用公式法直接求和；（2）對于型數列，其中是等差數列，是等比數列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數列，利用分組求和法；（4）對于型數列，其中是公差為的等差數列，利用裂項相消法求和.2．已知數列的前n項和為，，，(1)求；(2)若，求數列的前1012項和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據求和的定義，整理可得數列的遞推公式，結合等差數列的基本概念，可得答案；（2）由（1）整理通項公式，利用裂項相消，可得答案.【詳解】（1）當時，因為，所以，即．又，所以是首項為1，公差為2的等差數列，所以．（2）由（1）知，，，而所以．3．已知正數數列的首項為1，且前n項和滿足：當時，都有．(1)求bn；(2)若數列前n項和為Tn，則是否存在實數m，使得對于任意的都有？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．【答案】(1)．(2)存在，．【分析】（1）根據題意可得，然后求出和；（2）由（1）求出，利用裂項相消法求出，分析可得，得解.【詳解】（1）因為數列是正數數列，且，，，∴，所以數列{}是以1為首項，公差為1的等差數列．

所以，所以，所以，．又滿足上式．∴，．（2）因為，所以，，，即.

因為對于任意的都有，所以．1．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據即可求出；（2）根據錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．2．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴3．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.4．（2023·北京·高考真題）已知數列滿足，則（

）A．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立B．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立C．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立D．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數列的性質，故可判斷B的正誤.法2：構造，利用導數求得的正負情況，再利用數學歸納法判斷得各選項所在區間，從而判斷的單調性；對于A，構造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區間同時證得后續結論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構造，判斷得，進而取推得不恒成立.【詳解】法1：因為，故，對于A，若，可用數學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立，由數學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數列，注意故，結合，所以，故，故，若存在常數，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當時，可用數學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數學歸納法可得成立.而，故，故為減數列，又，結合可得：，所以，若，若存在常數，使得恒成立，則恒成立，故，的個數有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當時，可用數學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立由數學歸納法可得成立.而，故，故為增數列，又，結合可得：，所以，若存在常數，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結合的單調性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞減，故，所以在上單調遞增，故，故，即，假設存在常數，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數列，